فيديو الدرس: طرح المتجهات الفيزياء

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نطرح متجهًا من متجه آخر في بعدين، باستخدام كل من الطريقتين البيانية والجبرية.

١٧:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سنتعلم كيفية طرح متجه من متجه آخر، باستخدام الطريقة البيانية وباستخدام صيغة متجهات الوحدة.

سنبدأ بالطريقة البيانية. قبل أن نبدأ بتعلم كيفية طرح المتجهات بيانيًّا، لننعش ذاكرتنا ونتذكر ما يعنيه المتجه وكيفية تمثيله بيانيًّا. المتجه هو كمية لها مقدار واتجاه. لنرسم مثالًا يتضمن متجهين، ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. لنجعل للمتجه ‪𝐀‬‏ مقدارًا يساوي خمس وحدات ونجعل اتجاهه أفقيًّا إلى يمين الشاشة. لاحظ أنه عندما نسمي المتجه ‪𝐀‬‏، نرسم نصف سهم فوق الحرف. هذا اصطلاح شائع لإظهار أن هذا المتغير متجه. في الشكل النصي، من الشائع أن يكتب المتغير بخط عريض. سنرى هذا الشكل عندما نحل بعض المسائل في نهاية الدرس.

يمكننا أن نرسم المتجه ‪𝐁‬‏ بحيث يكون له مقدار الوحدات الخمس نفسه، ولكن بجعل اتجاهه رأسيًّا إلى أعلى الشاشة. لكلا المتجهين المقدار نفسه، ولكنهما يشيران إلى اتجاهين مختلفين. علينا أن نتوخى الكثير من الحذر وأن نتأكد من أننا نرسم المتجهين بالطول والتمثيل الصحيحين؛ لأن هذا سيؤثر على النتيجة عندما نطرح أحدهما من الآخر. قبل أن ننتقل إلى طرح المتجهين، لنرسم متجهًا أخيرًا يتضمن مركبتين على طول كل من المحورين الأفقي والرأسي.

سيكون التمثيل البياني للمتجه ‪𝐂‬‏ بطول سبع وحدات على طول المحور الأفقي إلى يمين الشاشة، وأربع وحدات على طول المحور الرأسي إلى أعلى الشاشة. يمكننا أن نلاحظ أن للمتجه ‪𝐂‬‏ مقدارًا أفقيًّا أكبر من المتجه ‪𝐀‬‏، ولكن له مقدارًا رأسيًّا أصغر من المتجه ‪𝐁‬‏. والآن بعدما عرضنا ملخصًا سريعًا عن المتجهات وكيفية تمثيلها بيانيًّا، لننتقل إلى كيفية طرح المتجهات بيانيًّا.

عندما نطرح المتجه ‪𝐁‬‏ من المتجه ‪𝐀‬‏، يمكننا أن نكتب هذا في صورة التعبير الرياضي ‪𝐕‬‏، حيث يكون ‪𝐕‬‏ متجه المحصلة، يساوي المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏. الطريقة التي سنستخدمها لطرح متجهين بيانيًّا هي إضافة سالب المتجه ‪𝐁‬‏ إلى المتجه ‪𝐀‬‏ ثم تطبيق طريقة الرأس للذيل لجمع المتجهات. يمكننا أن نفعل ذلك لأن طرح المتجه ‪𝐁‬‏ من المتجه ‪𝐀‬‏ هو نفسه إضافة سالب المتجه ‪𝐁‬‏ إلى المتجه ‪𝐀‬‏.

عندما نتحدث عن سالب متجه، في هذه الحالة سالب المتجه ‪𝐁‬‏، فإن هذا يعني أننا بحاجة إلى تدوير المتجه بزاوية 180 درجة من موضع بدايته. سيشير المتجه الجديد إلى الاتجاه العكسي تمامًا من اتجاه المتجه الأصلي أفقيًّا ورأسيًّا. في طريقة الرأس للذيل ينقل أحد المتجهين حتى يصبح ذيله على رأس المتجه الآخر. ويرسم متجه المحصلة من ذيل المتجه الذي لم ينقل إلى رأس المتجه المنقول. دعونا نطرح المتجه ‪𝐁‬‏ من المتجه ‪𝐀‬‏، الظاهران في التمثيل البياني.

قبل أن نطرح المتجهين لنلق نظرة على مقداريهما واتجاههما. للمتجه ‪𝐀‬‏ مقدار يساوي سبع وحدات على طول المحور الأفقي إلى يمين الشاشة، وللمتجه ‪𝐁‬‏ مقدار ثلاث وحدات على طول المحور الرأسي إلى أعلى الشاشة وأربع وحدات إلى أعلى الشاشة. لإيجاد المتجه الناتج عن طرح المتجه ‪𝐁‬‏ من المتجه ‪𝐀‬‏، نبدأ برسم متجه يمثل سالب المتجه ‪𝐁‬‏. لفعل هذا ندير المتجه ‪𝐁‬‏ بزاوية 180 درجة حتى يشير إلى الاتجاه المعاكس أفقيًّا ورأسيًّا لموضع رسمه الأصلي. سيظل طول المتجه كما هو، ولكن سيتغير اتجاهه.

في المثال الذي عرضناه يتجه المتجه ‪𝐁‬‏ بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين وأربع وحدات إلى أعلى. لذا يساوي المتجه سالب ‪𝐁‬‏ مقدار ثلاث وحدات إلى اليسار وأربع وحدات إلى الأسفل. هناك طريقة أخرى لرسم سالب المتجه، وهي قلب رأس وذيل المتجه الأصلي. في هذه الحالة يصبح ذيل المتجه سالب ‪𝐁‬‏ على رأس المتجه ‪𝐁‬‏، ورأس المتجه سالب ‪𝐁‬‏ على ذيل المتجه ‪𝐁‬‏. لا تهم الطريقة التي تستخدمها حيث إن كلتيهما سينتج عنهما المتجه سالب ‪𝐁‬‏.

في هذا المثال سنستخدم المتجه سالب ‪𝐁‬‏ المرسوم بالخط الأصفر المتقطع. يمكننا الآن تطبيق طريقة الرأس للذيل. نترك المتجه ‪𝐀‬‏ حيث هو ونحرك المتجه سالب ‪𝐁‬‏ حتى يصبح ذيل المتجه سالب ‪𝐁‬‏ على رأس المتجه ‪𝐀‬‏. من المهم أن نحرك المتجه سالب ‪𝐁‬‏ وليس المتجه ‪𝐁‬‏، وإلا فسنجمع المتجهين الأصليين معًا بدلًا من أن نطرحهما. يرسم متجه المحصلة بداية من ذيل المتجه ‪𝐀‬‏ إلى رأس المتجه سالب ‪𝐁‬‏. وسيكون اتجاه متجه المحصلة بعيدًا عن نقطة الأصل ونحو رأس المتجه سالب ‪𝐁‬‏. يمكننا أن نسمي متجه المحصلة ‪𝐕‬‏ بالاسم نفسه الذي أطلقناه على المتجه أعلى الشاشة. لمتجه المحصلة طول يبلغ أربع وحدات أفقيًّا إلى اليمين وأربع وحدات رأسيًّا إلى أسفل الشاشة.

هناك طريقة أخرى لطرح المتجهات، وهي استخدام صيغة متجهات الوحدة. لنتذكر أن متجه الوحدة هو متجه له طول يساوي وحدة واحدة. لنلق نظرة أخرى على المتجهات الثلاثة التي رسمناها في بداية الفيديو بينما كنا ننعش ذاكرتنا بتذكر ما هو المتجه وكيفية رسمه بيانيًّا. لنبدأ بالمتجه ‪𝐀‬‏. قلنا إن للمتجه ‪𝐀‬‏ مقدارًا يساوي خمس وحدات على طول المحور الأفقي إلى يمين الشاشة. في صيغة متجهات الوحدة، نقول إن المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي قيمة خمسة ‪𝐢‬‏ حيث يكون متجه الوحدة ‪𝐢‬‏ في الاتجاه الأفقي. وسيكون التعبير الرياضي أن المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي خمسة ‪𝐢‬‏، ونضع فوق ‪𝐢‬‏ قبعة صغيرة تشير إلى أنه متجه وحدة. إذا كان في الشكل النصي، يمكن كتابة ‪𝐢‬‏ بخط عريض لإظهار أنه متجه وحدة.

للمتجه ‪𝐁‬‏ أيضًا مقدار يساوي خمس وحدات، إلا أنه هذه المرة على طول المحور الرأسي. في صيغة متجهات الوحدة، نقول إن المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي قيمة خمسة ‪𝐣‬‏ حيث يكون متجه الوحدة ‪𝐣‬‏ في الاتجاه الرأسي. وسيكون التعبير الرياضي أن المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي خمسة ‪𝐣‬‏، ونضع فوق ‪𝐣‬‏ قبعة صغيرة تشير إلى أنه متجه وحدة. للمتجه ‪𝐂‬‏ مقدار يساوي سبع وحدات إلى اليمين على طول المحور الأفقي وأربع وحدات إلى أعلى الشاشة على طول المحور الرأسي. في صيغة متجهات الوحدة، نقول إن المتجه ‪𝐂‬‏ يساوي قيمة سبعة ‪𝐢‬‏ زائد أربعة ‪𝐣‬‏، بحيث يكون المتجه ‪𝐢‬‏ في الاتجاه الأفقي والمتجه ‪𝐣‬‏ في الاتجاه الرأسي.

والآن بعدما عرضنا ملخصًا سريعًا عن متجهات الوحدة لنتناول كيفية طرح المتجهات عندما تكون في صيغة متجهات الوحدة. عندما نطرح المتجهات التي تكون في صيغة متجهات الوحدة، نحتاج إلى طرح المركبات كل على حدة. يعني هذا أن نطرح الحدود التي تحتوي على ‪𝐢‬‏ قبعة بعضها من بعض والحدود التي تحتوي على ‪𝐣‬‏ قبعة بعضها من بعض، كلًّا على حدة. وسيكون لمتجه المحصلة ‪𝐕‬‏ مركبة ‪𝐢‬‏ تساوي ناتج طرح مركبتي ‪𝐢‬‏، ومركبة ‪𝐣‬‏ تساوي ناتج طرح مركبتي ‪𝐣‬‏.

إذا كان لدينا متجهان في صيغة متجهات الوحدة، وكان المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي ثمانية ‪𝐢‬‏ زائد 10𝐣 والمتجه ‪𝐁‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝐢‬‏ زائد اثنين ‪𝐣‬‏، فماذا ستكون قيمة متجه المحصلة الذي يساوي المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏؟ سيكون المتجه ‪𝐕‬‏ هو متجه المحصلة للمتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏. سنبدأ بطرح مركبتي ‪𝐢‬‏. ثمانية ‪𝐢‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝐢‬‏ يساوي خمسة ‪𝐢‬‏. ثم نطرح مركبتي ‪𝐣‬‏. ‏10𝐣 ناقص اثنين ‪𝐣‬‏ يساوي ثمانية ‪𝐣‬‏. يصبح لمتجه المحصلة ‪𝐕‬‏ قيمة تساوي خمسة ‪𝐢‬‏ زائد ثمانية ‪𝐣‬‏.

والآن لنلق نظرة على ما يحدث عندما نغير ترتيب عملية الطرح، أي إن متجه المحصلة ‪𝐕‬‏ هذه المرة سيساوي المتجه ‪𝐁‬‏ ناقص المتجه ‪𝐀‬‏. لنلق نظرة على ذلك بيانيًّا وفي صيغة متجهات الوحدة. سنستخدم المتجهات نفسها التي استخدمناها عندما كنا نجري عملية الطرح بيانيًّا. إننا نطرح المتجه ‪𝐀‬‏ من المتجه ‪𝐁‬‏. لنبدأ إذن بكتابة المتجه ‪𝐁‬‏ في صيغة متجهات الوحدة. للمتجه ‪𝐁‬‏ مركبة أفقية بمقدار ثلاث وحدات إلى يمين الشاشة. إذن مركبة ‪𝐢‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ ستساوي ثلاثة. للمتجه ‪𝐁‬‏ مركبة رأسية بمقدار أربع وحدات إلى أعلى الشاشة. إذن مركبة ‪𝐣‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ ستساوي أربعة. للمتجه ‪𝐀‬‏ قيمة سبع وحدات أفقيًّا إلى اليمين. في صيغة متجهات الوحدة، سنقول إن المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي سبعة ‪𝐢‬‏ زائد صفر ‪𝐣‬‏.

لنطرح المتجهين بيانيًّا. تذكر أن طرح المتجه ‪𝐀‬‏ هو نفسه جمع سالب المتجه ‪𝐀‬‏. ولنتذكر من بداية هذا الفيديو أن رسم سالب المتجه هو نفسه رسم متجه بزاوية 180 درجة من المتجه الأصلي. وحيث إن للمتجه ‪𝐀‬‏ قيمة سبع وحدات أفقيًّا إلى اليمين، سيكون للمتجه سالب ‪𝐀‬‏ قيمة سبع وحدات أفقيًّا إلى اليسار. ثم نطبق طريقة الرأس للذيل عبر تحريك المتجه سالب ‪𝐀‬‏ حتى يصبح ذيل المتجه سالب ‪𝐀‬‏ على رأس المتجه ‪𝐁‬‏. نرسم متجه المحصلة بداية من ذيل المتجه ‪𝐁‬‏ إلى رأس المتجه سالب ‪𝐀‬‏ ويشير بعيدًا عن نقطة الأصل أو نحو رأس المتجه سالب ‪𝐀‬‏.

يمكننا أن نرى أن للمتجه ‪𝐕‬‏ طولًا يبلغ أربع وحدات على طول المحور الأفقي إلى يسار الشاشة وطولًا يبلغ أربع وحدات على طول المحور الرأسي إلى أعلى الشاشة. في صيغة متجهات الوحدة سيساوي متجه المحصلة سالب أربعة ‪𝐢‬‏ ليعبر عن الوحدات الأربع في اتجاه يسار الشاشة على طول المحور الأفقي زائد أربعة ‪𝐣‬‏ على طول المحور الرأسي إلى أعلى الشاشة. يمكننا التحقق من متجه المحصلة عبر طرح المتجه ‪𝐀‬‏ من المتجه ‪𝐁‬‏، باستخدام صيغة متجهات الوحدة.

ثلاثة ‪𝐢‬‏ ناقص سبعة ‪𝐢‬‏ يساوي سالب أربعة ‪𝐢‬‏، وأربعة ‪𝐣‬‏ ناقص صفر ‪𝐣‬‏ يساوي أربعة ‪𝐣‬‏. تطابق هذه النتيجة النتائج التي حصلنا عليها من الطريقة البيانية. والآن دعونا نقارن متجه المحصلة من عملية طرح المتجه ‪𝐁‬‏ ناقص المتجه ‪𝐀‬‏ بمتجه المحصلة السابق الناتج عن عملية طرح المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏. رسمنا متجهًا متقطعًا باللون الوردي ليمثل متجه المحصلة من ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏. لاحظ أن متجه المحصلة من ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏ هو سالب المتجه الذي يمثل ‪𝐁‬‏ ناقص ‪𝐀‬‏. إذا كنا سنكتب هذا في صورة تعبير رياضي، يمكننا أن نقول إن المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي سالب المتجه ‪𝐁‬‏ ناقص المتجه ‪𝐀‬‏.

نقارن متجهي المحصلة من عملية طرح المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏، الذي يساوي أربعة ‪𝐢‬‏ ناقص أربعة ‪𝐣‬‏؛ والمتجه ‪𝐁‬‏ ناقص المتجه ‪𝐀‬‏، الذي يساوي سالب أربعة ‪𝐢‬‏ زائد أربعة ‪𝐣‬‏. ونلاحظ مرة أخرى أن المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي سالب المتجه ‪𝐁‬‏ ناقص المتجه ‪𝐀‬‏. والآن لنتناول مثالين على طرح المتجهات، حيث نطرح متجهين في أحدهما بيانيًّا ونطرحهما في الآخر باستخدام صيغة متجهات الوحدة.

يوضح الشكل سبعة متجهات: ‪𝐀‬‏، و‪𝐁‬‏، و‪𝐏‬‏، و‪𝐐‬‏، و‪𝐑‬‏، و‪𝐒‬‏، و‪𝐓‬‏. أي المتجهات يساوي ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏؟

المطلوب منا إيجاد متجه المحصلة للمتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏. وحيث إن المتجهات أعطيت لنا في الصورة البيانية، فسيمكننا إجراء عملية طرح المتجهين باستخدام الطريقة البيانية. نحتاج إلى تذكر أنه عندما نطرح المتجه ‪𝐁‬‏ من المتجه ‪𝐀‬‏ سنكون بذلك نجري العملية نفسها لجمع سالب المتجه ‪𝐁‬‏ مع المتجه ‪𝐀‬‏. لحل المسألة سنحتاج إلى رسم متجه يمثل سالب المتجه ‪𝐁‬‏. المتجه السالب هو المتجه الذي يدور بزاوية 180 درجة عن المتجه الأصلي. للمتجه ‪𝐁‬‏ مقدار يبلغ ثلاث وحدات إلى يمين الشاشة. لذا سيكون للمتجه سالب ‪𝐁‬‏ مقدار يبلغ ثلاث وحدات إلى يسار الشاشة. كما أن للمتجه ‪𝐁‬‏ طولًا يبلغ خمس وحدات إلى أعلى الشاشة، ومن ثم سيكون للمتجه سالب ‪𝐁‬‏ قيمة تبلغ خمس وحدات إلى أسفل الشاشة.

والآن بعدما رسمنا المتجه سالب ‪𝐁‬‏ يمكننا أن نجمع المتجه ‪𝐀‬‏ والمتجه سالب ‪𝐁‬‏ معًا باستخدام طريقة الرأس للذيل. في طريقة الرأس للذيل، ينقل أحد المتجهين حتى يصبح ذيله على رأس المتجه الآخر. ويرسم متجه المحصلة من ذيل المتجه الذي لم ينقل إلى رأس المتجه المنقول. في هذه المسألة، سننقل المتجه سالب ‪𝐁‬‏ حتى يصبح على رأس المتجه ‪𝐀‬‏. ثم نرسم متجه المحصلة بداية من ذيل المتجه ‪𝐀‬‏ إلى رأس المتجه سالب ‪𝐁‬‏. سيشير متجه المحصلة بعيدًا عن نقطة الأصل أو نحو رأس المتجه سالب ‪𝐁‬‏. يمكننا أن نرى أن المتجه ‪𝐐‬‏ يتداخل مع متجه المحصلة من المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏. وبذلك يمكننا أن نقول إن من بين المتجهات السبعة المعروضة، المتجه ‪𝐐‬‏ هو المتجه الذي يساوي المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏.

والآن دعونا نطرح متجهين باستخدام صيغة متجهات الوحدة.

لدينا المتجهان ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏؛ حيث المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي ثمانية ‪𝐢‬‏ زائد 10𝐣، والمتجه ‪𝐁‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝐢‬‏ زائد اثنين ‪𝐣‬‏. احسب ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏.

في المسألة أعطينا المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ في صيغة متجهات الوحدة. لذا علينا أن نتذكر أنه عندما نطرح المتجهات التي تكون في صيغة متجهات الوحدة نحتاج إلى طرح المركبات كل على حدة. يعني هذا أننا سنطرح مركبتي ‪𝐢‬‏ معًا ومركبتي ‪𝐣‬‏ معًا كلًّا على حدة. يمكننا أن ننظم طريقة كتابة المتجهين رأسيًّا وبينهما إشارة الطرح لجعل عملية طرح المركبات أسهل. ونضع قبعتين على متجهي الوحدة ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ عندما نكتب العملية الحسابية بأيدينا. ولكن في الشكل النصي من المسألة يكتب كل من ‪𝐢‬‏ و‪𝐣‬‏ بخط عريض لإظهار أنهما متجها وحدة.

يمكننا استخدام المتجه ‪𝐕‬‏ لتمثيل متجه المحصلة من ‪𝐀‬‏ ناقص ‪𝐁‬‏. لإيجاد متجه المحصلة، نبدأ بمركبتي ‪𝐢‬‏. ثمانية ‪𝐢‬‏ ناقص ثلاثة ‪𝐢‬‏ يساوي خمسة ‪𝐢‬‏. ثم نطرح مركبتي ‪𝐣‬‏. ‏10𝐣 ناقص اثنين ‪𝐣‬‏ يساوي ثمانية ‪𝐣‬‏. عندما نطرح متجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏، حيث المتجه ‪𝐀‬‏ يساوي ثمانية ‪𝐢‬‏ زائد 10𝐣، والمتجه ‪𝐁‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝐢‬‏ زائد اثنين ‪𝐣‬‏؛ نحصل على متجه محصلة يساوي خمسة ‪𝐢‬‏ زائد ثمانية ‪𝐣‬‏.

النقاط الأساسية في الدرس

عند طرح المتجهات بيانيًّا نرسم المتجه السالب للمتجه المطروح ثم نستخدم طريقة الرأس للذيل. عند طرح المتجهات باستخدام صيغة متجهات الوحدة نطرح مركبتي ‪𝐢‬‏ ومركبتي ‪𝐣‬‏ كلًّا على حدة. المتجه ‪𝐀‬‏ ناقص المتجه ‪𝐁‬‏ يساوي سالب المتجه ‪𝐁‬‏ ناقص المتجه ‪𝐀‬‏.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.