فيديو السؤال: إيجاد الصورة المتجهة لمعادلة خط مستقيم يمر بنقطة معلومة ويوازي خطًّا مستقيمًا معطى بمعلومية نقطتين مار بهما الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الصورة المتجهة لمعادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺃ اثنين، خمسة، خمسة، ويوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ سالب ثلاثة، سالب اثنين، سالب ستة؛ ﺟ خمسة، صفر، سالب تسعة.

حسنًا، لدينا هنا هذه النقاط الثلاث في فضاء ثلاثي الأبعاد. وعلمنا من المعطيات أن خطًّا مستقيمًا يمر بالنقطتين ﺟ وﺏ. ونريد إيجاد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺃ ويوازي الخط المستقيم المار بالنقطتين ﺏ، وﺟ. إلى جانب ذلك، نريد التعبير عن معادلة هذا المستقيم الذي يمر بالنقطة ﺃ باستخدام ما يسمى الصورة المتجهة.

عندما نكتب معادلة خط مستقيم على هذه الصورة، تبدو بهذا الشكل. نلاحظ أنه يوجد متجهان في هذه المعادلة. المتجه الأول هو متجه من نقطة أصل إطار الإحداثيات إلى نقطة على الخط المستقيم إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد، ﻉ واحد. ثم نتحرك بعد ذلك من هذه النقطة إلى أعلى الخط المستقيم وأسفله باستخدام هذا المتجه الذي له المركبات ﺃ، ﺏ، ﺟ، والموازي للخط المستقيم.

وهنا، يسمى العامل ﻙ الذي نضربه في هذا المتجه الموازي، معامل القياس. وللتعبير عن جميع النقاط الموجودة على الخط المستقيم، تتراوح هذه القيمة بين جميع الأعداد المحتملة؛ الموجبة والسالبة والصفر. من ثم، لكتابة معادلة خط مستقيم على الصورة المتجهة، علينا معرفة أي نقطة تقع عليه، والمتجه الموازي له. نعرف من المعطيات أن الخط المستقيم المعني يمر بالنقطة ﺃ. وهذا يعني أن المعلومة التي تنقصنا، هي المتجه الموازي للخط المستقيم.

لكن توضح المعطيات أيضًا أن الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين ﺏ، وﺟ يوازي الخط المستقيم المار بالنقطة ﺃ. وباستخدام النقطتين ﺏ، وﺟ، يمكننا تعريف متجه كهذا، وسنسميه ﻡ، وهو يوازي كلا الخطين المستقيمين. ‏ﻡ يساوي الصورة المتجهة للفرق بين مركبات النقطتين ﺏ، وﺟ. بإجراء عملية الطرح هذه، نجد أن هذه المركبات هي ثمانية، اثنان، سالب ثلاثة.

والآن بعد أن عرفنا نقطة تقع على الخط المستقيم ومتجهًا يوازيه، يمكننا كتابة معادلته على الصورة المتجهة. أولًا، نكتب متجهًا للنقطة المعلومة ﺃ. ثم نضيف ذلك إلى معامل القياس ﻙ مضروبًا في المتجه الموازي للخط المستقيم.

والجدير بالملاحظة أن هذه ليست الطريقة الوحيدة لكتابة الصورة المتجهة لمعادلة هذا الخط المستقيم. على سبيل المثال، إذا طرحنا النقطتين ﺏ، وﺟ بترتيب مختلف، فسيكون للمتجه ﻡ إشارات مختلفة. لكن بالنظر إلى القيم التي يتراوح بينها معامل القياس ﻙ، ستظل معادلة ذلك الخط المستقيم هي نفسها معادلة هذا المستقيم. وهذا يعني أنه توجد طرق مختلفة لكتابة الصورة المتجهة لنفس الخط المستقيم.