فيديو: امتحان الإحصاء للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثالث ب

امتحان الإحصاء للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثالث ب

٠٥:٣٣

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت أطوال ألف وخمسمية طالب تتبع توزيعًا طبيعيًّا متوسطه مية خمسة وسبعين سنتيمتر، وانحرافه المعياري خمسة سنتيمتر. فأوجد عدد الطلاب الذين تزيد أطوالهم على مية وتمانين سنتيمتر.

يعني في البداية معطى عندنا إن فيه ألف وخمسمية طالب، وأطوالهم بتتبع توزيعًا طبيعيًّا متوسطه مية خمسة وسبعين سنتيمتر. يعني هتبقى 𝜇 بتساوي مية خمسة وسبعين. ومعطى عندنا إن انحرافه المعياري هو خمسة سنتيمتر، واللي بنرمز له بالرمز 𝜎، فبالتالي هتبقى 𝜎 بتساوي خمسة. والمطلوب إننا نوجد عدد الطلاب الذين تزيد أطوالهم على مية وتمانين سنتيمتر.

وبما إن أطوال الطلاب بتتبع توزيعًا طبيعيًّا. فمعنى كده عشان نقدر نوجد عدد الطلاب اللي بيزيد أطوالهم على مية وتمانين سنتيمتر. يبقى عايزين نوجد احتمال إن أطوال الطلاب تزيد عن مية وتمانين؛ يعني عايزين نوجد ل، س أكبر من مية وتمانين. وبعد كده هنضرب قيمة الاحتمال اللي هنوجده في ألف وخمسمية؛ عشان نقدر نوجد عدد الطلاب.

وعشان نقدر نوجد قيمة الاحتمال ده، يبقى هنستخدم المنحنى الطبيعي المعياري؛ واللي بيكون بالشكل ده. وهنستخدمه عشان نقدر نحدّد مساحة الجزء اللي بيمثّل الاحتمال ده. وبنقدر نوجد المساحة من جدول المساحات أسفل المنحنى الطبيعي المعياري.

لكن هنلاحظ إن المتغيّر اللي عندنا هنا هو متغيّر عشوائي طبيعي. فبالتالي عشان نقدر نستخدم الجدول، يبقى محتاجين إننا نحوّل المتغيّر العشوائي الطبيعي إلى متغيّر عشوائي طبيعي معياري؛ اللي هو ص.

فبالتالي عشان نوجد الاحتمال باستخدام المتغيّر العشوائي الطبيعي المعياري، اللي هو ص. يبقى هنستخدم العلاقة: ص بتساوي س ناقص 𝜇، الكل على 𝜎. فبالتالي هيبقى الاحتمال اللي عندنا بيساوي ل، ص أكبر من … وهنكتب مية وتمانين. وبعد كده هنطرح منها 𝜇، اللي هي مية خمسة وسبعين. وبعد كده هنقسم الكل على 𝜎، واللي هي خمسة.

فهيبقى عندنا مية وتمانين ناقص مية خمسة وسبعين بتساوي خمسة. وخمسة على خمسة بتساوي واحد. فبالتالي يبقى عايزين نوجد ل، ص أكبر من واحد. فلمّا نيجي نشوف المنحنى الطبيعي المعياري اللي عندنا، فهنفرض إن الواحد بيقع هنا. وبالتالي هتبقى ل، ص أكبر من واحد هي عبارة عن مساحة المنطقة المظلّلة عندنا.

بعد كده لمّا نيجي نستخدم جدول المساحات أسفل المنحنى الطبيعي المعياري، لازم تكون القيمة اللي بنبحث عنها مكتوبة بالشكل ده. يعني قيمة الاحتمال اللي هنحصل عليه من الجدول، هي لازم بتكون احتمال إن ص بتقع ما بين الصفر والعدد اللي إحنا عايزين نوجده. واللي هو في الحالة اللي عندنا هيكون واحد.

فبالتالي هتبقى مساحة المنطقة اللي بتمثّل الاحتمال: ل، ص أكبر من صفر وأقل من واحد؛ هي مساحة المنطقة دي. فمعنى كده إننا عشان نقدر نوجد مساحة المنطقة دي، يبقى محتاجين في الأول نعرف بعض خواص منحنى التوزيع الطبيعي المعياري.

ومن خواصه إن بتكون المساحة فوق المحور الأفقي وتحت المنحنى بتساوي واحد. وفي نفس الوقت بيكون المنحنى متماثل بالنسبة للمحور الرأسي. وبالتالي هيقسم المنطقة اللي تحت المنحنى وفوق المحور الرأسي إلى قسمين متماثلين، ومساحة كل منهما هي نُصّ.

وبالتالي هتبقى مساحة المنطقة المظلّلة باللون البرتقاني دي هي عبارة عن نُصّ ناقص مساحة المنطقة دي. ومساحة المنطقة المظلّلة باللون الفوشيا دي هي اللي بتمثّل الاحتمال: ل، ص أكبر من صفر وأقل من واحد. فبالتالي بما إن الاحتمال عندنا بقى بالشكل ده، نقدر دلوقتي نستخدم جدول المساحات أسفل المنحنى الطبيعي المعياري.

فبيبقى عندنا جدول بالشكل ده. وعشان نقدر نوجد المساحة اللي بتمثّل الاحتمال ده، يبقى هندوّر عن العدد واحد الموجود عندنا في الجدول. فهنبدأ ندوّر في أول عمود عندنا في الجدول هنا. وهنبدأ ندوّر على العدد واحد.

فهنلاحظ إن العدد واحد موجود هنا، وأمّا الصف ده فهو اللي بيمثّل الأجزاء من مائة. لكن بما إن العدد اللي بندوّر عليه هو واحد صحيح، فبالتالي هتبقى الأجزاء من مائة هي صفر. يعني هندوّر في تقاطع الصف ده مع العمود ده. وبالتالي هتبقى القيمة الموجودة في الخانة دي هي القيمة اللي إحنا بندوّر عليها.

وبالنظر إلى الجدول هنلاحظ إن القيمة اللي بندوّر عليها هي تلات آلاف ربعمية وتلتاشر من عشر آلاف. فبالتالي هيبقى المقدار اللي عندنا هنا بيساوي نُصّ، ناقص … وهنكتب مكان ل، ص أكبر من صفر وأقل من واحد؛ تلات آلاف ربعمية وتلتاشر من عشر آلاف.

ولمّا نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي ألف خمسمية سبعة وتمانين من عشر آلاف. وبالتالي … وبالتالي هيبقى هو ده قيمة احتمال إن أطوال الطلاب تزيد عن مية وتمانين.

فمعنى كده إننا عشان نوجد عدد الطلاب اللي بتزيد أطوالهم على مية وتمانين سنتيمتر. يبقى هنضرب قيمة الاحتمال، اللي هو ألف خمسمية سبعة وتمانين من عشر آلاف. في عدد الطلاب الكلي، اللي هو ألف وخمسمية.

فلمّا نحسب قيمة المقدار ده هيبقى بيساوي ميتين تمنية وتلاتين وخمسة من مية. لكن بما إننا بنوجد عدد طلاب، يبقى محتاجين نقرّب الناتج لأقرب عدد صحيح، واللي هيبقى بيساوي تقريبًا ميتين تمنية وتلاتين.

فبالتالي هيبقى عدد الطلاب اللي بتزيد أطوالهم على مية وتمانين سنتيمتر، هو: ميتين تمنية وتلاتين طالبًا. وهتبقى هي دي إجابة السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.