نسخة الفيديو النصية
استخدم معكوس المصفوفة لحل نظام المعادلات الخطية: سالب أربعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص تسعة ﻉ تساوي سالب ثمانية، وسالب ثلاثة ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص ستة ﻉ تساوي سالب ثلاثة، وسالب ﺱ زائد ﺹ ناقص ستة ﻉ تساوي سبعة.
يخبرنا السؤال أن علينا استخدام معكوس المصفوفة لإيجاد الحل. كما نعلم أيضًا أنه يمكننا إعادة كتابة نظام من معادلات خطية في صورة معادلة مصفوفية مكافئة. تتكون المعادلة المصفوفية التي سنحصل عليها من ثلاثة أجزاء: مصفوفة المعاملات، ومصفوفة المتغيرات، ومصفوفة الثوابت.
تتكون مصفوفة المعاملات من معاملات كل متغير بالترتيب الصحيح. إذن، الصف الأول من مصفوفة المعاملات هو سالب أربعة، سالب اثنين، سالب تسعة. والصف الثاني من مصفوفة المعاملات هو سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب ستة. أما الصف الثالث من مصفوفة المعاملات فهو سالب واحد، واحد، سالب ستة. في هذه المعادلة الخطية الثالثة تحديدًا، علينا الانتباه؛ لأنه على الرغم من أن معاملي ﺱ وﺹ غير مرئيين، فإنهما سالب واحد وواحد على الترتيب.
دعونا الآن نحدد عناصر مصفوفة المتغيرات. تتكون هذه المصفوفة من المتغيرات التي يتضمنها نظام المعادلات الخطية هذا. وهي ﺱ وﺹ وﻉ. دعونا الآن نحدد عناصر مصفوفة الثوابت. تتكون هذه المصفوفة من الثوابت التي يتضمنها نظام المعادلات الخطية هذا، وهي سالب ثمانية وسالب ثلاثة وسبعة. من ثم، نكون قد كتبنا نظام المعادلات الخطية هذا في صورة معادلة مصفوفية مكافئة.
من الواضح أن طريقة معكوس المصفوفة التي سنستخدمها لحل هذا السؤال تتضمن عكس المصفوفة، لكن لماذا؟ حسنًا، دعونا نسم مصفوفة المعاملات ﺃ، ومصفوفة المتغيرات ﺱ، ومصفوفة الثوابت ﺏ. من ثم يمكننا تمثيل هذه المعادلة المصفوفية على الصورة ﺃﺱ تساوي ﺏ. نتذكر أننا نريد إيجاد عناصر مصفوفة المتغيرات، أي المصفوفة ﺱ. لحل المعادلة ﺃﺱ تساوي ﺏ إذن، نتذكر أن ﺃ وﺱ وﺏ مصفوفات؛ لذا لا يسعنا سوى إجراء العمليات على المصفوفات لحل هذه المعادلة. سنبدأ بضرب كلا طرفي المعادلة في معكوس مصفوفة المعاملات، وذلك من جهة اليمين لكل طرف. نحن نفعل ذلك لكي يصبح لدينا معكوس ﺃ مضروبًا في ﺃ في الطرف الأيمن من المعادلة.
نحن نعلم أن معكوس ﺃ مضروبًا في ﺃ يعطينا مصفوفة الوحدة. كما نعلم أيضًا أن ضرب مصفوفة الوحدة في أي مصفوفة أخرى يعطينا هذه المصفوفة نفسها. إذن، نحصل على المعادلة ﺱ تساوي معكوس ﺃ في ﺏ. في هذه المرحلة، سنتمكن من ضرب معكوس ﺃ في ﺏ؛ لأننا سنوجد معكوس المصفوفة ﺃ، ونحن نعرف بالفعل عناصر المصفوفة ﺏ؛ لأنها هي مصفوفة الثوابت. إذن، هذه هي الطريقة التي سنستخدمها. لنبدأ بإيجاد معكوس مصفوفة المعاملات.
يمكننا استخدام طريقة المصفوفة الملحقة لإيجاد معكوس هذه المصفوفة إن وجد. نتذكر أن المصفوفة المربعة تكون قابلة للعكس إذا كان محددها لا يساوي صفرًا. دعونا نبدأ إذن بإيجاد محدد هذه المصفوفة، والتأكد من أنه لا يساوي صفرًا. نتذكر أننا نستخدم الصيغة الموضحة لإيجاد محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ حيث نحصل على هذه المصفوفات الصغرى بحذف الصف ﺹ والعمود ﻉ من المصفوفة ﺃ.
دعونا إذن نطبق هذه الصيغة لإيجاد محدد مصفوفة المعاملات. نبدأ بأخذ العنصر ﺃ واحد واحد، وهو العنصر سالب أربعة. ونضربه في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد. العنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة ﺃ هو سالب أربعة. من ثم، المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد هي المصفوفة سالب اثنين، سالب ستة، واحد، سالب ستة.
إذن، نضرب سالب أربعة في محدد المصفوفة سالب اثنين، سالب ستة، واحد، سالب ستة. بعد ذلك، نطرح العنصر ﺃ واحدًا اثنين. وهو العنصر سالب اثنين. ونضربه في محدد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين. بما أن العنصر في الصف الأول والعمود الثاني يقع هنا، فإن المصفوفة الصغرى المرتبطة به هي سالب ثلاثة، سالب ستة، سالب واحد، سالب ستة.
أخيرًا، نضيف العنصر ﺃ واحدًا ثلاثة. وهو العنصر سالب تسعة. ونضربه في محدد المصفوفة الصغرى المرتبطة به، وهي المصفوفة سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب واحد، واحد.
يمكننا الآن حساب كل محدد من هذه المحددات. على سبيل المثال، نأخذ المصفوفة الصغرى الأولى ونحسب محددها عن طريق ضرب سالب اثنين في سالب ستة. هذا يعطينا ١٢. ونطرح منه بعد ذلك سالب ستة في واحد. هذا يعطينا سالب ستة. إذن، هذا المحدد يساوي ١٢ ناقص سالب ستة، وهو ما يعطينا ١٨. يمكننا إذن حساب المحددين الآخرين بالطريقة نفسها. بفعل ذلك، نحصل على ١٢ وسالب خمسة على الترتيب.
يمكننا الآن ضرب العددين في كل حد معًا. بإجراء عمليتي الجمع والطرح، نجد أن محدد مصفوفة المعاملات يساوي سالب ثلاثة. إذن، بما أننا الآن نعلم أن محدد هذه المصفوفة لا يساوي صفرًا، يمكننا القول إن معكوس المصفوفة موجود بالفعل. دعونا نتابع ونوجد هذا المعكوس. سنفرغ بعض المساحة ثم نوجد معكوس المصفوفة. لنذكر أنفسنا بطريقة المصفوفة الملحقة لإيجاد معكوس المصفوفة.
سنستخدم الخطوات الثلاث الآتية لإيجاد معكوس مصفوفة المعاملات ﺃ. أولًا: نبدأ بإيجاد مصفوفة العوامل المرافقة لها. ثانيًا: نوجد المصفوفة الملحقة عن طريق تدوير مصفوفة العوامل المرافقة. ثالثًا: نضرب المصفوفة الملحقة في مقلوب محدد المصفوفة ﺃ؛ لنحصل على معكوس المصفوفة. حسنًا، سنبدأ بإيجاد مصفوفة العوامل المرافقة. إن عناصر مصفوفة العوامل المرافقة هي محددات المصفوفات الصغرى المناظرة مضروبًا في الإشارات المتناوبة بين موجب وسالب التي نحصل عليها عن طريق حساب سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ.
إذن، سنحسب محددات هذه المصفوفات الصغرى التسع؛ حيث لكل محدد منها إشارته المناظرة. يمكننا الحصول على هذه الإشارة المناظرة عن طريق حساب سالب واحد أس ﺹ زائد ﻉ. على سبيل المثال، في هذه المصفوفة الصغرى الأولى، نحصل على سالب واحد أس واحد زائد واحد. بما أن هذا يساوي سالب واحد تربيع، فإننا نحصل على واحد. أما في المصفوفة الصغرى ﺃ اثنين واحد، على سبيل المثال، فإننا نحصل على الإشارة المناظرة لها عن طريق حساب سالب واحد أس اثنين زائد واحد. هذا يعطينا سالب واحد أس ثلاثة. وهذا يساوي سالب واحد؛ ومن ثم يخبرنا الناتج أن إشارة محدد هذه المصفوفة الصغرى سالبة.
لنكتب الآن كل محدد من هذه المحددات التي علينا إيجادها. لنبدأ بإيجاد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد. يمكننا فعل ذلك بحذف الصف الأول والعمود الأول من المصفوفة. بذلك، يتبقى لدينا المصفوفة سالب اثنين، سالب ستة، واحد، سالب ستة. هذه إذن هي المصفوفة الصغرى ﺃ واحد واحد. يمكننا بعد ذلك استخدام الطريقة نفسها لإيجاد المصفوفة الصغرى ﺃ واحد اثنين. نحذف الصف الأول والعمود الثاني، فيتبقى لدينا المصفوفة سالب ثلاثة، سالب ستة، سالب واحد، سالب ستة. باستخدام الطريقة نفسها إذن، يمكننا إيجاد باقي المصفوفات الصغرى.
الخطوة التالية هي حساب كل محدد من هذه المحددات. نتذكر أنه لإيجاد المحددات من الرتبة اثنين في اثنين، فإننا نطرح حاصلي ضرب القطرين. على سبيل المثال، لإيجاد محدد هذه المصفوفة الصغرى الأولى، نضرب سالب اثنين في سالب ستة. هذا يعطينا ١٢. ونطرح سالب ستة مضروبًا في واحد. هذا يساوي سالب ستة. إذن، محدد هذه المصفوفة يساوي ١٢ ناقص سالب ستة. هذا ما يعطينا ١٨.
بعد ذلك، نحصل على عناصر مصفوفة العوامل المرافقة من خلال المحددات التي حسبناها. يمكننا أن نوضح هذه العناصر بوضع خط برتقالي أسفلها. الآن، سنمسح هذه العمليات الحسابية ونكتب مصفوفة العوامل المرافقة المكونة من العناصر التي تحتها خط برتقالي. بذلك نكون قد انتهينا من الخطوة الأولى، وهي إيجاد مصفوفة العوامل المرافقة؛ وذلك باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة لإيجاد معكوس المصفوفة.
حسنًا، ننتقل الآن إلى الخطوة الثانية. وهي إيجاد المصفوفة الملحقة عن طريق تدوير المصفوفة ﻡ. نتذكر أن تدوير مصفوفة ما يعني التبديل بين الصفوف والأعمدة. بذلك، نكون قد انتهينا من الخطوة الثانية. لقد قمنا بتدوير المصفوفة ﻡ، وهو ما يعطينا المصفوفة الملحقة للمصفوفة ﺃ. يمكننا الآن الانتقال إلى الخطوة الثالثة والأخيرة، وهي إيجاد معكوس المصفوفة.
في الخطوة الثالثة، نضرب المصفوفة الملحقة التي أوجدناها الآن في مقلوب المحدد الذي حسبناه من قبل. نتذكر أننا وجدنا أن هذا المحدد يساوي سالب ثلاثة. بتطبيق هذه الخطوة الثالثة إذن، سنحصل على معكوس المصفوفة ﺃ. ما زال علينا إجراء خطوتين أخريين لإكمال حل هذا السؤال. بالعودة إلى بداية المسألة، نتذكر أننا قلنا إنه يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة المصفوفية على الصورة ﺃﺱ تساوي ﺏ. ولإيجاد ﺱ، علينا ضرب كل طرف من جهة اليمين في معكوس المصفوفة ﺃ. بما أن ضرب معكوس أي مصفوفة في المصفوفة نفسها يعطينا مصفوفة الوحدة، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة المصفوفية لنحصل على ﺱ تساوي معكوس المصفوفة ﺃ مضروبًا في ﺏ.
إذن، لإيجاد المصفوفة ﺱ، وكذا العناصر ﺱ، ﺹ، ﻉ علينا ضرب معكوس ﺃ في ﺏ. حسنًا، سنفرغ بعض المساحة حتى نتمكن من إجراء هذه العملية الحسابية. يمكننا الآن إيجاد قيمة ﺱ عن طريق حساب عملية ضرب هاتين المصفوفتين. سنجري ذلك باستخدام الطريقة المعتادة لضرب مصفوفتين. دعونا الآن نبسط ذلك. في هذه المرحلة، كل ما علينا فعله هو ضرب كل عنصر من العناصر الثلاثة في سالب واحد على ثلاثة. هذا يعطينا ٤١، سالب ٢٤، سالب ١٢. إذن، نجد أن المصفوفة ﺱ، ﺹ، ﻉ هي ٤١، سالب ٢٤، سالب ١٢. من ثم ﺱ يساوي ٤١ وﺹ يساوي سالب ٢٤ وﻉ يساوي سالب ١٢.
نلاحظ أنه يمكننا التحقق من هذه الإجابة عن طريق التعويض بالقيم التي أوجدناها في مصفوفة المتغيرات، ثم ضربها في مصفوفة المعاملات، والتأكد من أن هذا سيعطينا مصفوفة الثوابت سالب ثمانية، سالب ثلاثة، سبعة.
بما أن حل هذا السؤال قد تطلب إجراء خطوات عديدة، دعونا نلخص سريعًا هذه الخطوات التي اتبعناها للوصول إلى الإجابة. بدأنا بكتابة نظام المعادلات الخطية في صورة معادلة مصفوفية. وأدركنا أنه إذا ضربنا مصفوفة الثوابت من جهة اليمين في معكوس مصفوفة المعاملات، فإننا نحصل على مصفوفة المتغيرات. لفعل ذلك، كان علينا إيجاد معكوس مصفوفة المعاملات باستخدام طريقة المصفوفة الملحقة. أخيرًا، كان علينا ضرب المعكوس الذي أوجدناه في مصفوفة الثوابت لنحصل على مصفوفة المتغيرات، ومن ثم نحصل على قيم ﺱ، ﺹ، ﻉ.
