فيديو السؤال: إيجاد السعة الكلية لمكثفات موصلة على التوالي وعلى التوازي الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

تحتوي الدائرة الكهربية الموضحة في الشكل على مكثفات موصلة على التوالي وعلى التوازي. ما السعة الكلية للدائرة؟ قرب إجابتك لأقرب ميكروفاراد.

يوضح الشكل المعطى دائرة كهربية فيها بطارية موصلة بمجموعة من المكثفات. يمكننا ملاحظة أن لهذه الدائرة فرعين متوازيين بهما مكثفات. سنسمي هذا الفرع الموجود في المنتصف الفرع ‪A‬‏. ويمكننا ملاحظة أنه يحتوي على مكثفين. أحدهما بسعة 75 ميكروفاراد، وآخر بسعة 55 ميكروفاراد. ولدينا هذا الفرع السفلي الذي سنسميه الفرع ‪B‬‏. وهو يحتوي على مكثف واحد فقط بسعة 35 ميكروفاراد.

مطلوب منا إيجاد السعة الكلية للدائرة الكهربية. لكي نفعل ذلك، دعونا نسترجع معًا كيفية جمع المكثفات الموصلة على التوالي وعلى التوازي. عندما يكون هناك عدد من المكثفات الموصلة معًا على التوالي، فإن مقلوب السعة الكلية يساوي مجموع مقلوب سعة كل منها معًا. بعبارة أخرى، إذا وصلنا مجموعة من المكثفات على التوالي سعاتها ‪𝐶‬‏ واحد، و‪𝐶‬‏ اثنان، و‪𝐶‬‏ ثلاثة، وهكذا، فإن واحدًا على السعة الكلية ‪CT‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝐶‬‏ واحد زائد واحد على ‪𝐶‬‏ اثنين زائد واحد على ‪𝐶‬‏ ثلاثة، وهكذا.

من ناحية أخرى، إذا كان لدينا عدة مكثفات موصلة على التوازي، فإننا نجمع سعة كل منها معًا لنحصل على السعة الكلية. في الشكل الموضح لدينا، يمكننا ملاحظة أن الفرع ‪A‬‏ يحتوي على مكثفين موصلين على التوالي. سنرمز إلى السعة الكلية لهذا الفرع، أي السعة الكلية لهذين المكثفين معًا على التوالي، بالرمز ‪CA‬‏. سنسمي أيضًا هذه السعة التي تبلغ 75 ميكروفاراد ‪𝐶‬‏ واحد، وهذه السعة التي تبلغ 55 ميكروفاراد ‪𝐶‬‏ اثنين. إذن، استنادًا إلى التعبير العام للمكثفات الموصلة على التوالي، نعرف أن واحدًا على ‪CA‬‏ يساوي واحدًا على ‪𝐶‬‏ واحد زائد واحد على ‪𝐶‬‏ اثنين.

وبما أننا نعرف قيمتي ‪𝐶‬‏ واحد و‪𝐶‬‏ اثنين، يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪CA‬‏. لفعل ذلك، سنحتاج إلى جعل ‪CA‬‏ في طرف بمفرده من المعادلة. سنبدأ بضرب طرفي المعادلة في ‪CA‬‏، و‪𝐶‬‏ واحد، و‪𝐶‬‏ اثنين. بفك القوسين في الطرف الأيمن، يمكننا إعادة كتابة المعادلة بهذه الصورة. في هذا الكسر الذي على اليسار، يحذف ‪CA‬‏ في البسط مع ‪CA‬‏ في المقام. وفي الكسر الأول على اليمين، يحذف ‪𝐶‬‏ واحد في البسط والمقام. وفي الكسر الثاني على اليمين، يحذف ‪𝐶‬‏ اثنان في البسط والمقام.

عند التخلص من الحدود المحذوفة، نحصل على هذا التعبير هنا. يمكننا بعد ذلك أخذ ‪CA‬‏، الذي يظهر في كلا الحدين على اليمين، عاملًا مشتركًا. الخطوة الأخيرة التي نحتاج إليها لجعل ‪CA‬‏ في طرف بمفرده من هذه المعادلة هي قسمة كلا الطرفين على ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين، بحيث إنه في الطرف الأيمن يحذف ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين في البسط مع ذلك الموجود في المقام. وإذا كتبنا المعادلة بعد ذلك بطريقة عكسية، فسنجد أن ‪CA‬‏ تساوي ‪𝐶‬‏ واحد في ‪𝐶‬‏ اثنين مقسومًا على ‪𝐶‬‏ واحد زائد ‪𝐶‬‏ اثنين.

إذن، هذه معادلة توضح لنا كيفية حساب السعة الكلية ‪CA‬‏ لمكثفين، ‪𝐶‬‏ واحد و‪𝐶‬‏ اثنين، موصلين على التوالي.

دعونا نفرغ بعض المساحة الآن لنتمكن من التعويض بقيمتي ‪𝐶‬‏ واحد و‪𝐶‬‏ اثنين في هذه الدائرة الكهربية. بالتعويض في هذه المعادلة عن ‪𝐶‬‏ واحد بـ 75 ميكروفاراد، وعن ‪𝐶‬‏ اثنين بـ 55 ميكروفاراد، نحصل على هذا المقدار لـ ‪CA‬‏. في البسط، لدينا 75 ميكروفاراد مضروبًا في 55 ميكروفاراد. وهذا يساوي 4125 ميكروفاراد تربيع. وفي المقام، لدينا 75 ميكروفاراد زائد 55 ميكروفاراد، وهو ما يساوي 130 ميكروفاراد.

فيما يتعلق بالوحدات، يمكننا حذف أحد عاملي وحدات الميكروفاراد من البسط مع وحدة الميكروفاراد من المقام. وهذا يعطينا وحدة ميكروفاراد لـ ‪CA‬‏. بعد ذلك، بحساب قيمة المقدار، نحصل على نتيجة مقربة لأقرب منزلتين عشريتين وهي 31.73 ميكروفاراد. بذلك، نكون قد أوجدنا قيمة ‪CA‬‏، وهي سعة الفرع الذي سميناه ‪A‬‏ في شكل الدائرة. بما أن الفرع ‪B‬‏ يحتوي على مكثف واحد فقط، فإننا نعلم أن قيمة سعته تساوي هذه القيمة البالغة 35 ميكروفاراد نفسها. دعونا نطلق على هذه السعة ‪CB‬‏.

أصبح لدينا الآن فرعان موصلان على التوازي. وهما الفرع ‪A‬‏ والفرع ‪B‬‏. ونعرف سعة كل فرع. إنهما قيمتا ‪CA‬‏ و‪CB‬‏. إذا أفرغنا بعض المساحة على الشاشة، فسنتمكن من استخدام التعبير العام للمكثفات الموصلة على التوازي لإيجاد السعة الكلية لهذين الفرعين.

ينص هذا التعبير العام على أنه في حالة المكثفات الموصلة على التوازي، نجمع سعات كل منها. في الحالة التي لدينا، يساوي ذلك قيمتي ‪CA‬‏ و‪CB‬‏. إذن، السعة الكلية ‪CT‬‏ تساوي ‪CA‬‏ زائد ‪CB‬‏. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمتي ‪CA‬‏ و‪CB‬‏، وإيجاد المجموع للحصول على قيمة السعة الكلية ‪CT‬‏.

مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب ميكروفاراد. وبالتقريب لأقرب ميكروفاراد، نجد أن السعة الكلية للدائرة الكهربية 67 ميكروفاراد.