فيديو الدرس: الزوايا المركزية والأقواس الرياضيات • الصف الثالث الإعدادي

نسخة الفيديو النصية

الزوايا المركزية والأقواس

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد الزوايا المركزية، وكيف نستخدم قياساتها لإيجاد قياسات الأقواس، وكيف نحدد الأقواس المتجاورة، ونوجد أطوال الأقواس، ونحدد الأقواس المتطابقة في الدوائر المتطابقة.

لنبدأ بتعريف المقصود بالضبط بالقوس في الدائرة. القوس في الدائرة هو قطعة من الخط المنحني الممثل للدائرة تنحصر بين نصفي قطرين. لنفترض، على سبيل المثال، أن الدائرة التالية مركزها النقطة ﻡ وفيها نصفا قطرين. الجزء المحدد باللون البرتقالي مثال لقوس في الدائرة. فهو جزء من الخط المنحني الممثل للدائرة ويقع بين نصفي قطرين. ومن المهم ملاحظة أن الأمر نفسه ينطبق على الجزء المحدد باللون الأزرق. فهو أيضًا جزء من الخط المنحني الممثل للدائرة ويقع بين نصفي قطرين. إذن، إذا كان لدينا نصفا قطرين في دائرة، فلا يمكننا أن نقول إن هذا قوس في دائرة فحسب. علينا التفريق بين هاتين الحالتين. فنحن نطلق على أطول القوسين اسم القوس الأكبر. ونطلق على أقصر القوسين اسم القوس الأصغر.

يوجد احتمال آخر غير ذلك. فقد يكون القوسان متساويين في الطول. وفي هذه الحالة، يشكل كل قوس منهما نصف دائرة. ومن ثم، نطلق على هذه الأقواس اسم الأقواس النصف دائرية. ولن توجد مثل هذه الأقواس إلا إذا شكل نصفا القطرين قطرًا في الدائرة.

والآن بعد أن أصبحنا على دراية بمفهوم الأقواس، هيا نناقش كيف نرمز إلى الأقواس في دائرة. أولًا، بما أن الأقواس معرفة بوقوعها بين نصفي قطرين في الدائرة، فإنه يمكننا أيضًا الحديث عن نقطتي تقاطع نصفي القطرين مع الدائرة. على سبيل المثال، يمكننا الإشارة إلى النقطتين ﺃ وﺏ في هذا الشكل. ومن ثم، يمكننا القول إن القوس المحدد باللون البرتقالي هو القوس الأصغر ﺃﺏ، والقوس المحدد باللون الأزرق هو القوس الأكبر ﺃﺏ. ونرمز إلى القوس ﺃﺏ باستخدام الرمز التالي. ويقصد به القوس الأصغر، ما لم يحدد غير ذلك.

وأخيرًا، سيكون من المفيد شرح مفهوم الأقواس المتجاورة. نقول إن القوسين متجاوران إذا اشتركا في نقطة واحدة فقط، أو إذا اشتركا في كلا النقطتين الطرفيتين، حيث النقطتان الطرفيتان للقوس هما النقطتان اللتان ينتهي عندهما القوسان. في هذا الشكل مثلًا، النقطتان الطرفيتان لكل من القوسين الأكبر والأصغر هما ﺃ وﺏ. وبما أن هذين القوسين يشتركان في كل من نقطتيهما الطرفيتين، فإن القوس الأكبر والقوس الأصغر بين ﺃ وﺏ متجاوران. لكن هذه ليست الطريقة الممكنة الوحيدة للحصول على قوسين متجاورين. يمكننا وضع نقطة أخرى، ﺟ، بحيث لا تكون على القوس الأصغر ﺃﺏ، كما هو موضح. إذن، يمكننا أن نلاحظ في الشكل أن القوس الأصغر ﺃﺏ والقوس الأصغر ﺏﺟ يشتركان في نقطة واحدة، هي النقطة ﺏ. ومن ثم، يكون القوس الأصغر ﺃﺏ والقوس الأصغر ﺏﺟ متجاورين. والآن هيا نتناول مثالًا يطلب منا تحديد الأقواس المتجاورة في الدائرة.

أي قوسين من الأقواس الآتية متجاوران في الدائرة المعطاة؟ الخيار (أ) القوس الأصغر ﺃﺏ، والقوس الأصغر ﺟد. أو الخيار (ب) القوس الأصغر ﺃﺏ، والقوس الأصغر ﺏﺟ. أو الخيار (ج) القوس الأصغر ﺃد، والقوس الأصغر ﺏﺟ. أو الخيار (د) القوس الأصغر ﺃﺟ، والقوس الأصغر دﺏ.

في هذا السؤال، لدينا دائرة، وعلينا أن نحدد أي قوسين من أزواج الأقواس المعطاة متجاوران فيها. للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بتذكر المقصود بأن يكون قوسان متجاورين في الدائرة. نقول إن القوسين متجاوران إذا اشتركا في نقطة واحدة فقط أو إذا اشتركا في النقطتين الطرفيتين فقط. إذن، يمكننا تحديد أي قوسين متجاورين برسمهما وتحديد عدد النقاط المشتركة بينهما. لنبدأ بالخيار (أ). نرسم القوس الأصغر ﺃﺏ. وتذكر أنه يوجد قوسان ﺃﺏ في الدائرة، ونريد تحديد القوس الأقصر. بعد ذلك، نرسم القوس الأصغر ﺟد. مرة أخرى، هذا هو الجزء الأقصر ﺟد من الخط المنحني الممثل للدائرة. ويمكننا ملاحظة أن هذين القوسين لا يشتركان في أي نقاط. إذن، هما غير متجاورين.

يمكننا فعل الأمر نفسه مع الخيار (ب). لنرسم القوس الأصغر ﺃﺏ، والقوس الأصغر ﺏﺟ. القوس الأصغر ﺃﺏ هو الجزء الأقصر من الخط المنحني الممثل للدائرة بين ﺃ وﺏ. والقوس الأصغر ﺏﺟ هو الجزء الأقصر من الخط المنحني الممثل للدائرة بين ﺏ وﺟ. يمكننا أن نلاحظ من الرسم أن كلا القوسين يحتوي على النقطة ﺏ. وفي الواقع، هي النقطة الوحيدة المشتركة بينهما. وهذا يعني أنهما متجاوران. إذن، إجابة هذا السؤال هي الخيار (ب). يمكننا التوقف هنا. لكن، من باب الحرص الواجب، هيا نتحقق من الخيارين الآخرين.

للتحقق من الخيار (ج)، علينا رسم القوس الأصغر ﺃد والقوس الأصغر ﺏﺟ. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على ما يلي. يمكننا ملاحظة أن هذين القوسين لا يشتركان في أي نقاط؛ ومن ثم فهما غير متجاورين. وأخيرًا، لنلق نظرة على الخيار (د). علينا تحديد إذا كان القوس الأصغر ﺃﺟ والقوس الأصغر دﺏ متجاورين. يمكننا رسم هذين القوسين على الدائرة، وسوف نلاحظ أمرًا مثيرًا للاهتمام. كل نقطة تقع بين ﺏ وﺟ على الدائرة تقع في كلا القوسين. لذا، ومع أنهما يشتركان بالفعل في نقطة، فإنهما، في الواقع، يشتركان في عدد لا نهائي من النقاط. ومن ثم، فإن هذين القوسين غير متجاورين. إذن، من بين الخيارات المعطاة، فإن فقط القوس الأصغر ﺃﺏ، والقوس الأصغر ﺏﺟ، متجاوران، وهو الخيار (ب).

الآن نحن جاهزون تقريبًا لتحديد طول القوس. لكن توجد بعض التعريفات الإضافية التي نحتاج إليها أولًا. نبدأ بملاحظة أن القوس هو جزء من الخط المنحني الممثل للدائرة. ومن ثم، إذا عرفنا هذه النسبة، فسوف نستخدمها لتحديد طول القوس. وهو المحيط مضروبًا في النسبة. ولكي نحدد هذه النسبة، علينا استعراض مفهوم الزاوية المركزية.

الزاوية المركزية لقوس محصور بين نصفي قطرين هي الزاوية الواقعة عند مركز الدائرة بين نصفي القطرين والمقابلة للقوس. إذن، في الشكل الذي لدينا، تمثل الزاوية 𝜃 قياس الزاوية المركزية للقوس الأصغر ﺃﺏ. وبالمثل، يكون ٣٦٠ درجة ناقص 𝜃 هو قياس الزاوية المركزية للقوس الأكبر ﺃﺏ. ويمكننا ملاحظة أنه كلما كان قياس الزاوية المركزية أكبر، كان القوس المقابل لها في الدائرة أكبر. وفي الواقع، يتيح لنا ذلك تحديد القوسين الأكبر أو الأصغر حسب قياس الزاوية المركزية لكل منهما. فإذا كان قياس الزاوية المركزية للقوس بين صفر و١٨٠ درجة، فإن القوس يكون قوسًا أصغر. وإذا كان قياس الزاوية المركزية يساوي ١٨٠ درجة، فإن القوس الذي لدينا يكون قوسًا نصف دائري. وإذا كان قياسها أكبر من ١٨٠ درجة، فسوف يكون القوس الذي لدينا قوسًا أكبر.

قبل الانتقال إلى طول القوس، يوجد أمر آخر علينا تعريفه، وهو قياس القوس. قياس القوس الأصغر ﺃﺏ، ويكتب قياس القوس الأصغر ﺃﺏ، يساوي قياس زاويته المركزية. فعلى سبيل المثال، إذا كان قياس الزاوية المركزية للقوس الأصغر ﺃﺏ يساوي ٦٠ درجة، فيمكننا القول إن قياس هذا القوس ٦٠ درجة.

نحن الآن جاهزون لتعيين طول القوس. ولنبدأ بمثال. لنفترض أن لدينا دائرة نصف قطرها نق وقوسًا قياس زاويته المركزية ٩٠ درجة. أولًا، نتذكر أن محيط الدائرة هو اثنان ‏𝜋‏‎ مضروبًا في نصف القطر. المحيط يساوي اثنين ‏𝜋‏‎نق. ونريد تعيين طول القوس الذي قياس زاويته المركزية ٩٠ درجة. إذا أضفنا النقطتين ﺃ وﺏ، فإن هذا هو القوس الأصغر يكون ﺃﺏ.

ومن هذا الشكل، يمكننا ملاحظة أن هذا يشكل ربع الدائرة. إذن، يمكننا ضرب المحيط في ربع لإيجاد طول هذا القوس. ولكن، من الجيد أن نتذكر بالضبط السبب الذي يجعل ذلك ربع الدائرة. قياس الدورة الكاملة حول الدائرة يساوي ٣٦٠ درجة، وقياس الزاوية المركزية التي لدينا يساوي ٩٠ درجة. ‏٩٠ درجة مقسومًا على ٣٦٠ درجة يساوي ربعًا. وهذا يؤكد أن طول هذا القوس يساوي ربع محيط الدائرة، أي ربعًا في اثنين ‏𝜋‏‎نق، وهو ما يمكننا بالطبع تبسيطه إلى ‏𝜋‏‎نق مقسومًا على اثنين.

لكن، بوجه عام، لن يكون قياس الزاوية المركزية أو قياس القوس الذي لدينا ٩٠ درجة. بدلًا من ذلك، سيكون زاوية ما قياسها 𝜃 درجة. ومع ذلك، يمكننا إيجاد طول القوس بالطريقة نفسها. فالنسبة التي يمثلها طول القوس من محيط الدائرة ستساوي 𝜃 درجة مقسومة على ٣٦٠ درجة. ومن ثم، فإن طول القوس سيساوي محيط الدائرة مضروبًا في هذه النسبة. وسوف يساوي 𝜃 درجة مقسومة على ٣٦٠ درجة مضروبة في اثنين ‏𝜋‏‎نق. ويمكننا كتابة هذه الصيغة كما يلي. إذا كان قياس الزاوية المركزية أو قياس القوس في دائرة نصف قطرها نق يساوي 𝜃 درجة، فإننا نحصل على طول القوس ﻝ من الصيغة التالية. ‏ﻝ يساوي 𝜃 درجة مقسومة على ٣٦٠ درجة مضروبة في اثنين ‏𝜋‏‎نق. لنلق نظرة على مثال يطبق هذه الصيغة.

لنفترض أن لدينا دائرة نصف قطرها اثنان، وقوسًا قياسه ٣٠ درجة. إذن، طول القوس ﻝ يساوي قياس القوس ٣٠ درجة مقسومًا على ٣٦٠ درجة مضروبًا في اثنين ‏𝜋‏‎ في نصف القطر، وهو اثنان. وإذا بسطنا هذا التعبير، فسوف نجد أنه يساوي ‏𝜋‏‎ على ثلاثة. وتذكر أن هذا يمثل طولًا؛ ومن ثم يمكننا القول إنه مقيس بوحدات الطول.

والآن هيا نتناول مثالًا لتطبيق بعض هذه التعريفات في سؤال.

أوجد قياس القوس الأصغر ﺃد.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد قياس القوس الأصغر ﺃد. لنبدأ برسم هذا القوس على الشكل الذي لدينا. تذكر أن القوس الأصغر ﺃد هو الجزء الأقصر من الدائرة بين ﺃ ود. ومطلوب منا إيجاد قياس هذا القوس. ونتذكر أن قياس القوس يساوي قياس زاويته المركزية. والزاوية المركزية للقوس هي الزاوية التي تقع عند مركز الدائرة والمقابلة للقوس. في هذه الحالة، الزاوية المركزية للقوس الأصغر ﺃد هي الزاوية دﻡﺃ. ونعرف من المعطيات أن قياس هذه الزاوية يساوي ٣٣ درجة. وقياس القوس الأصغر ﺃد يجب أن يساوي هذه القيمة. ومن ثم، فإن قياس القوس الأصغر ﺃد هو ٣٣ درجة.

والآن، لنتناول مثالًا يتضمن قوسين لهما القياس نفسه.

لدينا الدائرة ﻡ بها القوسان ﺃﺏ وﺟد اللذان لهما قياسان متساويان، القوس ﺃﺏ طوله خمسة سنتيمترات، فما طول القوس ﺟد؟

في هذا السؤال، لدينا دائرة. ونعرف من المعطيات أن اثنين من أقواسها متساويان في الطول، القوس الأصغر ﺃﺏ، والقوس الأصغر ﺟد.

يمكننا إضافة كل منهما إلى الشكل. تذكر أن قوس الدائرة هو جزء من الخط المنحني الممثل للدائرة، وأن القوس الأصغر هو القوس الأقصر بين النقطتين. ونعرف من المعطيات أن طول القوس الأصغر ﺃﺏ يساوي خمسة سنتيمترات، إذن، يمكننا أيضًا إضافة ذلك إلى الشكل الذي لدينا. وعلينا استخدام ذلك لإيجاد طول القوس ﺟد. للإجابة عن هذا السؤال، لنبدأ بتذكر المقصود بقياس القوس. قياس القوس هو قياس زاويته المركزية. وهي الزاوية التي تقع عند مركز الدائرة، والمقابلة للقوس. على سبيل المثال، الزاوية ﺃﻡﺏ هي الزاوية المركزية للقوس الأصغر ﺃﺏ. والزاوية دﻡﺟ هي الزاوية المركزية للقوس الأصغر ﺟد. وبما أن هذين القوسين متساويان في القياس، فلا بد أن يكون قياسا زاويتيهما المركزيتين متساويين.

لنفترض أن قياس هاتين الزاويتين يساوي 𝜃 درجة. الآن، يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن طول كل من هذين القوسين. أولًا، نتذكر الصيغة التالية لإيجاد طول القوس ﻝ. إذا كانت الزاوية المركزية للقوس 𝜃 درجة وكان نصف قطر الدائرة هو نق، فإن ﻝ يساوي 𝜃 درجة مقسومة على ٣٦٠ درجة مضروبة في اثنين ‏𝜋‏‎نق. ويمكننا تطبيق هذه الصيغة على القوس ﺃﺏ. نعرف أن طوله يساوي خمسة سنتيمترات، وقياس زاويته المركزية يساوي 𝜃 درجة. ولكننا لا نعرف طول نصف قطر هذه الدائرة. سنسمي هذه القيمة نق. إذن، نحصل على خمسة يساوي 𝜃 درجة مقسومة على ٣٦٠ درجة مضروبة في اثنين ‏𝜋‏‎نق.

يمكننا فعل الأمر نفسه مع طول القوس الأصغر ﺟد. سنسمي هذه القيمة ﻝ. قياس الزاوية المركزية لهذا القوس هو أيضًا 𝜃 درجة. من ثم، نجد أن ﻝ يساوي 𝜃 درجة مقسومة على ٣٦٠ درجة مضروبة في اثنين ‏𝜋‏‎نق. وعليه، نلاحظ أن الطرفين الموجودين على اليسار في كلتا هاتين المعادلتين متساويان. ومن ثم، يجب أن يكون الطرفان الموجودان على اليمين متساويين أيضًا. وعليه، فإن طول القوس الأصغر ﺟد يساوي خمسة سنتيمترات. وفي الواقع، هذه النتيجة صحيحة بوجه عام. إذا كان قوسان في دائرتين متطابقتين متساويين في القياس، فإنهما يتساويان في الطول. وعكس هذه النتيجة صحيح أيضًا. فإذا كان قوسان في دائرتين متطابقتين متساويين في الطول، فلا بد أن يكونا متساويين في القياس أيضًا. لكننا في هذه المسألة، استطعنا إيجاد أن طول القوس ﺟد يساوي خمسة سنتيمترات.

يمكننا إثبات نتيجة مشابهة جدًّا للنتيجة في السؤال السابق. نريد إثبات أنه إذا كان الوتران اللذان كل منهما بين نقطتين، ﺃﺏ وﺟد، متساويين في الطول، فإن طولي القوسين بين هذه النقاط متساويان أيضًا. وفي الواقع، فإن عكس هذه النتيجة نفسها سيكون صحيحًا تمامًا. فإذا كان القوسان ﺃﺏ وﺟد متساويين في الطول، فسيكون الوتران بينهما متساويين في الطول أيضًا. وسوف نثبت هاتين النتيجتين من كلتا الناحيتين.

لنبدأ بافتراض أن القوس ﺃﺏ والقوس ﺟد متساويان في الطول. باستخدام النتائج من السؤال السابق، وبما أن هذين القوسين متساويان في الطول، فلا بد أن تكون زاويتاهما المركزيتان متساويتين. نعرف أيضًا أن ﺃﻡ وﺏﻡ وﺟﻡ ودﻡ أنصاف أقطار. جميعها متساوية في الطول. يمكننا الآن أن نلاحظ أن المثلثين ﺃﻡﺏ وﺟﻡد متطابقان وفقًا لمسلمة التطابق بضلعين والزاوية المحصورة بينهما. ومن ثم، لا بد أن يكون الضلع ﺃﺏ والضلع ﺟد متساويين في الطول. وعليه، إذا كان القوسان متساويين في الطول، فإن الوترين بينهما متساويان في الطول؛ ولنبدأ الآن بافتراض أن الوترين متساويان في الطول. أنصاف الأقطار في الدائرة كلها متساوية في الطول. ومرة أخرى، نلاحظ أن المثلثين ﺃﻡﺏ وﺟﻡد متطابقان، وهذه المرة وفقًا لمسلمة التطابق بثلاثة أضلاع. والمثلثات المتطابقة لها قياسات الزوايا نفسها. إذن، قياس الزاوية ﺃﻡﺏ وقياس الزاوية ﺟﻡد متساويان. ومن ثم، فإن طول القوس ﺃﺏ يساوي طول القوس ﺟد، لأن زاويتيهما المركزيتين متساويتان. والآن نتناول مثالًا يوضح كيفية تطبيق هذه الخاصية.

لدينا الدائرة ﻡ التي فيها الوتران المتساويان في الطول ﺃد وﺏﺟ، القوس ﺃد طوله خمسة سنتيمترات، فما طول القوس ﺏﺟ؟

لدينا، في دائرة، وتران ﺃد وﺏﺟ يتساويان في الطول. يمكننا إبراز هذين الوترين في الشكل وتوضيح حقيقة أنهما متساويان في الطول. ونعرف أيضًا من المعطيات أن طول القوس الأصغر ﺃد يساوي خمسة سنتيمترات. ويمكننا أيضًا إضافة ذلك إلى الشكل. علينا استخدام ذلك لإيجاد طول القوس الأصغر ﺏﺟ. يمكننا الإجابة عن هذا السؤال هندسيًّا بملاحظة أن ﺃﻡ، وﺏﻡ، وﺟﻡ، ودﻡ أنصاف أقطار في الدائرة؛ ومن ثم فهي متساوية في الطول. وهذا يعني أن المثلثين ﺃﻡد وﺏﻡﺟ متطابقان. وعليه، فإن الزاويتين المركزيتين لهذين القوسين متساويتان في القياس.

إذن، بما أن الزاويتين المركزيتين لهذين القوسين متساويتان، فإن القوسين متساويان في الطول، وهو ما يعني أن طول ﺏﺟ يساوي خمسة سنتيمترات. ومع ذلك، كان يمكننا أيضًا الإجابة عن هذا السؤال بمجرد تذكر أنه إذا كان طولا الوترين الواقعين كل منهما بين نقطتين على دائرة متساويين، فإن طولي قوسيهما متساويان أيضًا. باستخدام أي من الطريقتين، تمكنا من توضيح أن طول القوس الأصغر ﺏﺟ يساوي خمسة سنتيمترات.

والآن نتناول مثالًا أخيرًا.

إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺏ قطرًا في الدائرة ﻡ، قياس الزاوية دﻡﺏ يساوي خمسة ﺱ زائد ١٢ درجة، فأوجد قياس القوس الأصغر ﺃﺟ.

في هذا السؤال، لدينا معطيات عن دائرة. وعلينا استخدامها لإيجاد قياس القوس الأصغر ﺃﺟ. لنبدأ بإضافة القوس الأصغر ﺃﺟ على الشكل. نتذكر أن قوس الدائرة الواقع بين نقطتين هو النسبة من محيط الدائرة الواقعة بين هاتين النقطتين. وما لم يرد خلاف ذلك، فإن المقصود هو القوس الأصغر، وهو أقصر القوسين. وعليه، فإن القوس الأصغر ﺃﺟ موضح على الشكل. ونعرف أيضًا من المعطيات أن قياس الزاوية دﻡﺏ يساوي خمسة ﺱ زائد ١٢ درجة. إذن، يمكننا أيضًا إضافة هذه القيمة إلى الشكل.

نريد إيجاد قياس القوس ﺃﺟ. ونتذكر أن قياس القوس يساوي قياس زاويته المركزية. والزاوية المركزية للقوس هي الزاوية التي تقع عند مركز الدائرة والمقابلة للقوس. ولدينا قياس هذه الزاوية على الشكل. قياس القوس ﺃﺟ هو أربعة ﺱ درجة. ومن ثم، لإيجاد قياس القوس ﺃﺟ، علينا إيجاد قيمة ﺱ. ولفعل ذلك، سنستخدم حقيقة أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ قطر في الدائرة. وعلى وجه التحديد، لأن ﺃﺏ قطر في الدائرة، فإن الزاويتين ﺏﻡد ودﻡﺃ تشكلان خطًّا مستقيمًا. ومجموع قياسيهما يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم نحصل على ١٨٠ درجة يساوي اثنين ﺱ درجة زائد خمسة ﺱ زائد ١٢ درجة.

وعليه، يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ. نبدأ بحذف علامة الدرجات، ثم نبسط المعادلة لنحصل على ١٦٨ يساوي سبعة ﺱ. وبقسمة كلا طرفي المعادلة على سبعة، نحصل على ﺱ يساوي ٢٨. وأخيرًا، يمكننا التعويض بقيمة ﺱ هذه في المعادلة لإيجاد قياس القوس ﺃﺟ. قياس القوس ﺃﺟ يساوي أربعة في ٢٨ درجة، ويمكننا حساب ذلك لنحصل على ٩٦ درجة. إذن، بمعلومية أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ قطر في الدائرة ﻡ، وأن قياس الزاوية دﻡﺏ خمسة ﺱ زائد ١٢ درجة، تمكنا من إيجاد أن قياس القوس ﺃﺟ يساوي ٩٦ درجة.

والآن هيا نراجع النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، رأينا أن القوس في الدائرة هو جزء من الخط المنحني الممثل للدائرة ينحصر بين اثنين من أنصاف أقطارها. ورأينا أيضًا أنه إذا كان لدينا اثنان من أنصاف الأقطار، فإن بينهما قوسين محتملين. ونسمي القوس الأطول منهما القوس الأكبر، ونسمي القوس الأقصر منهما القوس الأصغر. وبدلًا من النظر إلى القوس على أنه يقع بين نصفي قطرين، يمكننا النظر إليه على أنه واقع بين نقطتين على الخط المنحني الممثل للدائرة. ويرمز إلى القوس الأصغر ﺃﺏ بالرمز التالي. أيضًا أطلقنا اسم الزاوية المركزية للقوس على الزاوية التي تقع عند مركز الدائرة بين نصفي القطرين، والمقابلة للقوس. كما عرفنا أن قياس القوس هو قياس زاويته المركزية. ويكتب قياس القوس الأصغر ﺃﺏ بالرمز الآتي.

لقد أثبتنا أيضًا أنه إذا كان قياس الزاوية المركزية أو قياس القوس في دائرة نصف قطرها نق يساوي 𝜃 درجة، فإن الطول ﻝ للقوس يعطى بالعلاقة ﻝ يساوي 𝜃 درجة مقسومة على ٣٦٠ درجة مضروبة في اثنين ‏𝜋‏‎نق. وأخيرًا، استعرضنا نتيجتين مفيدتين. أولًا، إذا كان القوسان في دائرتين متطابقتين متساويين في الطول، فقد أوضحنا أن زاويتيهما المركزيتين متساويتان في القياس. وقد أوضحنا أيضًا أن عكس النتيجة صحيح. فإذا كانت الزاويتان المركزيتان لقوسين في دائرتين متطابقتين متساويتين في القياس، فإن القوسين يتساويان في الطول. وقد استعرضنا نتيجة مشابهة جدًّا. فإذا كان قوسان في دائرتين متطابقتين متساويين في الطول، كان الوتران بين النقطتين الطرفيتين لهذين القوسين متساويين في الطول أيضًا.

وأخيرًا، أوضحنا أن عكس هذه النتيجة صحيح. فإذا كان وتران في دائرتين متطابقتين متساويين في الطول، فإن القوسين بين النقطتين الطرفيتين لهذين الوترين متساويين في الطول.