فيديو السؤال: تقدير النسبة المئوية لمجتمع إحصائي من التوزيع الطبيعي في سياق معطى الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في إحدى المدارس كانت أوزان بعض الطلاب تتبع توزيعًا طبيعيًّا متوسطه ٦٦ كيلوجرامًا، وتباينه ١٦ كيلوجرامًا مربعًا. ما النسبة المئوية للطلاب الذين أوزانهم بين ٥٤ كيلوجرامًا و٧٠ كيلوجرامًا؟

علمنا من السؤال أن مجموعة البيانات هذه تتبع توزيعًا طبيعيًّا. وأن هذا التوزيع الطبيعي متوسطه 𝜇، ويساوي ٦٦، وتباينه 𝜎 تربيع، ويساوي ١٦. نريد إيجاد النسبة المئوية للطلاب الذين أوزانهم بين ٥٤ كيلوجرامًا و٧٠ كيلوجرامًا.

من المفيد هنا الاستعانة بالمنحنى الذي يتخذ شكل الجرس، والذي يصف التوزيع الطبيعي. هذا المنحنى متماثل تمامًا حول المتوسط، والمساحة الكلية أسفله تساوي واحدًا أو ١٠٠ بالمائة. إننا نعلم أن متوسط مجموعة البيانات لدينا هو٦٦. وبما أننا نريد إيجاد النسبة المئوية للطلاب الذين أوزانهم بين ٥٤ و٧٠ كيلوجرامًا، علينا إيجاد احتمال وقوع طالب في المساحة المظللة.

لفعل ذلك، علينا التفكير في تحويل البيانات الموزعة طبيعيًّا إلى بيانات ذات توزيع معياري باستخدام صيغة ﺹ. وهذه طريقة يمكننا بها تحويل المعطيات التي لدينا. تتيح لنا هذه الطريقة إيجاد الاحتمالات من جدول التوزيع الطبيعي المعياري. هذا الجدول متوسطه 𝜇 يساوي صفرًا وانحرافه المعياري يساوي واحدًا.

صيغة ﺹ هي ﺱ ناقص 𝜇، وهو المتوسط، على 𝜎؛ حيث 𝜎 هو الانحراف المعياري. يمكننا إيجاد الجذر التربيعي لهذا التباين. وعند فعل ذلك، نلاحظ أن الانحراف المعياري لمجموعة البيانات التي لدينا يساوي أربعة. قيمتا ﺱ اللتان نريد إيجاد قيمتي ﻱ المناظرتين لهما هما ٥٤ كيلوجرامًا و٧٠ كيلوجرامًا.

بالنسبة إلى قيمة ﺱ التي تساوي ٥٤، فإن صيغة ﻱ تساوي ٥٤ ناقص ٦٦ على أربعة. هذا يساوي سالب ثلاثة. أما بالنسبة إلى قيمة ﺱ التي تساوي ٧٠، تصبح الصيغة ٧٠ ناقص ٦٦ على أربعة. ويمكننا ملاحظة أن قيمة ﻱ الثانية تساوي واحدًا. نلاحظ إذن أنه لإيجاد احتمال أن وزن الطالب يتراوح بين ٥٤ و٧٠ كيلوجرامًا، علينا إيجاد احتمال أن تكون قيمة ﺹ أكبر من سالب ثلاثة وأقل من واحد.

بما أن هذه الاحتمالات تكرارية، يمكننا قول إنه لإيجاد هذا الاحتمال، سنطرح احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من أو تساوي سالب ثلاثة من احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من واحد. يمكننا إيجاد القيمة المناظرة لـ ﻱ يساوي واحدًا في الجدول الطبيعي المعياري، وهي ٠٫٨٤١٣. ومن ثم، فإن احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من واحد أو احتمال أن يكون وزن طالب أقل من ٧٠ كيلوجرامًا هو٠٫٨٤١٣.

لكن ماذا عن احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من سالب ثلاثة؟ لا توجد قيم سالبة في جدول التوزيع الطبيعي المعياري. حسنًا، إذا نظرنا إلى منحنى التوزيع الطبيعي المعياري، فسنلاحظ أن احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من سالب ثلاثة هو هذه المنطقة المظللة.

لقد ذكرنا أن هذا المنحنى متماثل تمامًا حول المتوسط. إذن، يمكننا قول إن احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من سالب ثلاثة يساوي احتمال أن تكون قيمة ﺹ أكبر من ثلاثة. في الواقع، لإيجاد احتمال أن تكون قيمة ﺹ أكبر من ثلاثة، يمكننا طرح احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من ثلاثة من واحد؛ لأن المساحة الكلية أسفل المنحنى تساوي واحدًا. إذن، احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من ثلاثة وفقًا لجدول التوزيع الطبيعي المعياري هو٠٫٩٩٨٧.

ومن ثم، فإن احتمال أن تكون قيمة ﺹ أكبر من ثلاثة أو احتمال أن تكون قيمة ﺹ أقل من سالب ثلاثة هو واحد ناقص ٠٫٩٩٨٧، وهو ما يساوي ٠٫٠٠١٣. هذا يعني أن احتمال أن تكون قيمة ﺹ أكبر من سالب ثلاثة وأقل من واحد هو٠٫٨٤١٣ ناقص ٠٫٠٠١٣. وهذا يساوي ٠٫٨٤.

وللتحويل من عدد عشري إلى نسبة مئوية، نضرب في ١٠٠. ولذا فإن ٠٫٨٤ يساوي ٨٤ بالمائة. إذن، يمكننا قول إن النسبة المئوية للطلاب الذين أوزانهم بين ٥٤ و٧٠ كيلوجرامًا هي ٨٤ بالمائة.