فيديو: امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن عشر أ

امتحان التفاضل والتكامل للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثامن عشر أ

٠٩:٥٥

‏نسخة الفيديو النصية

ما القيم العظمى والصغرى المحلِّيَّة للدالة: د س بتساوي س أُس تلاتة ناقص تلاتة س ناقص اتنين؟ اوجد نقطة انقلاب منحنى الدالة إن وُجدت.

في البداية، لو عندنا أيّ دالة، ولتكن مثلًا الدالة ر س. فمن خلال المشتقَّة الأولى للدالة ر س، نقدر نوجد فترات تزايد وتناقص الدالة. ونقدر أيضًا نوجد النقاط العظمى والصغرى المحلِّيَّة. ونقدر أيضًا نوجد النقاط العظمى والصغرى المطلَقة. ومن خلال المشتقَّة التانية للدالة ر س، نقدر نوجد فترات تحدُّب منحنى الدالة ونقاط الانقلاب.

مطلوب نوجد القيم العظمى والصغرى المحلِّيَّة للدالة د س. وبالتالي عشان نقدر نوجد القيم العظمى والصغرى المحلِّيَّة للدالة د س، فهنستخدم المشتقة الأولى للدالة. ومطلوب أيضًا نوجد نقط انقلاب منحنى الدالة. فعشان نوجد نقط انقلاب منحنى الدالة، هنستخدم المشتقَّة التانية للدالة.

بالنسبة لأول مطلوب، وهو القيم العظمى والصغرى المحلِّيَّة للدالة، عشان نقدر نوجدهم محتاجين ننفّذ بعض الخطوات. أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة الأولى للدالة د س. وتاني خطوة: هنحدِّد النقاط الحرجة للدالة. وبعدين هنبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. ولو كانت إشارتها موجبة ثم سالبة هيكون عندنا قيمة عظمى محلِّيَّة. ولو كانت إشارتها سالبة ثم موجبة هيكون عندنا قيمة صغرى محلِّيَّة.

وبتنفيذ الخطوات، أول خطوة هنوجد المشتقة الأولى للدالة د س. معطى إن الدالة د س بتساوي س أُس تلاتة ناقص تلاتة س ناقص اتنين. يعني المشتقة الأولى للدالة د س هتساوي … مشتقة س أُس تلاتة هتساوي تلاتة في س أُس اتنين. ومشتقة سالب تلاتة س هتساوي سالب تلاتة. ومشتقة سالب اتنين هتساوي صفر. يعني المشتقَّة الأولى للدالة د س هتساوي تلاتة س أُس اتنين ناقص تلاتة. يبقى كده نكون قدرنا نوجد المشتقة الأولى للدالة د س.

محتاجين نحدِّد النقاط الحرجة للدالة. والنقاط الحرجة للدالة هتكون هي النقاط اللي بيكون عندها المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر. أو هي النقاط اللي بيكون عندها المشتقة الأولى للدالة د س بتكون غير موجودة. وبما إن الدالة د س معرَّفة عند جميع قيم س الحقيقية، يبقى ليس هناك قيم لِـ س بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س غير موجودة. يبقى النقاط الحرجة هتكون هي النقاط فقط اللي بتجعل المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي صفر.

لمَّا المشتقة الأولى للدالة د س هتساوي صفر، فهيكون عندنا تلاتة س تربيع ناقص تلاتة بيساوي صفر. ناخد تلاتة عامل مشترك، فيكون عندنا تلاتة مضروبة في س تربيع ناقص واحد، هتساوي صفر. بالتحليل هيكون عندنا تلاتة مضروبة في س ناقص واحد مضروبة في س زائد واحد، هيساوي صفر. يعني هيكون عندنا قيمتين لِـ س؛ أول قيمة إن س ناقص واحد هتساوي صفر. يعني س هتساوي واحد. أو تاني قيمة لِـ س: إن س زائد واحد هتساوي صفر. يعني س هتساوي سالب واحد. كده نكون قدرنا نوجد النقاط الحرجة. وهي عند س بتساوي واحد، وعند س بتساوي سالب واحد. يبقى كده قدرنا نحدِّد النقاط الحرجة للدالة.

محتاجين نبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. فمن خلال الجدول الآتي، أول صفّ هيكون عندنا قيم س. وتاني صفّ هيكون عندنا إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. وتالت صفّ هيكون عندنا سلوك الدالة د س. بالنسبة لقيم س، هيكون عندنا سالب واحد وواحد. وعندنا بداية ونهاية الفترة، اللي هي سالب ما لا نهاية وما لا نهاية. وبالتالي هيكون عندنا تلات فترات. أول فترة: من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد. وتاني فترة: من سالب واحد إلى واحد. وتالت فترة: من واحد إلى ما لا نهاية.

بالنسبة لأول فترة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد. عشان نقدر نبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س، هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي سالب اتنين. فهنوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة د س عند س بتساوي سالب اتنين. فهتكون بتساوي تلاتة مضروبة في سالب اتنين تربيع، ناقص تلاتة. يعني الناتج هيساوي تسعة. وبالتالي هنلاحظ إن إشارة المشتقة التانية للدالة د س عند س بتساوي سالب اتنين هتكون موجبة. وبما إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى سالب واحد كانت موجبة، فسلوك الدالة د س هيكون بالشكل ده.

تاني حاجة، بالنسبة للفترة من سالب واحد إلى واحد. هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي صفر. وهنوجد قيمة المشتقة الأولى للدالة د س عند س بتساوي صفر.‏ فهتكون بتساوي … تلاتة في صفر تربيع ناقص تلاتة يعني هتساوي سالب تلاتة. وبالتالي هنجد إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س عند س بتساوي صفر كانت سالبة. وبالنسبة لسلوك الدالة د س هيكون بالشكل ده.

بالنسبة لآخر فترة هي من واحد إلى ما لا نهاية، هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي اتنين. وهنعوَّض عن س بتساوي اتنين في المشتقة الأولى للدالة د س. فهتساوي … تلاتة في اتنين تربيع ناقص تلاتة، يعني هتساوي تسعة. وبالتالي إشارة المشتقة الأولى للدالة د س عند س بتساوي اتنين هتكون موجبة. يعني سلوك الدالة في الفترة هيكون بالشكل ده. يبقى كده نكون قدرنا نبحث إشارة المشتقة الأولى للدالة د س. هنلاحظ إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س تغيَّرت من موجبة إلى سالبة عند س بتساوي سالب واحد. وبالتالي هيكون للدالة قيمة عظمى محلِّيَّة عند س بتساوي سالب واحد.

ولو عايزين نوجد القيمة العظمى المحلِّيَّة عند س بتساوي سالب واحد، فهنعوَّض عن س بسالب واحد في الدالة الأصلية. يعني د سالب واحد هتساوي صفر. وبالتالي القيمة العظمى المحلِّيَّة للدالة د س هتكون بتساوي صفر. يبقى كده نكون قدرنا نوجد القيمة العظمى المحلِّيَّة للدالة.

تاني حاجة، هنلاحظ إن إشارة المشتقة الأولى للدالة د س بتتغيَّر من سالبة إلى موجبة عند س بتساوي واحد. يعني عند س بتساوي واحد هيكون عندنا قيمة صغرى محلِّيَّة للدالة. والقيمة الصغرى المحلِّيَّة عند س بتساوي واحد هنعوَّض عن س بواحد في معادلة الدالة الأصلية. يعني هيكون عندنا د واحد هتساوي سالب أربعة. يعني للدالة قيمة صغرى محلِّيَّة، وكانت بتساوي سالب أربعة. وبكده نكون قدرنا نوجد أول مطلوب، وهو القيم العظمى والصغرى المحلِّيَّة للدالة د س.

بالنسبة لتاني مطلوب، وهو إيجاد نقط انقلاب منحنى الدالة. فعشان نقدر نوجد نقط انقلاب منحنى الدالة، محتاجين ننفّذ بعض الخطوات. بالنسبة لأول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة التانية للدالة د س. وتاني خطوة: محتاجين نوجد حلّ المعادلة إن المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر. وتالت خطوة: هنبحث إشارة المشتقة التانية للدالة د س. وآخر خطوة: لو كانت إشارتها تغيَّرت من موجبة إلى سالبة أو من سالبة إلى موجبة هيكون عندنا نقطة انقلاب.

وبتنفيذ الخطوات، أول خطوة: محتاجين نوجد المشتقة التانية للدالة د س. قدرنا نوجد المشتقة الأولى للدالة د س بتساوي تلاتة س تربيع ناقص تلاتة. فالمشتقة التانية للدالة د س هتساوي … مشتقَّة تلاتة س تربيع، هتساوي ستة س. مشتقَّة سالب تلاتة هتساوي صفر. يعني كده قدرنا نوجد المشتقة التانية للدالة د س. محتاجين نحلّ معادلة إن المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر. وعند المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر هيكون عندنا ستة س بتساوي صفر. يعني س هتساوي صفر. يبقى قدرنا نوجد إن س هتساوي صفر عند المشتقة التانية للدالة د س بتساوي صفر.

الخطوة القادمة: محتاجين نبحث إشارة المشتقة التانية للدالة د س. وبالتالي من خلال الجدول الآتي، أول صفّ هيكون عندنا قيم س. تاني صفّ هيكون عندنا إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س. وتالت صفّ هيكون عندنا سلوك الدالة د س. بالنسبة لقيم س، هنجد إن عند المشتقَّة التانية للدالة د س بتساوي صفر كانت قيمة س بتساوي صفر. وهيكون عندنا بداية ونهاية الفترة، اللي هي سالب ما لا نهاية وما لا نهاية. وبالتالي هيكون عندنا فترتين؛ أول فترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر. وتاني فترة من صفر إلى ما لا نهاية.

عشان نقدر ندرس إشارة المشتقة التانية للدالة د س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر، محتاجين نختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة. ونوجد قيمة المشتقة التانية للدالة د س عند القيمة دي. يعني مثلًا هنختار قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي سالب واحد. فعند س بتساوي سالب واحد، المشتقة التانية للدالة د س عند س بتساوي سالب واحد هتكون بتساوي ستة مضروبة في سالب واحد. يعني هتكون بتساوي سالب ستة. وبالتالي إشارة المشتقَّة التانية للدالة د س في الفترة من سالب ما لا نهاية إلى صفر هتكون سالبة. وهيبقى سلوك الدالة د س هيكون بالشكل ده. يعني هيكون منحنى الدالة محدَّب لأعلى.

وبالنسبة لتاني فترة من صفر إلى ما لا نهاية. عشان نقدر ندرس إشارة المشتقة التانية للدالة د س هنختار أيّ قيمة لِـ س بداخل الفترة، ولتكن مثلًا عند س بتساوي واحد. وهنوجد قيمة المشتقة التانية للدالة د س عند س بتساوي واحد. فهيكون عندنا ستة مضروبة في واحد، يعني هتساوي ستة. فهنلاحظ إن إشارة المشتقة التانية للدالة د س في الفترة من صفر لما لا نهاية هتكون إشارتها موجبة. بالتالي سلوك الدالة د س هيكون بالشكل ده. يعني سلوك الدالة هيكون محدَّب لأسفل. وهنلاحظ إن إشارة المشتقة التانية للدالة د س تغيَّرت من سالبة إلى موجبة عند س بتساوي صفر. يعني منحنى الدالة تغيَّر من محدَّب لأعلى إلى محدَّب لأسفل. وده معناه إن هيكون عندنا نقطة انقلاب عند س بتساوي صفر. وعشان نقدر نوجد نقطة الانقلاب، فهنعوَّض عن س بصفر في الدالة الأصلية، يعني هنوجد د صفر. وهتساوي سالب اتنين. وبالتالي نقطة الانقلاب هتكون هي صفر وسالب اتنين.

يبقى كده قدرنا نوجد تاني مطلوب، وهو نقطة انقلاب منحنى الدالة. يعني الدالة د س هيكون ليها قيمة عظمى محلِّيَّة عند س بتساوي سالب واحد. وهتكون القيمة العظمى المحلِّيَّة هي صفر. والدالة هيكون ليها قيمة صغرى محلِّيَّة عند س بتساوي واحد. والقيمة الصغرى المحلِّيَّة هتكون هي سالب أربعة. والدالة هيكون ليها نقطة انقلاب. وهتكون هي النقطة صفر وسالب اتنين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.