فيديو السؤال: إيجاد قياس زاوية محصورة بين خطين مستقيمين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد، لأقرب ثانية، قياس الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم الذي له نسب الاتجاه خمسة، ثلاثة، اثنان، والخط المستقيم الذي له زوايا الاتجاه ٤٧ درجة، ١١١ درجة، ٥٠ درجة و٢٣ دقيقة و٣٠ ثانية.

في هذا السؤال، لدينا نسب الاتجاه لخط مستقيم، سنطلق عليه ﺭ واحد، وزوايا الاتجاه لخط مستقيم آخر، سنطلق عليه ﺭ اثنين. ولإيجاد قياس الزاوية المحصورة بين الخطين المستقيمين، سنستخدم الصيغة جتا 𝜃 يساوي القيمة المطلقة لـ ﻝ واحد ﻝ اثنين زائد ﻡ واحد ﻡ اثنين زائد ﻥ واحد ﻥ اثنين؛ حيث ﻝ واحد، ﻡ واحد، ﻥ واحد؛ وﻝ اثنان، ﻡ اثنان، ﻥ اثنان جيوب تمام الاتجاه للمستقيمين ﺭ واحد وﺭ اثنين، على الترتيب.

حسنًا، دعونا نبدأ بالتفكير في كيفية حساب جيوب تمام الاتجاه هذه من المعطيات لدينا. إذا بدأنا بالمستقيم ﺭ واحد، نجد أن لدينا نسب الاتجاه خمسة، ثلاثة، اثنين. ونحن نعلم أن جيب تمام الاتجاه للمركبة ﺱ يعطى بالعلاقة ﻝ واحد يساوي جتا 𝛼، وهذا يساوي ﺃ على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع، حيث 𝛼 هي الزاوية التي يكونها متجه اتجاه المستقيم مع المحور ﺱ.

بالتعويض بقيم ﺃ وﺏ وﺟ التي لدينا، نحصل على ﻝ واحد يساوي خمسة على الجذر التربيعي لخمسة تربيع زائد ثلاثة تربيع زائد اثنين تربيع. يمكننا تبسيط ذلك إلى خمسة على الجذر التربيعي لـ ٣٨. وبإنطاق المقام بضرب كل من البسط والمقام في جذر ٣٨، نجد أن ﻝ واحد يساوي خمسة جذر ٣٨ على ٣٨.

يمكننا بعد ذلك تكرار هذه العملية للمركبتين ﺹ وﻉ. المركبة ﺹ، أي ﻡ واحد، تساوي جتا 𝛽، وهذا يساوي ﺏ على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع زائد ﺟ تربيع. يبسط ذلك إلى ثلاثة جذر ٣٨ على ٣٨. وأخيرًا، المركبة ﻉ، أي ﻥ واحد، تساوي اثنين جذر ٣٨ على ٣٨. هذا يعني أن جيوب تمام الاتجاه للمستقيم ﺭ واحد هي خمسة جذر ٣٨ على ٣٨، وثلاثة جذر ٣٨ على ٣٨، واثنان جذر ٣٨ على ٣٨.

ننتقل بعد ذلك إلى المستقيم ﺭ اثنين، ولدينا زوايا اتجاهه. قياس الزاوية 𝛼 يساوي ٤٧ درجة. هذا يعني أن المركبة ﺱ، أي ﻝ اثنين، تساوي جتا ٤٧ درجة. وبالمثل، بما أن قياس الزاوية 𝛽 يساوي ١١١ درجة، فإن ﻡ اثنين يساوي جتا ١١١ درجة. قياس زاوية الاتجاه الثالثة 𝛾 معطى بالدرجات والدقائق والثواني. بما أن هناك ٦٠ دقيقة في الدرجة و٣٦٠٠ ثانية في الدرجة، فيمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة ٥٠ زائد ٢٣ على ٦٠ زائد ٣٠ على ٣٦٠٠ درجة، وهذا يساوي ٥٠٫٣٩١٦٧ درجة إلى أقرب خمس منازل عشرية.

إذن، ﻥ اثنان، وهو جيب تمام الاتجاه الثالث، للمستقيم ﺭ اثنين يساوي جيب تمام هذه القيمة. يمكننا الآن إيجاد جيب تمام الزاوية المحصورة بين المستقيمين لدينا. بالتعويض بقيم جيوب تمام الاتجاه، نحصل على المقدار الآتي لـ جتا 𝜃. وبكتابة الطرف الأيسر من المعادلة على الآلة الحاسبة، نحصل على ٠٫٥٨٥٦١٢٨ وهكذا مع توالي الأرقام.

الخطوة الآتية هي حساب الدالة العكسية لجيب التمام لكلا طرفي المعادلة، وهذا يعطينا قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٥٤٫١٥٣٧٠٤ درجة وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا إيجاد قياس الزاوية لأقرب ثانية. ويمكننا أن نفعل ذلك مباشرة باستخدام الآلة الحاسبة، أو بضرب الأجزاء العشرية على الترتيب في ٦٠. في كلتا الحالتين، نجد أن قياس الزاوية المحصورة بين الخطين المستقيمين لأقرب ثانية يساوي ٥٤ درجة وتسع دقائق و١٣ ثانية.