فيديو السؤال: إيجاد مقدار العزم في شكل خماسي منتظم تؤثر عليه خمس قوى الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺏﺟﺩﻫ شكل خماسي منتظم طول ضلعه ١٦ سنتيمترًا. تؤثر خمس قوى مقدار كل منها ١١ نيوتن في الاتجاهات ﺃﺏ وﺏﺟ وﺟﺩ وﺩﻫ وﻫ، على الترتيب. إذا كان النظام يكافئ ازدواجًا، فأوجد مقدار عزمه لأقرب منزلتين عشريتين إذا لزم الأمر، علمًا بأن الاتجاه الموجب هو ﺏﺟﺩﻫ.

حسنًا، لنفترض أن هذا شكلًا خماسيًّا منتظمًا. وبما أن هذا شكلًا خماسيًّا منتظمًا، فهذا يعني أن جميع قياسات زواياه الداخلية متساوية وجميع أطوال أضلاعه أيضًا متساوية. دعونا نسم رءوس الشكل الخماسي كما نرى، ونحن نعلم من المعطيات أن ثمة قوى مقدار كل منها ١١ نيوتن تؤثر على امتداد أضلاعه في اتجاه دوران عقارب الساعة. علمنا أيضًا أن نظام القوى يكافئ ازدواجًا. وهذا يعني أن محصلة القوى المؤثرة على هذا الشكل الخماسي تساوي صفرًا. لكن محصلة العزوم ليست كذلك. ما نريده هنا هو الحل لإيجاد مقدار هذا العزم. وسنعتبر العزم موجبًا إذا كان اتجاه دورانه من إلى ﺏ إلى ﺟ إلى ﺩ إلى ﻫ. وهو دوران في اتجاه دوران عقارب الساعة كما رسمناه.

هذا العزم الكلي سيكون حول نقطة عند المركز الهندسي للشكل الخماسي. ولإيجاد مقدار هذا العزم، علينا أن نسأل سؤالًا مهمًّا هنا وهو: ما هذه المسافة هنا؟ بعبارة أخرى، ما المسافة العمودية بين الضلع في الشكل الخماسي لدينا ونقطة المركز؟ سنسميها ﻝ. والسبب وراء أهمية هذا السؤال هو أن قيمة ﻝ ثابتة للأضلاع الخمسة. ويمكننا استرجاع أنه لحساب العزم الناتج عن قوة محددة، فإننا نضرب تلك القوة في المسافة العمودية بين موضع تأثير القوة ومحور الدوران. في هذه المسألة، نحن نعلم مقدار كل قوة لدينا؛ وهو ١١ نيوتن. لكننا لا نعرف قيمة ﻝ بعد.

للبدء في الحل لإيجادها، دعونا نفترض أننا إذا بدأنا عند هذا الخط الرأسي المتقطع، وتحركنا دورة كاملة حول نقطة المركز، فستكون لدينا إزاحة زاوية مقدارها ٣٦٠ درجة، ومعرفة ذلك أمر مفيد؛ لأنه يعني أننا إذا رسمنا خطوطًا متقطعة من نقطة المركز إلى جميع رءوس الشكل الخماسي، فإن قياس الزاوية في أي من هذه الأجزاء الخمسة سيساوي ٣٦٠ درجة مقسومًا على خمسة. وإذا تابعنا وتعاملنا مع نصف هذه الزاوية فقط، أي الزاوية المحددة باللون البرتقالي، وهي أيضًا جزء من هذا المثلث القائم الزاوية، فسنجد أنها تساوي ٣٦٠ على ١٠. بعبارة أخرى، قياس هذه الزاوية التي نشير إليها يساوي ٣٦٠ على ١٠ درجة أو ٣٦ درجة. وبذلك، يكون لدينا مثلث قائم الزاوية؛ حيث قياس إحدى الزاويتين الداخليتين الأخريين يساوي ٣٦ درجة، وطول الضلع المجاور لها هو المسافة التي نريد إيجادها.

ومع هذا، نحن نعلم شيئًا آخر عن هذا المثلث. يمكننا هنا الحل لإيجاد طول هذا الضلع المقابل. حسنًا، إننا نعلم من المعطيات أن طول كل ضلع من أضلاع هذا الشكل الخماسي هو ١٦ سنتيمترًا. وهذا يعني، في الشكل لدينا، أن طول هذا الضلع يساوي ١٦ سنتيمترًا، ونصفه يساوي ثمانية. وبما أن ظل هذه الزاوية يساوي النسبة بين طول هذا الضلع وطول هذا الضلع، يمكننا كتابة أن ظا ٣٦ درجة يساوي ثمانية على ﻝ أو أن ﻝ يساوي ثمانية على ظا ٣٦ درجة.

والآن بعد أن أوجدنا قيمة ﻝ التي سنستخدمها لإيجاد العزوم الناتجة عن القوى الخمس المؤثرة على الشكل الخماسي، يمكننا المتابعة لحساب العزم الكلي. للبدء في ذلك، دعونا نفرغ بعض المساحة ونحسب العزم الكلي حول مركز الشكل الخماسي، وسنسميه ﺝ. الشيء الذي يجعل عملية الحساب هذه بسيطة هو أن كل قوة من القوى الخمسة تسهم في العزم الكلي بالقدر نفسه. وهذا لأن جميع هذه القوى لها المقدار نفسه، وتؤثر في اتجاه دوران عقارب الساعة كما أشرنا، كما أن كل قوة منها تبعد عن المركز نفس المسافة العمودية، وهي ﻝ.

عند إيجاد قيمة ﺝ، نضرب ١١ في ﻝ، ثم نضرب ذلك في خمسة. بكتابة هذا المقدار على الآلة الحاسبة، وتقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ٦٠٥٫٦١. هذا الناتج موجب وفقًا لقاعدة الإشارات التي حددناها. والوحدات لدينا هي نيوتن وسنتيمتر. إذن بعد هذا التقريب، يمكننا قول إن مقدار العزم المؤثر على الشكل الخماسي هو ٦٠٥٫٦١ نيوتن سنتيمتر.