فيديو السؤال: إيجاد المسافة العمودية بين نقطة معطاة وخط مستقيم يمر بنقطة أخرى بمعلومية ميل الخط المستقيم الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

احسب طول الخط العمودي المرسوم من النقطة ﻥ: سالب ثمانية، خمسة إلى الخط المستقيم المار بالنقطة ﻙ: اثنين، سالب أربعة، والذي ميله يساوي سالب ثمانية.

لحل هذه المسألة، لدينا في الواقع صيغة يمكننا استخدامها، وهذا سيساعدنا على إيجاد طول الخط العمودي المرسوم من نقطة إلى خط مستقيم. لكن، يجب أن يكون لدينا النقطة التي إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد. ويكون الخط المستقيم لدينا على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. هذه الصيغة هي ﻝ، أي البعد العمودي لدينا، يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟ. وهذا كله مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

هذا رائع لأنه لدينا صيغة يمكننا استخدامها. لكن ليس لدينا، حتى الآن، خط مستقيم على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. لذا، أول شيء سنفعله هو إيجاد هذا الخط المستقيم. لكن كيف سنفعل ذلك؟ حسنًا، يمكننا فعل ذلك باستخدام الصورة العامة لمعادلة الخط المستقيم. وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﻡ هو الميل وﺟ هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ. إذن لبدء الحل، نكتب المعادلة ﺹ يساوي سالب ثمانية ﺱ زائد ﺟ. وذلك لأن الميل يساوي سالب ثمانية. لكن، نحن لا نعلم قيمة ﺟ، كيف يمكننا إيجادها؟

في الواقع، نحن نعرف إحدى النقاط الواقعة على الخط المستقيم لأننا نعلم أن الخط المستقيم يمر بالنقطة ﻙ، التي تساوى اثنين، سالب أربعة. ومن ثم، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين عن ﺱ وﺹ. وهكذا، يصبح لدينا ﺱ يساوي اثنين، وﺹ يساوي سالب أربعة. وهو ما يمكننا استخدامه لإيجاد قيمة ﺟ. إذن، بالتعويض، يصبح لدينا سالب أربعة يساوي سالب ثمانية مضروبًا في اثنين زائد ﺟ. وبحساب ذلك، نحصل على سالب أربعة يساوي سالب ١٦ زائد ﺟ. الآن، كل ما علينا فعله لإيجاد قيمة ﺟ هو إضافة ١٦ إلى طرفي المعادلة. وهكذا، نحصل على ١٢ يساوي ﺟ. بهذه الطريقة، نكون قد توصلنا إلى معادلة الخط المستقيم لأنه يمكننا التعويض بهذه القيمة. وحينها، نحصل على المعادلة ﺹ يساوي سالب ثمانية ﺱ زائد ١٢.

لكن، هذه ليست الصورة التي نريد أن تكون المعادلة عليها، نحن نريدها أن تكون على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ومن ثم، علينا إعادة ترتيب المعادلة بعض الشيء. بإضافة ثمانية ﺱ وطرح ١٢ من طرفي المعادلة، نحصل على ثمانية ﺱ زائد ﺹ ناقص ١٢ يساوي صفرًا. بهذا، تكون المعادلة لدينا على الصورة التي نريدها. ونكون قد أوجدنا قيم ﺃ وﺏ وﺟ؛ حيث ﺃ يساوي ثمانية، وﺏ يساوي واحدًا، وﺟ يساوي سالب ١٢. وكما ذكرنا، نحن نعلم الآن قيم ﺃ وﺏ وﺟ. لكن، لكي نستخدم هذه الصيغة، علينا أيضًا إيجاد ﺱ واحد، ﺹ واحد. ‏ﺱ واحد، ﺹ واحد سيكونان إحداثيات النقطة التي رسم منها الخط العمودي. ومن ثم، نجد أن ﺱ واحد يساوي سالب ثمانية، وﺹ واحد يساوي خمسة.

لدينا الآن جميع الأجزاء المكونة للصيغة. ويمكننا التعويض بها لإيجاد طول الخط العمودي. إذن، يمكننا القول إن ﻝ يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لثمانية مضروبًا في سالب ثمانية زائد واحد مضروبًا في خمسة ناقص ١٢. وهذا كله مقسوم على جذر ثمانية تربيع زائد واحد تربيع. بحساب ذلك، نحصل على ﻝ يساوي القيمة المطلقة أو مقياس سالب ٦٤ زائد خمسة ناقص ١٢ على جذر ٦٥. ومن ثم، نجد أن ﻝ يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لسالب ٧١ على جذر ٦٥، وهو ما يساوي ببساطة ٧١ على جذر ٦٥؛ لأنه إذا كان هذا يمثل القيمة المطلقة أو المقياس، فإن ما يعنينا هو المعيار أو القيمة الموجبة فحسب.

قد نظن الآن أنه يمكننا الاكتفاء بالقول إن القيمة هي ٧١ على جذر ٦٥. لكن، عندما يكون لدينا جذر تربيعي أو جذر أصم في الأسفل، أي في المقام، يكون علينا إنطاق المقام. ولفعل ذلك، نضرب في جذر ٦٥ على جذر ٦٥. لكن، ما سبب هذا؟ في الواقع، عندما يكون لدينا جذر ﺃ مضروبًا في جذر ﺃ، فإنه يساوي ﺃ. وعليه، إذا ضربنا جذر ٦٥ في جذر ٦٥، فإننا نحصل على ٦٥. بهذا، يمكننا القول إن طول الخط العمودي المرسوم من النقطة ﻥ: سالب ثمانية، خمسة إلى الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﻙ: اثنين، سالب أربعة، والذي ميله يساوي سالب ثمانية؛ هو ٧١ جذر ٦٥ على ٦٥.