فيديو السؤال: استخدام المتجهات لإيجاد مساحة مستطيل بمعلومية رءوسه الرياضيات

ﺃﺏﺟد مستطيل، رءوسه ﺃ(−٦‎، −٧)، ﺏ(٠‎، ٢)، ﺟ(٦‎، −٢)، د(٠‎، −١١). استخدم المتجهات لإيجاد مساحته.

٠٣:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟد مستطيل، رءوسه ﺃ سالب ستة، سالب سبعة؛ وﺏ صفر، اثنان؛ وﺟ ستة، سالب اثنين؛ ود صفر، سالب ١١. استخدم المتجهات لإيجاد مساحته.

سنبدأ برسم المستطيل على شبكة الإحداثيات. إحداثيات النقطة ﺃ هي: سالب ستة، سالب سبعة. وإحداثيات النقطة ﺏ هي: صفر، اثنان. وإحداثيات النقطة ﺟ هي: ستة، سالب اثنين. وأخيرًا، إحداثيات النقطة د هي: صفر، سالب ١١. مطلوب منا حساب مساحة المستطيل باستخدام المتجهات. نعلم أن مساحة أي متوازي أضلاع تساوي معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين أ شرطة وب شرطة؛ حيث المتجه أ شرطة والمتجه ب شرطة يمثلان ضلعي متوازي الأضلاع. ومعيار حاصل الضرب الاتجاهي لأي متجهين يساوي معيار المتجه أ شرطة مضروبًا في معيار المتجه ب شرطة مضروبًا في معيار جا 𝜃، حيث 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين المتجهين.

نعلم أن المستطيل هو نوع خاص من متوازي الأضلاع حيث قياس كل زاوية من الزوايا الأربع يساوي ٩٠ درجة. وبناء عليه، مساحة المستطيل ﺃﺏﺟد تساوي معيار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃﺏ والمتجه ﺃد. وهذا، بدوره، يساوي معيار المتجه ﺃﺏ مضروبًا في معيار المتجه ﺃد مضروبًا في معيار جا 𝜃. ‏𝜃 تساوي ٩٠ درجة، ونعلم أن جا ٩٠ درجة يساوي واحدًا. ومن ثم، مساحة المستطيل تساوي معيار المتجه ﺃﺏ مضروبًا في معيار المتجه ﺃد. سنفرغ الآن بعض المساحة لنتمكن من حساب هاتين القيمتين.

سيكون للمتجه ﺃﺏ مركبتان تساويان صفرًا ناقص سالب ستة، واثنين ناقص سالب سبعة. صفر ناقص سالب ستة يساوي ستة، واثنان ناقص سالب سبعة يساوي تسعة. إذن، المتجه ﺃﺏ يساوي ستة، تسعة. ويمكننا إيجاد معيار أي متجه من خلال إيجاد مجموع مربعات كل مركبة ثم حساب الجذر التربيعي للناتج. ستة تربيع يساوي ٣٦، وتسعة تربيع يساوي ٨١. إذن، معيار المتجه ﺃﺏ يساوي الجذر التربيعي لـ ١١٧. وهذا يبسط إلى ثلاثة جذر ١٣.

يمكننا الآن تكرار هذه العملية مع المتجه ﺃد. وهكذا سيكون لدينا مركبة ﺱ تساوي صفرًا ناقص سالب ستة، ومركبة ﺹ تساوي سالب ١١ ناقص سالب سبعة. وهذا يساوي ستة، سالب أربعة. إذن، معيار المتجه ﺃد يساوي الجذر التربيعي لستة تربيع زائد سالب أربعة تربيع. وبما أن ستة تربيع يساوي ٣٦ وسالب أربعة تربيع يساوي ١٦، فسيصبح لدينا الجذر التربيعي لـ ٥٢. وهذا يبسط إلى اثنين جذر ١٣. بالتعويض بهاتين القيمتين في المعادلة، نحصل على ثلاثة جذر ١٣ مضروبًا في اثنين جذر ١٣. ثلاثة في اثنين يساوي ستة، وجذر ١٣ في جذر ١٣ يساوي ١٣. من ثم، يصبح لدينا ستة مضروبًا في ١٣، وهو ما يساوي ٧٨. إذن، مساحة المستطيل ﺃﺏﺟد تساوي ٧٨ وحدة مساحة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.