نسخة الفيديو النصية
لنفترض أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ قطر دائرة، والمستقيم ﺏﺟ مماس للدائرة عند ﺏ. إذا كانت مساحة الدائرة ٢٤٠٫٢٥𝜋 وقياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ٤٥ درجة، فاحسب مساحة المثلث ﺃﺏﺟ لأقرب جزء من مائة.
لنبدأ برسم تصور للمسألة حسب المعطيات. لدينا دائرة، والقطعة المستقيمة ﺃﺏ قطر فيها. ولدينا مماس للدائرة، وهو ﺏﺟ، وقياس الزاوية ﺃﺟﺏ يساوي ٤٥ درجة. المطلوب هو حساب مساحة المثلث الذي رءوسه النقاط ﺃ وﺏ وﺟ.
حسنًا، نعلم أنه يمكن حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة: نصف طول قاعدته في ارتفاعه العمودي. لكن ليس لدينا أي قيم لأطوال في الشكل. لذا دعونا نفكر في طريقة يمكن استخدامها في حساب الأطوال. بداية، نلاحظ أن ﺃﺏﺟ مثلث قائم الزاوية في ﺏ. ونعرف ذلك لأنه توجد نتيجة مهمة، وهي أن مماس الدائرة يكون عموديًّا على نصف القطر عند نقطة التماس، ومن ثم يكون عموديًّا أيضًا على القطر عند هذه النقطة. إذن، المستقيم ﺏﺟ عمودي على القطعة المستقيمة ﺃﺏ.
الآن، بما أن لدينا ضلعين متعامدين في هذا المثلث، يمكننا إذن حساب مساحته على الصورة: نصف مضروبًا في ﺏﺟ مضروبًا في ﺃﺏ. وفي الواقع، يمكننا أيضًا ملاحظة أن هذا المثلث متساوي الساقين؛ لأنه باستخدام ما نعرفه عن مجموع قياسات زوايا المثلث، نستنتج أن قياس الزاوية الثالثة، أي الزاوية ﺏﺃﺟ، لا بد أن يساوي ٤٥ درجة أيضًا. إذن، الضلعان ﺃﺏ وﺏﺟ متساويان في الطول.
المعلومة الأخيرة المعطاة التي لم نستخدمها بعد هي أن مساحة الدائرة تساوي ٢٤٠٫٢٥𝜋. نحن نعلم أن مساحة الدائرة تحسب باستخدام الصيغة 𝜋نق تربيع؛ حيث نق نصف قطر الدائرة. إذن، يمكننا تكوين معادلة تمكننا من حساب طول نصف قطر الدائرة، وكذا حساب طول قطر الدائرة عن طريق مضاعفة قيمة طول نصف القطر.
وبما أن ﺃﺏ قطر لهذه الدائرة، يمكننا إذن إيجاد طوله وكذا طول ﺏﺟ لاستخدامهما في حساب مساحة المثلث. بتكوين هذه المعادلة، يصبح لدينا 𝜋نق تربيع يساوي ٢٤٠٫٢٥𝜋. يمكننا على الفور حذف العامل 𝜋 من كلا الطرفين، فيتبقى لدينا نق تربيع يساوي ٢٤٠٫٢٥. يمكن إيجاد قيمة نق عن طريق أخذ الجذر التربيعي، فنحصل على نق يساوي الجذر التربيعي لـ ٢٤٠٫٢٥، وهو ما يساوي ١٥٫٥. قطر الدائرة يساوي ضعف هذه القيمة، أي اثنين في ١٥٫٥، وهو ما يساوي ٣١ وحدة.
الآن، نحن نعلم أن طول ﺃﺏ، ومن ثم طول ﺏﺟ أيضًا، يساوي ٣١ وحدة. بالتعويض بهاتين القيمتين في صيغة مساحة المثلث، نحصل على نصف مضروبًا في ٣١ مضروبًا في ٣١، أو نصف مضروبًا في ٣١ تربيع. هذا يساوي ٩٦١ على اثنين، أو العدد العشري ٤٨٠٫٥.
طلب منا السؤال حساب المساحة لأقرب جزء من مائة. إذن يمكننا إضافة صفر في المنزلة العشرية الثانية. لم يرد في السؤال أي وحدات. إذن، يمكننا استنتاج أن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ لأقرب جزء من مائة هي ٤٨٠٫٥٠ وحدة مربعة.
