فيديو: إيجاد النسبة التي بها تُقَسِّم نقطة قطعةً مستقيمة ونوع التقسيم‎‎‎‎

إحداثيات النقطتين أ، ب هي (٤، ٤)، (١، −٢) على الترتيب. إذا كان الخط المستقيم أب يقطع محور السينات عند النقطة ﺟ، ومحور الصادات عند النقطة د، فأوجد النسبة التي يقسَّم بها المتجه أب، بالنقطتين ﺟ، د على الترتيب، موضحًا نوع التقسيم في كل حالة.

١٠:٢٠

‏نسخة الفيديو النصية

إحداثيات النقطتين أ وَ ب هي الزوج المرتب أربعة وأربعة، والزوج المرتب واحد وسالب اتنين، على الترتيب. إذا كان الخط المستقيم أ ب يقطع محور السينات عند النقطة ﺟ، ومحور الصادات عند النقطة د. فأوجد النسبة التي يقسَّم بها المتجه أ ب، بالنقطتين ﺟ وَ د على الترتيب، موضحًا نوع التقسيم في كل حالة.

وفي الأول خلّينا نمثّل النقاط اللي عندنا بيانيًّا، وهنبدأ في الأول نمثّل النقطة أ. ومعطى عندنا إحداثياتها هي الزوج المرتب أربعة وأربعة. فبالتالي لمّا نيجي نمثّلها، هتبقى النقطة أ بتقع هنا. وهتبقى هي دي النقطة أ، وإحداثياتها أربعة وأربعة. بعد كده معطى عندنا النقطة ب، واللي إحداثياتها واحد وسالب اتنين. فلمّا نيجي نمثّلها بيانيًّا، هتبقى بتقع هنا. فهتبقى هي دي النقطة ب، وإحداثياتها واحد وسالب اتنين.

بعد كده هنرسم الخط المستقيم أ ب، فهيبقى بالشكل ده. بعد كده معطى عندنا إن الخط المستقيم أ ب بيقطع محور السينات عند النقطة ﺟ. فبالتالي هتبقى النقطة دي هي النقطة ﺟ. ومن الرسم البياني، هنلاحظ إن إحداثياتها هي اتنين وصفر. بعد كده معطى عندنا إن الخط المستقيم أ ب، بيقطع محور الصادات عند النقطة د. فبالتالي هتبقى النقطة د هي النقطة دي. ومن الرسم البياني، هنلاحظ إن إحداثيات النقطة د هي صفر وسالب أربعة.

بعد كده مطلوب منّنا في السؤال إننا نوجد النسبة اللي بيتقسّم بيها المتجه أ ب، بالنقطتين ﺟ وَ د على الترتيب. فأول حاجة هنبدأ نوجد النسبة اللي بيتقسّم بيها المتجه أ ب، بالنقطة ﺟ. وعلشان نوجد النسبة اللي بتقسّم بيها نقطة، قطعة مستقيمة، يبقى هنستخدم الصيغة الإحداثية. وبتبقى عندنا الصيغة الإحداثية بالشكل ده، واللي هي عبارة عن الزوج المرتب س وَ ص. واللي هي بتبقى عبارة عن إحداثيات النقطة اللي هتقسّم القطعة المستقيمة. وفي حالتنا دي هتبقى إحداثيات النقطة ﺟ.

فبالتالي هيبقى الزوج المرتب س وَ ص يساوي الزوج المرتب ل واحد س واحد زائد ل اتنين س اتنين، الكل على ل واحد زائد ل اتنين. وَ ل واحد ص واحد زائد ل اتنين ص اتنين، الكل على ل واحد زائد ل اتنين. وخلّينا في الأول نفهم معنى كل رمز. ففي الأول، المقدار ده هو اللي بيساوي الإحداثي س للنقطة اللي بتقسّم القطعة المستقيمة. يعني في حالتنا، الإحداثي س للنقطة ﺟ. والإحداثي س هو: ل واحد س واحد زائد ل اتنين س اتنين، الكل على ل واحد زائد ل اتنين.

وفي الأول خلّينا نفهم معنى كل رمز. فعندنا ل واحد وَ ل اتنين، هي اللي بترمز إلى نِسَب تقسيم النقطة للقطعة المستقيمة. وأمّا س واحد وَ س اتنين، فهما اللي بيرمزوا للإحداثي س للنقطتين اللي بيكّونوا القطعة المستقيمة، اللي النقطة ﺟ هتقسّمهم. ففي الحالة دي، هيبقى النقطتين اللي عندنا هم أ وَ ب. فبالتالي ممكن نرمز لإحداثيات النقطة أ، وممكن نرمز لإحداثيات النقطة ب؛ بـ س اتنين وَ ص اتنين.

وأمّا الإحداثي ص للنقطة ﺟ، فبيبقى بيساوي المقدار ده. اللي هو عبارة عن ل واحد ص واحد زائد ل اتنين ص اتنين، الكل على ل واحد زائد ل اتنين. وزيّ ما قلنا، إن ل واحد وَ ل اتنين، هي نِسَب تقسيم القطعة المستقيمة. بما إننا هنرمز لإحداثيات النقطة أ بـ س واحد وَ ص واحد، فبالتالي يبقى هنرمز للنسبة دي بـ ل واحد. وهنرمز للنسبة دي بـ ل اتنين.

وبما إن عندنا إحداثيات النقطة ﺟ، واللي هي الزوج المرتب اتنين وصفر. فبالتالي لمّا هنعّوض في الصيغة الإحداثية عندنا، هتبقى بالشكل ده … هتبقى بالشكل ده: الزوج المرتب اتنين وصفر، اللي هي إحداثيات النقطة ﺟ. يساوي الزوج المرتب ل واحد في أربعة، زائد ل اتنين في واحد؛ الكل على ل واحد زائد ل اتنين. وَ ل واحد في أربعة، زائد ل اتنين في سالب اتنين؛ الكل على ل واحد زائد ل اتنين.

فيبقى إحنا كده عوّضنا عن إحداثيات النقطة ﺟ باتنين وصفر. وعوّضنا عن س واحد بأربعة، وعوّضنا عن س اتنين بواحد. وعوّضنا عن ص واحد بأربعة، وعوّضنا عن ص اتنين بسالب اتنين. فهيتبقّى عندنا قيمتين مجهولتين، اللي هم ل واحد وَ ل اتنين، واللي هم نِسَب التقسيم. فعلشان نوجدهم، يبقى عندنا حلّين. يا إمّا نساوي الإحداثي س للنقطة ﺟ، اللي هو اتنين، بالمقدار ده. أو نساوي الإحداثي ص للنقطة ﺟ، اللي هو صفر، بالمقدار ده. وعلشان نبسّط العمليات الحسابية، يبقى خلّينا نساوي المقدار ده، بالإحداثي ص اللي هو صفر. فهيبقى بالشكل ده.

بعد كده هنضرب الطرفين في ل واحد زائد ل اتنين؛ علشان نتخلص من ل واحد زائد ل اتنين اللي في المقام هنا. فهيبقى المقدار عندنا هو أربعة ل واحد؛ علشان ضربنا ل واحد في أربعة. ناقص اتنين ل اتنين؛ علشان ضربنا ل اتنين في سالب اتنين. فيبقى أربعة ل واحد ناقص اتنين ل اتنين يساوي صفر.

بعد كده هنجمع اتنين ل اتنين على طرفَي المعادلة. وبجمع اتنين ل اتنين على الطرفين، فهتبقى المعادلة هي: أربعة ل واحد يساوي اتنين ل اتنين. وبقَسْم طرفَي المعادلة على اتنين ل واحد، فهيبقى الطرف الأيمن للمعادلة هو اتنين. وأمّا الطرف الأيسر، فهيبقى ل اتنين على ل واحد. فنقدر نكتب اتنين هنا، كأنها اتنين على واحد. فبالتالي هيبقى ل اتنين على ل واحد يساوي اتنين على واحد. فبالتالي هتبقى هي دي النسبة اللي بيُقسَّم بها المتجه أ ب، بالنقطة ﺟ. وبما إن النقطة ﺟ بتنتمي إلى القطعة المستقيمة أ ب، فبالتالي هيبقى نوع التقسيم هو تقسيم من الداخل.

فيبقى إحنا كده أوجدنا النسبة اللي بيقسّم بها المتجه أ ب، بالنقطة ﺟ. بعد كده هنوجد النسبة اللي بيقسّم بها المتجه أ ب، بالنقطة د. ففي الحالة دي عايزين نشوف النسبة اللي هتقسّم بيها النقطة د، المتجه أ ب. فبنفس الطريقة، هنفرض إن إحداثيات النقطة أ، هي س واحد وَ ص واحد. وإحداثيات النقطة ب، هي س اتنين وَ ص اتنين. لكن اللي هيختلف عندنا هنا، هي نِسَب التقسيم. ففي الحالة دي، هنفرض إن النسبة دي، هي ل واحد. وأمّا النسبة دي، هي ل اتنين.

فلمّا نعّوض في الصيغة الإحداثية، هيبقى عندنا الزوج المرتب صفر وسالب أربعة. واللي هي إحداثيات النقطة د. يساوي الزوج المرتب ل واحد في أربعة، زائد ل اتنين في واحد؛ الكل على ل واحد زائد ل اتنين. وَ ل واحد في أربعة، زائد ل اتنين في سالب اتنين؛ الكل على ل واحد زائد ل اتنين. يعني عوّضنا عن س واحد بأربعة، وعن س اتنين بواحد. وعوّضنا عن ص واحد بأربعة، وعن ص اتنين بسالب اتنين.

فبنفس الطريقة، هيبقى عندنا قيمتين مجهولتين، اللي هم ل واحد وَ ل اتنين، اللي هي نِسَب التقسيم. فعلشان نقدر نوجدها، فهيبقى عندنا حلّين. يا إمّا نساوي الإحداثي س للنقطة د، اللي هو بيساوي صفر، بالمقدار ده. أو نساوي الإحداثي ص للنقطة د، اللي هو سالب أربعة، بالمقدار ده. فهنختار الإحداثي س؛ علشان هو اللي فيه صفر، فهتبقى العمليات الحسابية أبْسط. يعني هنساوي الإحداثي س للنقطة د، اللي هو صفر، بالمقدار ده. فهتبقى المعادلة عندنا هي: ل واحد في أربعة، زائد ل اتنين في واحد؛ الكل على ل واحد زائد ل اتنين يساوي صفر.

وبضرب طرفَي المعادلة في ل واحد زائد ل اتنين، هتبقى المعادلة هي: أربعة ل واحد زائد ل اتنين يساوي صفر. عشان ضربنا ل واحد في أربعة، فبقت أربعة ل. وضربنا ل اتنين في واحد، فهتساوي ل اتنين. وبطرح أربعة ل واحد من الطرفين، فهتبقى المعادلة هي: ل اتنين يساوي سالب أربعة ل واحد. بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على ل واحد؛ فبالتالي هيبقى الطرف الأيمن للمعادلة هو ل اتنين على ل واحد. وأمّا الطرف الأيسر للمعادلة، هيبقى سالب أربعة. ونقدر نكتبها في صورة: سالب أربعة على واحد. فبالتالي هتبقى نسبة ل اتنين إلى ل واحد بتساوي سالب أربعة إلى واحد.

وهنلاحظ عندنا هنا إن النسبة طلعت بقيمة سالبة. وده لأن التقسيم عندنا من الخارج. علشان النقطة د لا تنتمي إلى القطعة المستقيمة أ ب. فبالتالي هيبقى نوع التقسيم هو تقسيم من الخارج. وهتبقى هي دي النسبة اللي بيُقسَّم بها المتجه أ ب، بالنقطة د. فبالتالي هتبقى إجابة السؤال: «أوجد النسبة التي يقسّم بها المتجه أ ب، بالنقطتين ﺟ وَ د على الترتيب؟» هو: تقسيم من الداخل بنسبة اتنين إلى واحد، وتقسيم من الخارج بنسبة أربعة على واحد. فبالتالي هتبقى هي دي نسبة تقسيم النقطة ﺟ.

وقُلنا نوع التقسيم، تقسيم من الداخل. لأن النقطة ﺟ بتنتمي إلى القطعة المستقيمة أ ب. عشان كده كان نوع التقسيم من الداخل. وأمّا نسبة تقسيم النقطة د، فهي أربعة إلى واحد. وخلّينا نفتكر إن لمّا كُنّا بنحسبها، طلعت بإشارة سالبة. ففي الحالة دي، معناها إنه تقسيم من الخارج. فالنسبة نفسها هي أربعة على واحد، لكن هي تقسيم من الخارج. وده لأن النقطة د لا تنتمي للقطعة المستقيمة أ ب. وبالتالي هتبقى هي دي إجابة السؤال: تقسيم من الداخل بنسبة اتنين إلى واحد، وتقسيم من الخارج بنسبة أربعة إلى واحد.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.