نسخة الفيديو النصية
يمثل النظام الإحداثي نقطة في مستوى عن طريق زوج مرتب من الأعداد يسمى الإحداثيين. نحن معتادون على استخدام الإحداثيات الكارتيزية في مستوى ﺱﺹ. وهو عبارة عن مسافات موجهة من محورين متعامدين. لكن ماذا لو كان هذا النوع من الأنظمة الإحداثية غير مناسب؟ تشير بعض المصادر إلى أنه في عام ١٣٠ قبل الميلاد، استخدم عالم فلك ورياضيات يوناني يدعى هيبارخوس الزوايا وأطوال الأوتار الممتدة من قطب لمعرفة مواضع النجوم. وقد وضع إسحاق نيوتن صيغة هذا النظام، ولكن مسمى الإحداثيات القطبية ينسب إلى جريجوريو فونتانا في القرن الثامن عشر.
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعرف ونرسم نقاطًا معطاة بالإحداثيات القطبية، ونحول بين الإحداثيات الكارتيزية والقطبية للنقاط. لنلق نظرة على النظام نفسه. نختار نقطة في المستوى تسمى القطب. وهي تشبه قليلًا نقطة الأصل. ولنرمز لها بالرمز ﻭ. نرسم، بعد ذلك، نصف خط مستقيم أو شعاعًا يبدأ من ﻭ يسمى المحور القطبي. يرسم هذا المحور عادة أفقيًا إلى اليمين ويناظر الجزء الموجب من المحور ﺱ في المستوى الكارتيزي. نضيف النقطة ﻥ. ومن ثم تكون ﻝ هي المسافة بين ﻭ وﻥ. وتكون 𝜃 هي الزاوية التي تصنعها القطعة المستقيمة ﻭﻥ مع المحور القطبي، وتقاس عكس اتجاه عقارب الساعة. ثم تمثل ﻥ بالزوج المرتب ﻝ و𝜃. هذان هما الإحداثيان القطبيان للنقطة ﻥ.
هذا يعني أن قياس الزاوية في اتجاه عقارب الساعة سيكون قيمة سالبة. نقول أيضًا إنه إذا كان ﻝ سالبًا، فإن النقطتين ﻝ، 𝜃 وسالب ﻝ، 𝜃 تقعان على الخط المستقيم نفسه الذي يمر بنقطة الأصل. وكلاهما على المسافة نفسها، ﻝ، من ﻭ، لكن على جانبين معاكسين. نلاحظ أن سالب ﻝ، 𝜃 يمكن تمثيلها كذلك بـ ﻝ، 𝜃 زائد 𝜋. وفي الواقع، نحاول تجنب استخدام القيم السالبة لـ ﻝ كلما أمكن. وذلك لأنها تصف الطول ابتداء من نقطة الأصل. جدير بالذكر أيضًا أنه نظرًا لطبيعة النظام نقول إن النقطتين متطابقتان إذا وقعتا عند النقطة نفسها. على سبيل المثال، النقطتان اثنان، ٨٠ درجة؛ واثنان، ٤٤٠ درجة متطابقتان. إذ إن قيمتي ﻝ لهما متساويتان. و٤٤٠ أكبر من ٨٠ بمقدار ٣٦٠ درجة. بشكل أساسي، نحن نتحرك من ٨٠ إلى ٤٤٠ بإكمال دورة كاملة، وبالتالي نصل إلى النقطة نفسها. لنستخدم هذه المعلومات لكتابة الإحداثيات القطبية لبعض النقاط.
لديك نقاط مرسومة على الشكل البياني. اكتب الإحداثيين القطبيين للنقطة ﺟ، بمعلومية الزاوية 𝜃 في المدى 𝜃 أكبر من سالب 𝜋 وأصغر من أو تساوي 𝜋.
النقطة التي تعنينا هنا هي ﺟ. ونريد معرفة إحداثييها القطبيين. تذكر، يكون هذان الإحداثيان على الصورة ﻝ، 𝜃. لنضف نصف خط مستقيم أو شعاعًا من القطب إلى النقطة ﺟ. ما نريد القيام به هو حساب قيمة ﻝ، أي طول نصف الخط المستقيم، وقيمة 𝜃، وهي الزاوية التي يصنعها نصف الخط المستقيم مع الجزء الموجب من المحور ﺱ. وحيث إنه معطى لدينا أن 𝜃 يجب أن تكون أكبر من سالب 𝜋 وأصغر من أو تساوي 𝜋، فسنتحرك في اتجاه عقارب الساعة.
من السهل حساب قيمة ﻝ. نتتبع شبكة الإحداثيات. ونجد أن النقطة تقع على بعد وحدة واحدة فقط من القطب. إذن، ﻝ يساوي واحدًا. لكن ماذا عن الزاوية 𝜃؟ نعلم أن الدورة الكاملة تساوي اثنين 𝜋 راديان. ونصف الدورة يساوي 𝜋 راديان. يقسم نصف الدورة إلى ١٢ فترة جزئية. لذا فإن كل فترة جزئية تمثل 𝜋 على ١٢ راديان. يتحرك نصف الخط المستقيم عبر ثلاث فترات من هذه الفترات الجزئية. هذا يساوي ثلاثة في 𝜋 على ١٢، أي 𝜋 على أربعة. لكننا نتحرك في اتجاه عقارب الساعة. لذا فإن قيمة 𝜃 لإحداثيي ﺟ القطبيين تساوي سالب 𝜋 على أربعة. والإحداثيان القطبيان للنقطة ﺟ هما واحد وسالب 𝜋 على أربعة. لاحظ أننا إذا كنا قد تحركنا عكس اتجاه عقارب الساعة، لكنا حصلنا بالطبع على زاوية قياسها سبعة 𝜋 على أربعة. لكن هذا خارج مدى 𝜃 المعطى.
لنر ما سيبدو عليه ذلك بالنسبة للنقطة ﻫ على سبيل المثال. هذه المرة، تقع النقطة على بعد وحدتين من القطب. إذن ﻝ يساوي اثنين. بالقياس عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ﺱ، نتحرك بمقدار ثمانية في 𝜋 على ١٢، أي اثنين 𝜋 على ثلاثة راديان. وبالتالي، فإن الإحداثيين القطبيين هما اثنان واثنان 𝜋 على ثلاثة. وهذا جيد. لكن الآن، افترض أننا نريد التحويل بين الإحداثيات القطبية والكارتيزية. فماذا نفعل إذن؟
افترض أن لدينا نقطة ﻥ معرفة بمعلومية الإحداثيين الكارتيزيين ﺱ وﺹ والإحداثيين القطبيين ﻝ و𝜃. بإمكاننا رسم مثلث قائم الزاوية باستخدام هذه المعلومات. نحن نعلم أن طول الوتر يساوي ﻝ من الوحدات. ارتفاع هذا المثلث يساوي ﺹ من الوحدات. وعرضه يساوي ﺱ من الوحدات. سنستخدم حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية للتعبير عن ﺱ وﺹ بدلالة ﻝ و𝜃. نعرف أن جيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي الضلع المجاور على الوتر. في هذه الحالة، يساوي ﺱ على ﻝ. بضرب طرفي هذه المعادلة في ﻝ، نجد أن ﺱ يساوي ﻝ جتا 𝜃. وكذلك، جيب الزاوية 𝜃 يساوي الضلع المقابل على الوتر. هذه المرة، عند الضرب في ﻝ، نجد أن ﺹ يساوي ﻝ جا 𝜃. هاتان هما المعادلتان اللتان نستخدمهما للتحويل بين الإحداثيات القطبية والكارتيزية. وعلى الرغم من أننا حصلنا عليهما من خلال الشكل المعطى، حيث ﻝ قيمة موجبة و𝜃 أكبر من صفر وأقل من 𝜋 على اثنين، فإن هاتين المعادلتين صحيحتان لكل قيم ﻝ و𝜃.
على سبيل المثال، افترض أننا أردنا تحويل النقطة اثنين، سالب 𝜋 على ثلاثة من الإحداثيين القطبيين إلى إحداثيين كارتيزيين. نلاحظ أن ﻝ يساوي اثنين. و𝜃 تساوي سالب 𝜋 على ثلاثة. هذا يعني أن ﺱ لا بد وأن يساوي اثنين جتا سالب 𝜋 على ثلاثة، وهو ما يساوي واحدًا. وﺹ يساوي اثنين جا سالب 𝜋 على ثلاثة، وهو ما يساوي سالب جذر ثلاثة. إذن في الصورة الكارتيزية، تكون النقطة معرفة بالإحداثيين واحد وسالب جذر ثلاثة.
لكن ماذا عن التحويل في الاتجاه الآخر؟ إذا أردنا العمل في الاتجاه الآخر، فسنستخدم نظرية فيثاغورس للتعبير عن ﻝ بدلالة ﺱ وﺹ. تذكر، مجموع مربعي طولي الضلعين الأصغر في المثلث القائم الزاوية يساوي مربع طول الضلع الأكبر. إذن، ﻝ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. أو ﻝ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. نعرف أن ظل الزاوية 𝜃 يساوي الضلع المقابل على الضلع المجاور. في هذه الحالة، هذا المقدار يساوي ﺹ مقسومًا على ﺱ. لحساب قيمة 𝜃، نوجد الدالة العكسية للظل للطرفين. إذن، 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا لـ ﺹ على ﺱ. ولكن علينا أن نكون أكثر حذرًا عند التحويل من الصورة القطبية إلى الصورة الكارتيزية. فهذه الصيغة فعالة جدًا في إيجاد الإحداثيات الممثلة في الربع الأول. لكن في الأرباع الأخرى، تعطينا الآلة الحاسبة قيمة خاطئة. لذا لدينا مجموعة من الخيارات. نستطيع تمثيل الإحداثيات والبدء من هنا. ويمكننا كذلك استخدام النتائج القياسية الآتية لقيم 𝜃 بين سالب 𝜋 و𝜋 أو سالب ١٨٠ و١٨٠.
للنقاط الممثلة في الربع الأول أو الرابع، سنستخدم قيمة 𝜃 التي تعطيها الآلة الحاسبة. وهي 𝜃 تساوي الدالة العكسية لـ ظا لـ ﺹ على ﺱ. للإحداثيات الممثلة في الربع الثاني، تذكر، هذا الربع يقع أعلى اليسار، نضيف 𝜋 راديان أو ١٨٠ درجة إلى قيمة 𝜃 التي حصلنا عليها من الآلة الحاسبة. وللنقاط الممثلة في الربع الثالث، نطرح 𝜋 راديان أو ١٨٠ درجة من القيمة التي حصلنا عليها من الآلة الحاسبة. لنر كيف يبدو ذلك.
حول سالب اثنين وخمسة إلى إحداثيين قطبيين. عبر عن قياس الزاوية بالراديان، مقربًا الإجابة إلى ثلاثة أرقام معنوية.
تذكر أن الإحداثيات القطبية تكون على الصورة ﻝ، 𝜃. ثمة بعض الصيغ العامة التي يمكننا استخدامها لحساب هذه القيم. لكننا نحتاج إلى أن نكون حريصين فيما يتعلق بقيمة 𝜃. هذا لأننا عادة ما نقيس عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب من المحور ﺱ. وإذا رسمنا شكلًا للإحداثيات الكارتيزية، نحصل على نقطة ممثلة في الربع الثاني. لكن لدينا مجموعة من القواعد التي قد تساعدنا. للنقاط الممثلة في الربع الأول والربع الرابع، نستخدم القيم التي نحصل عليها من الآلة الحاسبة. وللنقاط الممثلة في الربع الثاني، نضيف 𝜋 إلى القيمة التي نحصل عليها من الآلة الحاسبة. وللنقاط الممثلة في الربع الثالث، نطرح 𝜋 من القيمة التي نحصل عليها من الآلة الحاسبة.
فلنبدأ بإيجاد قيمة ﻝ. وهي تساوي طول القطعة المستقيمة التي تصل بين هذه النقطة والقطب أو نقطة الأصل. هذا الطول يساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع زائد ﺹ تربيع. وقيمة ﺱ هي سالب اثنين. وقيمة ﺹ هي خمسة. إذن، ﻝ يساوي الجذر التربيعي لسالب اثنين تربيع زائد خمسة تربيع، أي جذر ٢٩. وبالتقريب لثلاثة أرقام معنوية، نحصل على قيمة ﻝ تساوي ٥٫٣٩. نحسب قيمة 𝜃 بإيجاد الدالة العكسية لـ ظا لخمسة على سالب اثنين، أي سالب ١٫١٩٠ وهكذا مع توالي الأرقام. يقع الإحداثيان المطلوبان في الربع الثاني. إذن، سنضيف 𝜋 راديان لهذه القيمة. هذا يعطينا ١٫٩٥١٣، أي ١٫٩٥ راديان لأقرب ثلاثة أرقام معنوية. إذن في الصورة القطبية، الإحداثيان هما ٥٫٣٩ و١٫٩٥.
سنتناول الآن كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين معطاتين في صورة إحداثيات قطبية. ربما نتذكر صيغة المسافة بين نقطتين بالإحداثيات الكارتيزية ﺱ واحد، ﺹ واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين. وهي تساوي الجذر التربيعي لـ ﺱ واحد ناقص ﺱ اثنين الكل تربيع زائد ﺹ واحد ناقص ﺹ اثنين الكل تربيع. إذن، كيف يمكننا تطبيق هذه الصيغة لإيجاد المسافة بين نقطتين بالإحداثيات القطبية؟
لدينا النقطتان ﻥ واحد وﻥ اثنين معرفتان بـ ﻝ واحد جتا 𝜃 واحد، ﻝ واحد، جا 𝜃 واحد، وﻝ اثنين جتا 𝜃 اثنين، ﻝ اثنين جا 𝜃 اثنين. ويمكننا ملاحظة أن المسافة بينهما تساوي الجذر التربيعي لـ ﻝ واحد جتا 𝜃 واحد ناقص ﻝ اثنين جتا 𝜃 اثنين تربيع زائد ﻝ واحد جا 𝜃 واحد ناقص ﻝ اثنين جا 𝜃 اثنين تربيع. نضرب القوسين بالتوزيع ونتذكر أن جتا تربيع 𝜃 زائد جا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. ونجد أن المسافة تساوي الجذر التربيعي لـ ﻝ واحد تربيع زائد ﻝ اثنين تربيع ناقص اثنين في ﻝ واحد في ﻝ اثنين في جتا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اثنين زائد جا 𝜃 واحد جا 𝜃 اثنين. لكننا نعلم أن بإمكاننا القول إن جتا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين يساوي جتا 𝜃 واحد جتا 𝜃 اثنين زائد جا 𝜃 واحد جا 𝜃 اثنين. إذن يمكننا إعادة كتابة الصيغة لتصبح الجذر التربيعي لـ ﻝ واحد تربيع زائد ﻝ اثنين تربيع ناقص اثنين في ﻝ واحد في ﻝ اثنين في جتا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين. لنلق نظرة على استخدام هذه الصيغة.
أوجد المسافة بين نقطتين بالإحداثيات القطبية اثنين، 𝜋، وثلاثة، سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة. قرب إجابتك لأقرب ثلاثة أرقام معنوية.
تذكر، لإيجاد المسافة بين نقطتين بإحداثيات قطبية معرفة بـ ﻝ واحد و𝜃 واحد، وﻝ اثنين و𝜃 اثنين، نستخدم صيغة الجذر التربيعي لـ ﻝ واحد تربيع زائد ﻝ اثنين تربيع ناقص اثنين في ﻝ واحد ﻝ اثنين في جتا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين. لنفترض أن ﻝ واحد يساوي اثنين و𝜃 واحد تساوي 𝜋. إذن، ﻝ اثنين يساوي ثلاثة و𝜃 اثنين تساوي سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة. ثم نعوض مباشرة في هذه الصيغة. فنجد أن المسافة بينهما تساوي الجذر التربيعي لاثنين تربيع زائد ثلاثة تربيع ناقص اثنين في اثنين في ثلاثة في جتا 𝜋 ناقص سالب ثلاثة 𝜋 على أربعة. هذا يعطينا الجذر التربيعي لـ ١٣ ناقص ١٢ في جتا سبعة 𝜋 على أربعة، وهو ما يساوي ٢٫١٢٤ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب ثلاثة أرقام معنوية، نجد أن المسافة بين النقطتين بالإحداثيات القطبية هي ٢٫١٢ وحدة.
في هذا الفيديو، تعلمنا أن الإحداثيات القطبية تأخذ الصورة ﻝ، 𝜃، حيث ﻝ هي المسافة بين هذه النقطة والقطب أو نقطة الأصل، و𝜃 هي الزاوية المقيسة عكس اتجاه عقارب الساعة من الجزء الموجب للمحور ﺱ. وعرفنا أنه يمكننا التحويل من الصورة القطبية إلى الكارتيزية باستخدام المعادلتين ﺱ يساوي ﻝ جتا 𝜃 وﺹ يساوي ﻝ جا 𝜃 ، وكذلك الصيغتان المعطاتان للتحويل من الصورة الكارتيزية إلى القطبية مرة أخرى. لكننا رأينا كذلك أننا نحتاج إلى أن نكون حريصين على معرفة الربع الذي تقع فيه النقطة لنضمن الحصول على قيمة 𝜃 الصحيحة. وأخيرًا، عرفنا أن المسافة بين نقطتين إحداثياتهما القطبية ﻝ واحد، 𝜃 واحد، وﻝ اثنين، 𝜃 اثنين تساوي الجذر التربيعي لـ ﻝ واحد تربيع زائد ﻝ اثنين تربيع ناقص اثنين في ﻝ واحد ﻝ اثنين جتا 𝜃 واحد ناقص 𝜃 اثنين.
