فيديو السؤال: إيجاد مجموعة أصفار دالة تكعيبية

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة أصفار الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي سبعة 𝑥 في 𝑥 ناقص واحد في 𝑥 زائد ستة.

أولًا، ماذا نعني بمجموعة أصفار الدالة؟ حسنًا، أصفار الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 هي قيم 𝑥 التي تجعل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي صفرًا. إذن، لإيجاد مجموعة أصفار الدالة، نحتاج إلى حل الدالة 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي صفرًا، ثم وضع هذه الحلول في مجموعة. نكتب 𝑓 في المتغير 𝑥 تساوي صفرًا؛ وهي المعادلة التي نريد حلها. نستخدم تعريف 𝑓 في المتغير 𝑥، إذن لدينا سبعة 𝑥 في 𝑥 ناقص واحد في 𝑥 زائد ستة يساوي صفرًا. نعلم من معطيات المسألة أن حاصل ضرب هذه العوامل الثلاثة؛ سبعة 𝑥 و𝑥 ناقص واحد و𝑥 زائد ستة، يساوي صفرًا. والطريقة الوحيدة التي يمكن أن يحدث بها هذا أن يكون أحد تلك العوامل نفسها يساوي صفرًا. إذن، إما أن سبعة 𝑥 يساوي صفرًا، وإما أن 𝑥 ناقص واحد يساوي صفرًا، وإما أن 𝑥 زائد ستة يساوي صفرًا.

تسمى الخاصية أو القانون الذي يسمح لنا أن نقول: إن أحد العوامل يجب أن يساوي صفرًا، «خاصية الضرب في صفر». على أية حال، بدلًا من معادلة واحدة صعبة، لدينا الآن ثلاث معادلات بسيطة يمكننا حلها كل على حدة. في المعادلة الأولى، حيث سبعة 𝑥 يساوي صفرًا، نقسم كلا الطرفين على سبعة. ومن ثم، نجد أنه، في هذه الحالة، 𝑥 يساوي صفرًا.

والآن ننظر إلى المعادلة الثانية، 𝑥 ناقص واحد يساوي صفرًا، ونضيف واحدًا إلى كلا الطرفين للحصول على 𝑥 يساوي واحدًا. ونطرح ستة من كلا طرفي المعادلة الأخيرة للحصول على 𝑥 يساوي سالب ستة. وإذا نظرنا إلى المعادلة التي نريد حلها، سبعة 𝑥 في 𝑥 ناقص واحد في 𝑥 زائد ستة يساوي صفرًا، فإننا نلاحظ أنه عندما يكون 𝑥 يساوي صفرًا، فإن العامل الأول من الطرف الأيسر، سبعة 𝑥، يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن المقدار بالكامل في الطرف الأيسر يساوي صفرًا. وعندما يكون 𝑥 يساوي واحدًا، فسيكون العامل الثاني من الطرف الأيسر يساوي صفرًا، ومن ثم سيكون المقدار بالكامل في الطرف الأيسر يساوي صفرًا. وعندما يكون 𝑥 يساوي سالب ستة، فسيكون العامل الثالث من الطرف الأيسر، 𝑥 زائد ستة، يساوي صفرًا، ومن ثم سيكون المقدار بالكامل في الطرف الأيسر يساوي صفرًا. إذن، أصفار الدالة هي صفر، وواحد، وسالب ستة. هذه هي القيم الثلاث التي تجعل الدالة تساوي صفرًا. وبما أننا نريد مجموعة الأصفار، علينا وضع هذه القيم في مجموعة. وبالطبع، لا يهم الترتيب الموضوعة به في هذه المجموعة.

إذن، مجموعة أصفار هذه الدالة هي المجموعة التي تحتوي على صفر، وسالب ستة، وواحد.