فيديو: إيجاد مساحة المنطقة المحدودة بمنحنيين يتضمنان دوال لوغاريتمية باستخدام التكامل بالتعويض

أوجد مساحة المنطقة المحدودة بالمنحنيَيْن ﺹ = (لو(_ﻫ)‎ ﺱ)/ﺱ، ﺹ = ((لو(_ﻫ)‎ ﺱ)^٢)/ﺱ.

٠٧:١٧

‏نسخة الفيديو النصية

اوجد مساحة المنطقة المحدودة بالمنحنيين: ص يساوي اللوغاريتم الطبيعي للـ س على الـ س. وَ ص يساوي اللوغاريتم الطبيعي لـ س تربيع على الـ س.

علشان نوجد مساحة منطقة محدّدة بمنحنيين … يعني مثلًا لو عندنا منحنيين بالشكل ده، وعايزين نوجد مساحة المنطقة المحدودة ما بينهم، بنستخدم التكامل. فمثلًا لو منحنى ده ص واحد بيساوي دالة في الـ س، يبقى د واحد س. وفيه منحنى تاني ص اتنين بيساوي د اتنين س. بنعرف نقاط تقاطُع المنحنيات، ونحدّدها؛ علشان نعرف بداية التكامل فين، ونهايته فين.

فهنا مثلًا س واحد، وهنا س اتنين. ويقابلها قيمة الـ ص واحد، وَ ص اتنين. وبيبقى مساحة المنطقة المحدّدة بالدالة د واحد س، وَ د اتنين س؛ تكامُل من س واحد لـ س اتنين … لو هنستخدم شريحة بالشكل ده، اللي هي فيها د س. يعني هنكامل بالنسبة للـ س. هيبقى د واحد س، ناقص داتنين س. يبقى بنطرح المنحنى الأعلى، ناقص المنحنى الأسفل.

في السؤال ده عايزين نوجد مساحة المنطقة المحدودة بالمنحنيين دول. هنشوف مين المنحنى الأعلى، ومين المنحنى الأسفل. هنلاحظ إن هنا اللوغاريتم تربيع، وهنا بس اللوغاريتم ما فيش تربيع. يبقى دي هي اللي بتحصُر المنطقة من أعلى، ودي بتحصُر المنطقة من أسفل. يبقى هنطرح اللوغاريتم الطبيعي للـ س الكل تربيع على الـ س، ناقص اللوغاريتم الطبيعي للـ س على الـ س.

يبقى مساحة المنطقة المحدودة بالمنحنيين، هتبقى اللوغاريتم الطبيعي للـ س الكل تربيع على الـ س، ناقص اللوغاريتم الطبيعي للـ س على الـ س. هنكاملهم بالنسبة للـ س. يبقى ناقص نوجد بداية فترة التكامل، إلى نهاية فترة التكامل. ودي علشان نقدر نحدّدها، لازم نعرف نقاط تقاطُع المنحنيين مع بعض. يعني إمتى المنحنيين، قيمتهم بتساوي بعض؛ إمتى دي هتساوي دي. يبقى عايزين نوجد اللوغاريتم الطبيعي للـ س على الـ س، إمتى هتساوي اللوغاريتم الطبيعي للـ س الكل تربيع على الـ س.

هنا بما إننا قسمنا على الـ س، يبقى معنى كده إن س لا تساوي صفر. يبقى نقدر نختصرهم مع بعض. يبقى اللوغاريتم الطبيعي للـ س يساوي اللوغاريتم الطبيعي للـ س الكل تربيع. يبقى اللوغاريتم الطبيعي للـ س كل تربيع، ناقص لوغاريتم الطبيعي للـ س، هيساوي صفر. هناخد اللوغاريتم الطبيعي للـ س مشترك، يبقى اتبقّى عندنا لوغاريتم الطبيعي للـ س ناقص الواحد هيساوي صفر.

يبقى يا إمّا ده هيساوي صفر، أو ده هيساوي صفر. لو اللوغاريتم الطبيعي للـ س ناقص الواحد هيساوي صفر، يبقى اللوغاريتم الطبيعي للـ س يساوي واحد. إمتى اللوغاريتم الطبيعي للـ س يساوي واحد؟ لمّا الـ س تساوي الـ هـ. يبقى أول نقاط التقاطع هي الـ س بتساوي هـ. ومنها الدالة بتساوي واحد.

النقطة التانية للتقاطع، اللي هي فيها اللوغاريتم الطبيعي للـ س هيساوي صفر. يبقى اللوغاريتم الطبيعي للـ س هيساوي صفر؛ منه الـ س هتساوي واحد. يبقى نقطة التقاطع التانية هي: الواحد، وصفر. يبقى التكامل هيبدأ من عند واحد إلى هـ. يبقى دي واحد، ودي هـ. يبقى مساحة المنطقة المحدودة بالمنحنيين، هيبقى التكامل من واحد لـ هـ للّوغاريتم الطبيعي للـ س الكل تربيع على الـ س، ناقص اللوغاريتم الطبيعي للـ س على الـ س. هنكاملهم بالنسبة للـ س.

هنستخدم التكامل بالتعويض، بإن إحنا هنعوّض عن اللوغاريتم الطبيعي للـ س بيساوي ع. هنوجد د س. هنوجد كمان حدود التكامل الجديدة؛ اللي هي لمّا الـ س هتساوي واحد، هنشوف الـ ع هتبقى بكام. ولمّا الـ س هتساوي هـ، يبقى الـ ع هتساوي كام. لمّا الـ س هتساوي واحد، يبقى الـ ع هتساوي اللوغاريتم الطبيعي للواحد؛ اللي هو هيساوي صفر. ولمّا الـ س هتساوي هـ، يبقى الـ ع هتساوي اللوغاريتم الطبيعي للـ هـ؛ اللي هو هيساوي واحد.

يبقى حدود التكامل هتتغيّر، هتبقى من صفر إلى واحد. هنوجد الـ د س، يبقى هنفاضل الـ ع. يبقى د ع هتساوي … التفاضل للّوغاريتم الطبيعي للـ س، هيبقى د س على الـ س. يبقى التكامل هيبقى من صفر إلى واحد. لوغاريتم الطبيعي للـ س، هنعوّض عنه بالـ ع، يبقى ع تربيع. وفيه س في المقام، هناخدها مشترك برّه؛ علشان ناخذها مع الـ د س. تبقى كلها على بعضها اسمها د ع. يبقى ع تربيع ناقص الـ ع، هنكاملهم بالنسبة للـ ع. يبقى يساوي …

التكامل من صفر لواحد للـ ع تربيع، دي كثيرات حدود. يبقى هنزوّد الأُس واحد، ونقسم على الأُس الجديد. يبقى ع تربيع هتبقى ع أُس تلاتة على تلاتة، ناقص … الـ ع هتبقى ع تربيع، هنزوّد الأُس واحد، ونقسم على الأُس الجديد. وبعد كده هنعوّض من صفر إلى واحد. هنعوّض مرة بالواحد، وبعدين نطرح منها التعويض بالصفر. يبقى ع أُس تلاتة، هتبقى واحد أُس تلاتة، اللي هي قيمتها واحد، على تلاتة. ناقص … ع تربيع هتبقى قيمتها واحد على الاتنين. ولمّا هنعوّض بالصفر، هتفضل بصفر. يبقى تُلت ناقص نُص هيساوي سُدس. ويبقى هي دي مساحة المنطقة المحدودة بالمنحنيين.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.