فيديو السؤال: حساب نصف قطر مدار إلكترون بناء على نصف قطر بور الفيزياء

استخدم المعادلة ‪𝑟_𝑛 = 𝑎₀ 𝑛²‬‏؛ حيث ‪𝑟_𝑛‬‏ نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ لذرة الهيدروجين، ‪𝑎₀‬‏ نصف قطر بور، لحساب نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة ‪𝑛 = 3‬‏ لذرة الهيدروجين. استخدم القيمة ‪5.29× 10⁻¹¹ m‬‏ لنصف قطر بور. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

٠٧:٥٣

‏نسخة الفيديو النصية

استخدم المعادلة ‪𝑟𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ صفر في ‪𝑛‬‏ تربيع؛ حيث ‪𝑟‬‏ نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ لذرة الهيدروجين و‪𝑎‬‏ صفر نصف قطر بور، لحساب نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة لذرة الهيدروجين. استخدم القيمة 5.29 في 10 أس سالب 11 مترًا لنصف قطر بور. قرب إجابتك لأقرب ثلاث منازل عشرية.

في هذا السؤال، مطلوب منا حساب نصف قطر مدار الإلكترون الموجود في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة لذرة هيدروجين. ويخبرنا السؤال أنه يمكننا فعل ذلك باستخدام المعادلة: ‪𝑟𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ صفر في ‪𝑛‬‏ تربيع. حسنًا، هذه المعادلة تستند إلى نموذج بور، وهو نموذج مبسط للذرة يصف الإلكترونات السالبة الشحنة بأنها تصنع مدارات دائرية حول نواة موجبة الشحنة. وعلى الرغم من أن نموذج بور يقدم وصفًا مبسطًا لسلوك الإلكترونات في الذرات، فإنه لا يزال يقدم توقعات دقيقة إلى حد ما للذرات التي تحتوي على إلكترون واحد فقط. هذا يعني أن نموذج بور مفيد في التعامل مع المسائل التي تتضمن ذرات الهيدروجين كما في هذا السؤال؛ لأن ذرات الهيدروجين تحتوي على إلكترون واحد فقط.

إحدى السمات الرئيسية لنموذج بور أنه يخبرنا أن الإلكترونات يمكن أن تشغل فقط مدارات معينة حول النواة. ويعتمد المدار الذي يشغله إلكترون معين على مستوى طاقته، الذي نرمز إليه بالحرف ‪𝑛‬‏. ويعرف هذا أيضًا باسم عدد الكم الرئيسي للإلكترون. يأخذ مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ أعدادًا صحيحة موجبة فقط. وهذا يعني أن أقل مستوى للطاقة هو ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا. وإذا كان الإلكترون يدور في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا، فسيمتلك أقل كمية من الطاقة يمكن أن يمتلكها أي إلكترون آخر في هذه الذرة. ونتيجة لذلك، سيشغل هذا الإلكترون أقرب مدار ممكن إلى النواة.

أما الإلكترون الموجود في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي اثنين، فسيكون له ثاني أقل كمية ممكنة من الطاقة، وسيشغل ثاني أقرب مدار إلى النواة. والإلكترون الموجود في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة، سيكون له ثالث أقل كمية ممكنة من الطاقة وسيشغل ثالث أقرب مدار إلى النواة. ويستمر هذا النمط مع قيم ‪𝑛‬‏ الأعلى. لذا، نلاحظ أنه كلما زاد مستوى طاقة الإلكترون، تزداد المسافة بين مداره والنواة. وتعرف المسافة بين مدار الإلكترون ومركز النواة بنصف قطر مدار الإلكترون.

في هذا السؤال، لدينا معادلة تمكننا من حساب نصف قطر مدار الإلكترون، وهي: ‪𝑟𝑛‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ صفر في ‪𝑛‬‏ تربيع. في هذه المعادلة، يمثل ‪𝑟𝑛‬‏ نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى طاقة معين لذرة الهيدروجين. و‪𝑎‬‏ صفر ثابت يعرف بنصف قطر بور. وكما رأينا، ‪𝑛‬‏ هو عدد الكم الرئيسي أو مستوى طاقة الإلكترون. تمكننا هذه المعادلة من حساب نصف قطر مدار أي إلكترون في ذرة الهيدروجين ما دمنا نعلم عدد الكم الرئيسي له، أي ‪𝑛‬‏. كل ما علينا فعله هو تربيع ‪𝑛‬‏ ثم ضربه في هذا الثابت ‪𝑎‬‏ صفر، وسنحصل على نصف قطر المدار.

على سبيل المثال، لنحاول فعل ذلك مع إلكترون موجود في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا. لفعل ذلك، نعوض عن ‪𝑛‬‏ بواحد في هذه المعادلة. هذا يعني أنه في الطرف الأيمن، لدينا ‪𝑎‬‏ صفر في واحد تربيع. وفي الطرف الأيسر، لدينا ‪𝑟‬‏ واحد. والرقم السفلي واحد هو مجرد طريقة للإشارة إلى أننا نتحدث عن نصف قطر مدار إلكترون في مستوى الطاقة الأول. لدينا الآن واحد تربيع، وهو ما يساوي واحدًا. وبما أنه أصبح لدينا ‪𝑎‬‏ صفر في واحد، يمكننا كتابة ‪𝑎‬‏ صفر فقط.

نلاحظ أن نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي واحدًا لذرة الهيدروجين هو في الواقع يساوي ‪𝑎‬‏ صفر، أي نصف قطر بور. وفي الواقع، هذا هو تعريف نصف قطر بور. وهو ثابت فيزيائي مهم؛ ليس فقط لأنه أصغر نصف قطر مدار ممكن في أبسط ذرة ممكنة، ولكن أيضًا لأن جميع أنصاف أقطار المدارات الأخرى تحسب باستخدام هذا الثابت.

حسنًا، في هذا السؤال، مطلوب منا حساب نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة. إذن، في الشكل لدينا، يمثل ذلك هذه المسافة هنا. ولحساب ذلك، كل ما علينا فعله هو التعويض عن ‪𝑛‬‏ بثلاثة في المعادلة لدينا. هذه المرة، سيكون لدينا ‪𝑟‬‏ ثلاثة يساوي ‪𝑎‬‏ صفر في ثلاثة تربيع. ثلاثة تربيع يساوي تسعة. إذن، يمكننا كتابة أن ‪𝑟‬‏ ثلاثة يساوي تسعة ‪𝑎‬‏ صفر.

كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيمة ‪𝑎‬‏ صفر، أي نصف قطر بور، المعطاة في السؤال. وهي تساوي 5.29 في 10 أس سالب 11 مترًا. إذن إجمالًا، نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة لذرة الهيدروجين يساوي تسعة في 5.29 في 10 أس سالب 11 مترًا. ويمكننا إجراء عملية الضرب هذه على الآلة الحاسبة لنحصل على القيمة 4.761 في 10 أس سالب 10 أمتار. وهذه هي الإجابة الصحيحة. لكن نظرًا لأنه طول صغير للغاية، فعادة ما يعبر عنه بوحدة النانومتر.

نتذكر أن نانومترًا واحدًا يساوي 10 أس سالب تسعة أمتار. لتحويل الناتج من المتر إلى النانومتر، من المفيد أولًا التعبير عن المتر الواحد بوحدة النانومتر. يمكننا فعل ذلك بضرب طرفي هذا المقدار في 10 أس تسعة. في الطرف الأيمن، لدينا 10 أس سالب تسعة في 10 أس تسعة، وهو ما يساوي ببساطة واحدًا. وفي الطرف الأيسر، لدينا 10 أس تسعة في واحد، وهو ما يساوي 10 أس تسعة. بذلك، أوضحنا أن مترًا واحدًا يساوي 10 أس تسعة نانومترات. هذا يعني أنه في الإجابة لدينا، بدلًا من كتابة متر، يمكننا كتابة 10 أس تسعة نانومترات.

أصبح لدينا الآن 4.761 في 10 أس سالب 10 في 10 أس تسعة نانومترات، وهو ما يمكننا التعبير عنه أيضًا باستخدام علامة ضرب مثل هذه. لاحظ أن لدينا هنا 10 أس سالب 10 في 10 أس تسعة. يبسط ذلك إلى 10 أس سالب واحد. وهكذا، عبرنا عن ‪𝑟‬‏ ثلاثة بوحدة النانومتر. هناك خطوة أخيرة لتبسيط الناتج، وهي ملاحظة أن الضرب في 10 أس سالب واحد يكافئ نقل هذه المنزلة العشرية خانة واحدة إلى اليسار، وهو ما يمكننا من التعبير عن الإجابة على الصورة 0.4761 نانومتر. آخر ما علينا فعله هو تقريب الإجابة لأقرب ثلاث منازل عشرية كما ذكر السؤال. ‏0.4761 لأقرب ثلاث منازل عشرية يساوي 0.476. إذن هذه هي الإجابة النهائية.

وعليه، وفقًا لنموذج بور، فإن نصف قطر مدار الإلكترون في مستوى الطاقة ‪𝑛‬‏ يساوي ثلاثة لذرة الهيدروجين يساوي 0.476 نانومتر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.