فيديو: الوسط الحسابي لمجموعة بيانات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب الوسط الحسابي لمجموعة من الأعداد الكلية أو الأعداد العشرية.

١٤:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب الوسط الحسابي لمجموعة بيانات، وكيف نوجد عددًا ناقصًا في مجموعة ما، بمعلومية البيانات الأخرى والوسط الحسابي.

لنبدأ بتذكر ما هو الوسط الحسابي لمجموعة ما. الوسط الحسابي هو أحد مقاييس النزعة المركزية؛ أي إنه قيمة نموذجية في مجموعة البيانات. وهناك مقاييس أخرى للنزعة المركزية. فكذلك المنوال والوسيط يعطيان قيمة نموذجية للمجموعة. في هذا الفيديو، سنركز على الوسط الحسابي. إذن، لحساب الوسط الحسابي، نبدأ بجمع جميع قيم البيانات، ثم نقسم على عدد هذه القيم. يمكننا تصور ذلك على صورة صيغة حيث إن الوسط الحسابي يساوي مجموع قيم البيانات على إجمالي عدد هذه القيم.

لذا، على سبيل المثال، إذا كان لدينا مجموعة بيانات مكونة من خمسة أعداد، فسنجمعها معًا لنحصل على البسط، وهو مجموع قيم البيانات هذه، ثم نقسم على خمسة لأن هذا هو عدد القيم في المجموعة. سنتناول الآن بعض الأسئلة. في السؤال الأول، سنوجد الوسط الحسابي لمجموعات متعددة من البيانات.

أي مجموعات البيانات الآتية وسطها الحسابي ‪59‬‏؟ الخيار (أ) ‪11‬‏، ‪50‬‏، ‪21‬‏، ‪72‬‏، ‪48‬‏. الخيار (ب) ‪52‬‏، ‪76‬‏، ‪23‬‏، ‪50‬‏، ‪15‬‏. الخيار (ج) ‪90‬‏، ‪64‬‏، ‪49‬‏، ‪13‬‏، ‪50‬‏. الخيار (د) ‪74‬‏، ‪79‬‏، ‪27‬‏، ‪59‬‏، ‪56‬‏. الخيار (هـ) ‪81‬‏، ‪34‬‏، ‪85‬‏، ‪21‬‏، ‪76‬‏.

في هذا السؤال، علينا معرفة أي مجموعة بيانات وسطها الحسابي ‪59‬‏. نتذكر أنه لإيجاد الوسط الحسابي، علينا إيجاد مجموع قيم البيانات ثم القسمة على إجمالي عدد هذه القيم. عندما نحصل من ذلك على الناتج ‪59‬‏، نكون إذن قد أوجدنا مجموعة البيانات التي وسطها الحسابي هو ‪59‬‏.

إذا بدأنا بالنظر إلى مجموعة البيانات في الخيار (أ)، فسنبدأ بجمع قيم البيانات. إذن في البسط، سيكون لدينا ‪11‬‏ زائد ‪50‬‏ زائد ‪21‬‏ زائد ‪72‬‏ زائد ‪48‬‏. وبما أن لدينا خمسة أعداد في مجموعة البيانات، فسنقسم مجموع هذه القيم على خمسة. يمكننا تبسيط ذلك إلى ‪202‬‏ على خمسة. ويمكننا حساب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة أو بتحويله إلى عدد كسري، ونجد أن الوسط الحسابي للمجموعة الموجودة في الخيار (أ) يساوي ‪40.4‬‏. وبذلك، فإن الخيار (أ) وسطه الحسابي ليس ‪59‬‏.

يمكننا إيجاد الوسط الحسابي للمجموعة (ب) بتطبيق القاعدة نفسها. سنجمع القيم الموجودة في مجموعة البيانات معًا. ولأن لدينا خمسة أعداد، سنقسم على خمسة. مجموع القيم لدينا يساوي ‪216‬‏. إذن، علينا حساب ‪216‬‏ على خمسة. وهذا الناتج، ‪43.2‬‏، يعني أن الخيار (ب) وسطه الحسابي ليس ‪59‬‏.

يمكن إيجاد الوسط الحسابي للخيار (ج) بجمع القيم الخمس والقسمة على خمسة. نجد أن الوسط الحسابي هذه المرة يساوي ‪53.2‬‏، ولكنه ما زال ليس الوسط الحسابي ‪59‬‏.

في الخيار (د)، مجموع القيم لدينا هو ‪295‬‏. إذن، نحسب ‪295‬‏ على خمسة، وهو ما يعطينا الوسط الحسابي ‪59‬‏. وبذلك، فقد أوجدنا مجموعة البيانات التي وسطها الحسابي هو ‪59‬‏.

يمكننا التحقق من مجموعة البيانات الأخيرة للتأكد فقط من عدم وجود مجموعة أخرى وسطها الحسابي ‪59‬‏. هذه المرة، سنستخدم طريقة مختلفة في البداية. يمكننا أن نلاحظ من الخيار (د) أنه عندما أوجدنا مجموعة بيانات وسطها الحسابي ‪59‬‏، كان مجموع هذه الأعداد ‪295‬‏. لأننا نعلم أن خمسة مضروبًا في ‪59‬‏ يساوي ‪295‬‏. في مجموعة البيانات (هـ) التي سنتحقق منها، نعلم أن هناك أيضًا خمسة أعداد في مجموعة البيانات هذه. إذن، للتحقق بشكل أسرع لمعرفة ما إذا كان الوسط الحسابي يساوي ‪59‬‏، يمكننا التحقق مما إذا كان مجموع الأعداد هو ‪295‬‏. وعليه، إذا جمعنا ‪81‬‏ و‪34‬‏ و‪85‬‏ و‪21‬‏ و‪76‬‏، فسنحصل على ‪297‬‏ وليس ‪295‬‏. إذن، نعرف من ذلك أن الوسط الحسابي لهذه المجموعة لن يكون ‪59‬‏.

إذا أردنا الاستمرار في الحل عن طريق إيجاد الوسط الحسابي، فسنجمع هذه القيم ونقسم على خمسة. إذن، ‪297‬‏ على خمسة يساوي ‪59.4‬‏. يمكننا بالطبع تقريبه إلى ‪59‬‏. لكنها ليست القيمة الدقيقة التي نبحث عنها. لذا، يمكننا استبعاد الخيار (هـ). إذن، الإجابة هي أن الخيار (د) ‪74‬‏، ‪79‬‏، ‪27‬‏، ‪59‬‏، ‪56‬‏ هو مجموعة البيانات التي وسطها الحسابي ‪59‬‏.

في السؤال التالي، سنتناول ما يحدث عندما يكون الوسط الحسابي معلومًا، لكن علينا إيجاد معلومة أخرى.

في كأس العالم لكرة القدم، أحرز فريق ‪32‬‏ هدفًا إجمالًا بمتوسط هدفين في كل مباراة. ما إجمالي عدد المباريات التي لعبها الفريق؟

في هذا السؤال، نعلم أن فريق كرة القدم أحرز ‪32‬‏ هدفًا إجمالًا خلال عدد من المباريات. والوسط الحسابي لعدد الأهداف هو هدفان لكل مباراة. علينا إيجاد عدد المباريات التي لعبها الفريق بالفعل. في هذه الحالة، يمكننا القول إن الوسط الحسابي لعدد الأهداف لكل مباراة يساوي إجمالي عدد الأهداف على إجمالي عدد المباريات.

يمكننا ملاحظة أن الوسط الحسابي للأهداف في المباراة الواحدة هو اثنان، وأن إجمالي عدد الأهداف هو ‪32‬‏، وعدد المباريات هو ما نريد إيجاده. دعونا نرمز لهذه القيمة بالرمز ‪𝑦‬‏. والآن علينا أن نحل لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏. إذن، إذا ضربنا كلا طرفي المعادلة في ‪𝑦‬‏، فسيصبح لدينا اثنان ‪𝑦‬‏ يساوي ‪32‬‏. لإيجاد قيمة ‪𝑦‬‏، نقسم كلا طرفي المعادلة على اثنين، وهو ما يعطينا ‪16‬‏. إذن، إجمالي عدد المباريات التي لعبها الفريق هو ‪16‬‏ مباراة.

يمكننا التأكد من إجابتنا من خلال ملاحظة أنه إذا عرفنا أن هناك ‪32‬‏ هدفًا إجمالًا، وأن الفريق لعب ‪16‬‏ مباراة. إذن، الوسط الحسابي لعدد الأهداف سيساوي اثنين. وبذلك، لا بد أننا على صواب عندما نقول إن الفريق لعب ‪16‬‏ مباراة إجمالًا.

في السؤال التالي، سنتعرف على كيفية إيجاد قيمة ناقصة في مجموعة بيانات، بمعلومية الوسط الحسابي.

إذا كان الوسط الحسابي للقيم ثمانية، و‪22‬‏، وأربعة، و‪12‬‏، و‪𝑥‬‏؛ هو ‪15‬‏، فأوجد قيمة ‪𝑥‬‏.

في هذا السؤال، لدينا مجموعة بيانات تحتوي على قيمة مجهولة، وهي ‪𝑥‬‏. نعلم أن الوسط الحسابي لهذه القيم هو ‪15‬‏، وعلينا إيجاد القيمة المجهولة ‪𝑥‬‏. يمكننا إيجاد الوسط الحسابي لمجموعة بيانات من خلال حساب مجموع قيم البيانات والقسمة على إجمالي عدد هذه القيم. لذا، يمكننا أن نبدأ بجمع القيم ثمانية زائد ‪22‬‏ زائد أربعة زائد ‪12‬‏ زائد ‪𝑥‬‏. وبما أننا نعرف أن لدينا خمس قيم للبيانات، فسنقسم على خمسة.

لاحظ أنه على الرغم من أننا لا نعرف قيمة ‪𝑥‬‏ حتى الآن، إلا أننا سنحسبها ضمن القيم. نعرف من السؤال أن الوسط الحسابي يساوي ‪15‬‏. لذا يمكننا وضعه في الطرف الأيسر للمعادلة. لا نعرف حاليًا قيمة ‪𝑥‬‏، ولكن يمكننا الاستمرار بجمع القيم الأخرى معًا الموجودة في المجموعة. يمكننا بعد ذلك تبسيط العملية الحسابية لتصبح ‪15‬‏ يساوي ‪46‬‏ زائد ‪𝑥‬‏ على خمسة. علينا الآن إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏.

بضرب طرفي المعادلة في خمسة، نحصل على ‪75‬‏ يساوي ‪46‬‏ زائد ‪𝑥‬‏. ثم بطرح ‪46‬‏ من كلا طرفي المعادلة، يصبح لدينا ‪75‬‏ ناقص ‪46‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏. بعد ذلك، يصبح لدينا ‪29‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏. إذن، الإجابة هي ‪𝑥‬‏ يساوي ‪29‬‏. يمكننا التحقق من إجابتنا بالتعويض عن ‪𝑥‬‏ بالقيمة ‪29‬‏، وجمع باقي القيم، ثم القسمة على خمسة، والتأكد من حصولنا على القيمة ‪15‬‏. ومن ثم التأكد من أن قيمة ‪𝑥‬‏ تساوي ‪29‬‏.

سنتناول الآن مسألتين كلاميتين تتضمنان استخدام الوسط الحسابي.

أعمار الأشخاص المشاركين في أحد التجمعات هي: ‪49‬‏، ‪27‬‏، ‪37‬‏، ‪44‬‏، ‪34‬‏، ‪36‬‏، ‪19‬‏، ‪24‬‏، ‪23‬‏، ‪40‬‏، ‪20‬‏، ‪21‬‏، ‪43‬‏. عندما انضم شخص آخر إلى ذلك التجمع، أصبح الوسط الحسابي للأعمار ‪31‬‏. ما عمر الشخص الذي انضم إلى التجمع؟

يخبرنا هذا السؤال بأن هناك عددًا من الأشخاص في أحد التجمعات. ولدينا أيضًا أعمار هؤلاء الأشخاص. يخبرنا السؤال أيضًا بأن هناك شخصًا آخر انضم إلى التجمع، لكننا لا نعرف عمره. ولكننا نعلم أن الوسط الحسابي لأعمار الجميع هو ‪31‬‏. إذن، كيف يمكننا حساب عمر هذا الشخص الجديد بمعلومية الوسط الحسابي؟

نتذكر أن الوسط الحسابي يساوي مجموع قيم البيانات على إجمالي عدد هذه القيم. في هذا السياق، قيم البيانات هنا هي الأعمار. وإجمالي عدد هذه القيم هو إجمالي عدد الأشخاص في التجمع. يمكننا إذن كتابة هذه المعطيات في تلك الصيغة. وبما أننا نعلم أن الوسط الحسابي يساوي ‪31‬‏. فلإيجاد مجموع الأعمار، سنجمع كل الأعمار الموجودة في المعطيات. نحن لا نعرف عمر هذا الشخص الجديد. لكن إذا رمزنا إليه بالرمز ‪𝑥‬‏، يمكننا أيضًا كتابته ضمن مجموع البيانات.

ومن خلال عد كل الأشخاص في هذا التجمع، بما في ذلك الشخص الذي لا نعرف عمره، نحصل على القيمة ‪14‬‏ في المقام. بجمع كل القيم معًا في البسط، نحصل على ‪417‬‏ زائد القيمة المجهولة ‪𝑥‬‏ على ‪14‬‏. وبإعادة ترتيب المعادلة، نضرب كلا طرفي المعادلة في ‪14‬‏، لنحصل على ‪434‬‏ يساوي ‪417‬‏ زائد ‪𝑥‬‏. وبطرح ‪417‬‏ من كلا طرفي المعادلة، سنحصل على ‪434‬‏ ناقص ‪417‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏، وهو ما يعطينا ‪𝑥‬‏ يساوي ‪17‬‏. وبما أننا رمزنا إلى عمر هذا الشخص الجديد بالرمز ‪𝑥‬‏، فهذا يعني أن عمره لا بد أن يكون ‪17‬‏ عامًا.

من أجل الحصول على تقدير ‪𝐶‬‏ في الرياضيات، يجب أن يحصل ويليام على درجات متوسطها ‪70‬‏ فأكثر. درجات اختباراته حتى الآن ‪63.3‬‏ و‪85‬‏ و‪79.73‬‏ و‪70.57‬‏. احسب أقل درجة يحتاجها ويليام في اختباره النهائي ليحصل على تقدير ‪𝐶‬‏.

في هذا السؤال، لدينا درجات اختبارات ويليام في الرياضيات. يخبرنا السؤال بأنه حصل على أربع درجات حتى الآن، وسيخضع لاختبار نهائي. ما الدرجة المطلوبة في الاختبار النهائي للحصول على تقدير ‪𝐶‬‏؟ وللحصول على تقدير ‪𝐶‬‏، نعلم أن متوسط درجاته لا بد أن يكون ‪70‬‏ أو أكثر. إذن، ما الذي نعنيه هنا بالتحديد بكلمة «متوسط»؟

في الواقع، كلمة «متوسط» ليست كلمة محددة بشكل دقيق. في بعض الأحيان تأتي بمعنى الوسط الحسابي أو المنوال أو الوسيط، وأحيانًا تشير إلى الوسط الحسابي فقط. وفي حالة الاختبارات، كالتي نراها هنا، فإننا لسنا بحاجة إلى المنوال حيث إنه سيكون الدرجة الأكثر شيوعًا. ولا نريد الوسيط، حيث إنه سيكون القيمة الوسطى. إننا في الواقع نريد حساب الوسط الحسابي.

في هذه المسألة، يمكننا القول إن الوسط الحسابي للدرجات يساوي مجموع درجات الاختبارات على عدد الاختبارات. لنبدأ بإيجاد مجموع درجات الاختبارات. يمكننا الإشارة إلى درجة الاختبار المجهولة التي نريد إيجادها بأي متغير. ولكن دعونا نرمز إليها بالرمز ‪𝑥‬‏ هنا. وبما أننا نأخذ في الحسبان الاختبار الذي لم يؤده ويليام بعد، إذن سيكون إجمالي عدد الاختبارات خمسة. والوسط الحسابي للدرجات الذي نريده هنا هو ‪70‬‏. لكن في الواقع، عليه أن يحصل على وسط حسابي أكبر من أو يساوي ‪70‬‏.

لذا، لا بد أن يكون مجموع درجات اختبارات ويليام على إجمالي عدد الاختبارات، وهو خمسة، أكبر من أو يساوي ‪70‬‏، حيث يكون ‪70‬‏ أصغر من أو يساوي مجموع الدرجات على خمسة. وبتبسيط هذا البسط، نحصل على ‪70‬‏ أصغر من أو يساوي ‪298.6‬‏ زائد ‪𝑥‬‏ على خمسة. بعد ذلك يمكننا ضرب كلا طرفي هذه المتباينة في خمسة، لنحصل على ‪350‬‏ أصغر من أو يساوي ‪298.6‬‏ زائد ‪𝑥‬‏. بعد ذلك نطرح ‪298.6‬‏ من طرفي هذه المتباينة، لنحصل على القيمة ‪51.4‬‏ أصغر من أو يساوي ‪𝑥‬‏.

وهذا يعني أن الدرجة المجهولة ‪𝑥‬‏ لا بد أن تكون أكبر من أو تساوي ‪51.4‬‏. نلاحظ أن هذه الدرجة أقل من الدرجات الأخرى. لذلك، هيا نتحقق من هذه النتيجة. لنفترض أننا أردنا حساب الوسط الحسابي للاختبارات الأربعة فقط التي اجتازها ويليام بالفعل. يمكننا جمع درجات اختباراته معًا ثم القسمة على أربعة، حيث إننا نتعامل مع أربعة اختبارات فقط. لقد أوجدنا من قبل مجموع هذه الدرجات، وهو ‪298.6‬‏. وعلى ذلك، بالقسمة على أربعة سنحصل على القيمة ‪74.64‬‏.

فما الذي يعنيه هذا؟ حسنًا، هذا يعني أن أداء ويليام أعلى بالفعل من المتوسط الذي يريده، أي إنه أعلى من ‪70‬‏. ففي الاختبار الأخير، يمكنه الحصول على درجة أقل من تلك، وسيظل الوسط الحسابي لدرجاته ‪70‬‏ أو أكثر. إذن، الإجابة التي تعبر عن أقل درجة يحتاجها ويليام للحصول على تقدير ‪𝐶‬‏ هي ‪51.4‬‏.

سنلخص الآن بعض النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. رأينا أولًا أن الوسط الحسابي هو أحد مقاييس النزعة المركزية لمجموعة من البيانات. ولحساب الوسط الحسابي، نجمع قيم البيانات ونقسمها على عدد هذه القيم. يمكننا أيضًا كتابة ذلك هكذا: الوسط الحسابي يساوي مجموع قيم البيانات مقسومًا على إجمالي عدد هذه القيم. وأخيرًا، كما رأينا في عدد من الأسئلة، يمكننا استخدام هذه الصيغة لإيجاد قيمة ناقصة، بمعلومية قيم البيانات الأخرى والوسط الحسابي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.