فيديو الدرس: حل المعادلات الأسية باستخدام خواص الأسس الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحل المعادلات الأسية باستخدام خواص الأسس. ما يهمنا تحديدًا هو قواعد التعامل مع الأسس عندما نجد حاصل ضرب أو خارج قسمة أو قوة، بالإضافة إلى كيفية إيجاد مقادير بها أسس صفرية وسالبة وكسرية. ولذا، فلنتذكر هذه القواعد أولًا. القاعدة الأولى هي قاعدة ضرب الأعداد ذات الأسس. لاحظ أنه لا يمكن تطبيق هذه القاعدة إلا إذا كان الأساسان، أي العدد الكبير في كلا العددين وهو هنا ﺱ، متساويين. إذا كان الأمر كذلك، فعند ضرب هذين الحدين، نجمع الأسين. إذن ﺱ أس ﺃ في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ.

وبالمثل، عند قسمة هذا النوع من الأعداد، فإننا نطرح الأسين. إذن ﺱ أس ﺃ مقسومًا على ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ ناقص ﺏ. وعندما نتعامل مع أقواس، أو بعبارة أخرى، عندما نرفع حدًا أسيًا لأس آخر، فإننا نضرب الأسين. إذن ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺏ. نتذكر أيضًا أن أي شيء أس صفر يساوي واحدًا. ويخبرنا الأس السالب أن علينا إيجاد المقلوب، إذن ﺱ أس سالب ﺃ يساوي واحدًا على ﺱ أس ﺃ. والأس الكسري يخبرنا أن علينا إيجاد جذر، إذن ﺱ أس واحد على ﺃ يساوي الجذر الألفي لـ ﺱ.

في هذا الدرس، سنستخدم هذه القواعد لحل المعادلات التي تتضمن أسسًا. وأفضل طريقة لتطبيق هذه القواعد أن نرى مثالًا.

إذا كان اثنان أس ﺱ يساوي ٣٢، فأوجد قيمة ﺱ.

لدينا هنا معادلة تتضمن أسًا، وهو متغير. الأس هنا يساوي ﺱ. وعادة، لحل معادلة، نجري سلسلة من العمليات العكسية، ولكن استخدام العملية العكسية لإيجاد القوة السينية يعني أننا سنوجد الجذر السيني، وهذا لا يساعدنا كثيرًا في الواقع. بدلًا من ذلك، من المهم ملاحظة أن ٣٢ يمكن كتابته على صورة اثنين مرفوعًا لقوة. نعلم أن اثنين أس خمسة يساوي ٣٢. وهذا يعني أنه يمكننا إعادة كتابة المعادلة لدينا على صورة اثنين أس ﺱ يساوي اثنين أس خمسة.

كيف سيساعدنا هذا إذن؟ حسنًا، الأساسان، أي العدد الكبير الذي يساوي اثنين هنا، متساويان. ومن ثم، يمكننا القول إنه لكي تكون هذه المعادلة صحيحة، يجب أن يكون الأسان متساويين أيضًا. وهو ما يعني أن ﺱ يساوي خمسة. والآن، عند حل المعادلات، يكون من المنطقي دائمًا أن نتحقق من الإجابة عن طريق التعويض بها في المعادلة الأصلية. فلنعوض إذن عن ﺱ بخمسة. ومن ثم، اثنان أس ﺱ يصبح اثنين أس خمسة، ما يساوي ٣٢. إذن، إذا كان اثنان أس ﺱ يساوي ٣٢، فلا بد أن ﺱ يساوي خمسة.

كان هذا مثالًا مباشرًا إلى حد ما على كيفية حل المعادلات الأسية. ما سنفعله بعد ذلك هو دمج بعض قواعد الأسس في مثال.

إذا كان ثمانية أس ﺹ يساوي أربعة أس ﻉ يساوي ٦٤، فأوجد قيمة ﺹ زائد ﻉ.

هذه المعادلة تبدو غير مألوفة، لأن لها ثلاثة أجزاء. ومفتاح حل هذه المسألة هو ملاحظة أن كل جزء من الأجزاء العددية للمعادلة يمكن كتابته على صورة قوة ما لعدد موحد. في الحقيقة، يمكن كتابة هذه الأجزاء على صورة اثنين أس عدد ما. نرى هنا بعض القوى الأولى للعدد اثنين. نعلم أن اثنين تربيع يساوي أربعة، واثنين تكعيب يساوي ثمانية، وهكذا حتى نصل إلى اثنين أس ستة يساوي ٦٤. دعونا نستبدل إذن كل جزء عددي في المعادلة بما يساويه على صورة قوة العدد اثنين التي تمثله. ثمانية عبارة عن اثنين تكعيب. إذن، ثمانية أس ﺹ يساوي اثنين تكعيب أس ﺹ. بعد ذلك، أربعة يساوي اثنين تربيع، ما يعني أن أربعة أس ﻉ يساوي اثنين تربيع أس ﻉ. وأخيرًا، ٦٤ يساوي اثنين أس ستة.

لكن كيف سيساعدنا هذا؟ إذا تذكرنا قاعدة استخدام قوى مرفوعة لأس آخر، فسنعلم أن ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺏ. في هذه الحالة، نضرب الأسين. وبذلك، يمكن كتابة اثنين تكعيب أس ﺹ على صورة اثنين أس ثلاثة في ﺹ، أو اثنين أس ثلاثة ﺹ. وبعد ذلك، لدينا اثنان تربيع أس ﻉ الذي يساوي اثنين أس اثنين ﻉ. وبذلك، أصبحت المعادلة الآن اثنان أس ثلاثة ﺹ يساوي اثنين أس اثنين ﻉ، ما يساوي اثنين أس ستة.

والآن بما أن الأساسين، أي العدد الكبير وهو اثنان هنا، متساويان، يمكننا القول إنه لكي تصبح هذه المعادلة صحيحة، يجب أن تكون الأسس نفسها متساوية أيضًا. بعبارة أخرى، ثلاثة ﺹ يجب أن يساوي اثنين ﻉ، الذي بدوره يجب أن يساوي ستة. يمكننا الآن تقسيم هذه المعادلة لإيجاد قيمة كل من ﺹ وﻉ على حدة. لنبدأ بمساواة ثلاثة ﺹ بستة. ثلاثة ﺹ يساوي ستة. وعليه، سنحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ عن طريق قسمة كلا الطرفين على ثلاثة. ثلاثة ﺹ مقسومًا على ثلاثة يساوي ﺹ، وستة مقسومًا على ثلاثة يساوي اثنين. إذن يمكننا القول إن ﺹ يجب أن يساوي اثنين.

وبالمثل، يمكننا مساواة الجزأين الآخرين من المعادلة. يمكننا القول إن اثنين ﻉ يساوي ستة. ثم لإيجاد قيمة ﻉ، سنقسم على اثنين. اثنان ﻉ مقسومًا على اثنين يساوي ﻉ، وستة مقسومًا على اثنين يساوي ثلاثة. توصلنا إذن إلى أن ﺹ يساوي اثنين وﻉ يساوي ثلاثة. ولكن هذا لا يكفي. فعلينا إيجاد قيمة ﺹ زائد ﻉ. حسنًا، يمكننا الآن أن نقول إن هذا يساوي اثنين زائد ثلاثة، وهو ما يساوي خمسة. إذن بالنظر إلى قيود هذه المعادلة، يمكننا القول إن ﺹ زائد ﻉ يجب أن يساوي خمسة.

سنرى الآن كيفية إيجاد مجموعة الحل لمعادلة أسية عندما تكون الأسس ذات حدين.

أوجد قيمة ﺱ في ثمانية أس ﺱ زائد اثنين يساوي اثنين أس ﺱ زائد أربعة. وقرب الناتج لأقرب جزء من عشرة.

لدينا هنا معادلة مكونة من مقدارين أسيين ولكن أس كل مقدار عبارة عن ذات حدين، أي يحتوي على حدين. وفي الحقيقة، مفتاح حل هذه المسألة هو معرفة أن كل أساس في هذه المعادلة، أي العدد الكبير وهو ثمانية واثنان هنا، يمكن كتابته على صورة قوة لعدد موحد. وإذا تذكرنا أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية، فيمكننا إعادة كتابة الأساس في الطرف الأيمن على صورة اثنين تكعيب. لنر إذن كيف سيبدو ذلك. سنحصل على ثمانية أس ﺱ زائد اثنين يساوي اثنين تكعيب أس ﺱ زائد اثنين. وهذا مفيد جدًا لأننا نعرف أنه يمكننا ضرب الأسس الآن.

نتذكر أن ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺏ. ومن ثم، يصبح لدينا اثنان أس ثلاثة في ﺱ زائد اثنين. لنعوض بهذا المقدار في المعادلة السابقة. عند فعل ذلك، سنجد أن اثنين أس ثلاثة في ﺱ زائد اثنين يساوي اثنين أس ﺱ زائد أربعة. فكيف سيساعدنا هذا؟ بما أن الأساس هو نفسه في كلا الطرفين، وهو اثنان، يمكننا القول إنه لكي تصبح المعادلة صحيحة، لا بد أن يكون الأسان متساويين أيضًا. أي إن ثلاثة في ﺱ زائد اثنين يساوي ﺱ زائد أربعة.

لحل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺱ، سنبدأ بتوزيع الأقواس في الطرف الأيمن. يمكننا فعل ذلك عن طريق التأكد من ضرب ثلاثة في ﺱ، ثم ثلاثة في اثنين. ثلاثة في ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ، وثلاثة في اثنين يساوي ستة. المعادلة إذن هي ثلاثة ﺱ زائد ستة يساوي ﺱ زائد أربعة. وبما أننا نريد جعل ﺱ في طرف بمفرده، فسنبدأ بطرح حد ﺱ ذي المعامل الأصغر. سنطرح إذن ﺱ من كلا الطرفين. ثلاثة ﺱ ناقص ﺱ يساوي اثنين ﺱ، وﺱ ناقص ﺱ يساوي صفرًا. وبذلك، تصبح المعادلة اثنان ﺱ زائد ستة يساوي أربعة. وبعد ذلك، نطرح ستة من كلا الطرفين. اثنان ﺱ زائد ستة ناقص ستة يساوي اثنين ﺱ، وأربعة ناقص ستة يساوي سالب اثنين.

الخطوة الأخيرة لإيجاد قيمة ﺱ هي القسمة على اثنين. وعندما نفعل ذلك، سنجد أن ﺱ يساوي سالب واحد. وبالطبع سالب واحد عدد صحيح، ولذا لن نحتاج إلى إجراء أي تقريب على الرغم من أن ذلك مطلوب في السؤال. لكن ما يمكننا فعله هو التحقق من أن الحل صحيح تمامًا بالتعويض به في المعادلة الأصلية. ثمانية أس ﺱ زائد اثنين يصبح ثمانية أس سالب واحد زائد اثنين. هذا يساوي ثمانية أس واحد، أي ثمانية. واثنان أس ﺱ زائد أربعة يصبح اثنين أس سالب واحد زائد أربعة. هذا يساوي اثنين تكعيب، وهو ما يساوي ثمانية أيضًا. وبما أن هذين المقدارين متساويان، يمكننا القول إن إجابتنا صحيحة. إذن، ﺱ يساوي سالب واحد.

في المثال التالي، سنتناول كيفية حل معادلة أسية تتضمن قيمة مطلقة.

أوجد مجموعة حل اثنين أس القيمة المطلقة لثمانية ﺱ ناقص ١٢ يساوي ثمانية أس أربعة ﺱ ناقص أربعة.

مفتاح حل هذه المعادلة هو ملاحظة أنه يمكننا إعادة كتابة ثمانية على صورة اثنين تكعيب، ومن ثم كتابة معادلة يكون فيها الأساسان متساويين. بالنسبة إلى المقدار الذي لدينا في الطرف الأيسر إذا عوضنا عن ثمانية باثنين تكعيب، فسنحصل على اثنين تكعيب أس أربعة ﺱ ناقص أربعة. ولكن يمكن لإحدى قواعد التعامل مع الأسس أن تساعدنا على تبسيط ذلك المقدار. نعلم أن ﺱ أس ﺃ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ في ﺏ. وعند التعامل مع القوسين، يمكننا ضرب الأسين، ومن ثم يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة اثنين أس ثلاثة في أربعة ﺱ ناقص أربعة.

وبناء عليه، يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية على صورة اثنان أس القيمة المطلقة لثمانية ﺱ ناقص ١٢ يساوي اثنين أس ثلاثة في أربعة ﺱ ناقص أربعة. هذا مفيد للغاية لأنه بما أن الأساسين متساويان، أي إنهما اثنان في كلا الطرفين، يمكننا القول إنه لكي تكون هذه المعادلة صحيحة، ولكي يكون الحدان متساويين، يجب أن يكون الأسان متساويين أيضًا. أي إن القيمة المطلقة لثمانية ﺱ ناقص ١٢ يجب أن تساوي ثلاثة في أربعة ﺱ ناقص أربعة.

هيا نوزع الأقواس بضرب كل حد داخل القوسين في الثلاثة الموجودة في الخارج. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على ١٢ﺱ ناقص ١٢. كيف نحل إذن معادلة القيمة المطلقة؟ حسنًا، نحن نعلم أن رمز القيمة المطلقة يقبل أي قيمة مدخلة سالبة ويجعلها موجبة. ما سنفعله إذن هو أن نغير إشارة ما تساويه القيمة المطلقة. نقول إذن إن ثمانية ﺱ ناقص ١٢ يساوي ١٢ﺱ ناقص ١٢، أو ثمانية ﺱ ناقص ١٢ يساوي سالب ١٢ﺱ ناقص ١٢.

إذا وزعنا القوسين في الطرف الأيسر، فسنحصل على سالب ١٢ﺱ زائد ١٢. هيا نحل المعادلتين. في المعادلة الأولى، سنطرح ثمانية ﺱ من كلا الطرفين، وسنحصل على سالب ١٢ يساوي أربعة ﺱ ناقص ١٢. وبعد ذلك، سنضيف ١٢ إلى كلا الطرفين. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على صفر يساوي أربعة ﺱ. الطريقة الوحيدة ليتحقق ذلك هي أن يكون ﺱ نفسه يساوي صفرًا. إذن هذا حل محتمل. لنحل المعادلة الثانية. في المعادلة الثانية، سنبدأ بإضافة ١٢ﺱ إلى كلا الطرفين، لنحصل على ٢٠ﺱ ناقص ١٢ يساوي ١٢. وبعد ذلك، نضيف ١٢ إلى كلا الطرفين، لنحصل على ٢٠ﺱ يساوي ٢٤. ثم نقسم على ٢٠، وسنجد أن ﺱ يساوي ٢٤ على ٢٠، وهو ما يمكن تبسيطه إلى ستة أخماس.

ما سنفعله للتحقق من هذين الحلين هو التعويض بهما في المعادلة الأصلية والتأكد من أنهما صحيحان. إذا عوضنا بالصفر في المعادلة الأصلية، فسيصبح الطرف الأيمن اثنين أس القيمة المطلقة لسالب ١٢، ويصبح الطرف الأيسر ثمانية أس سالب أربعة. إذن القيمة المطلقة لسالب ١٢ هي ببساطة ١٢، وثمانية أس سالب أربعة يساوي واحدًا على ثمانية أس أربعة. والآن، إذا حسبنا هاتين القيمتين، فسنجد أن اثنين أس ١٢ يساوي ٤٠٩٦. ويصبح الطرف الأيسر واحدًا على ٤٠٩٦. والآن، نلاحظ أن هاتين القيمتين غير متساويتين. ومن ثم، فإن الحل ﺱ يساوي صفرًا غير صحيح. ولذا، سنتجاهل هذا الحل.

فلنكرر هذه العملية مع القيمة الثانية لـ ﺱ. في الطرف الأيمن، لدينا اثنان أس القيمة المطلقة لسالب ٢٫٤، ويجب أن يساوي ذلك ثمانية أس ٠٫٨. لكن القيمة المطلقة لسالب ٢٫٤ هي ٢٫٤. هيا نحسب إذن كلا الطرفين. عندما نفعل ذلك، نجد أن كلًا منهما يساوي ٥٫٢٧ تقريبًا، إذن هذا الحل صحيح. وهناك طريقة أخرى للتأكد من ذلك، وهي إعادة كتابة اثنين أس ٢٫٤ على صورة اثنين تكعيب أس ٠٫٨. وذلك لأن ثلاثة في ٠٫٨ يساوي ٢٫٤. ونعلم أن اثنين تكعيب يساوي ثمانية. ومن ثم، نقول إن ثمانية أس ٠٫٨ يساوي ثمانية أس ٠٫٨.

المطلوب في السؤال هو إيجاد مجموعة حل المعادلة. وعندما تكون لدينا قيمة واحدة فقط، يمكننا استخدام هذا النوع من الأقواس المعقوفة لمساعدتنا. مجموعة الحل هي المجموعة التي تحتوي على العنصر ستة أخماس.

في المثال الأخير، سنتناول كيف يمكن لملاحظة بسيطة أن تساعدنا في حل المعادلات الأسية الأكثر تعقيدًا.

أوجد مجموعة حل ﺱ أس ﺱ تربيع ناقص ٦٤ يساوي ستة أس ﺱ تربيع ناقص ٦٤.

لنبدأ الآن بملاحظة أن الأسين في طرفي المعادلة متساويان. إذن، لكي يصبح طرفا المعادلة متساويين، يجب أن يكون الأساسان، أي العددان الكبيران، متساويين، ومن ثم يمكننا إيجاد قيمة ﺱ. بعبارة أخرى، إذا كان ﺱ يساوي ستة، فسنجد أن كلا طرفي المعادلة متطابقان، ومن ثم فهذا أحد الحلول. لكن هل هناك أي خيارات أخرى؟ هناك طريقة أخرى للتأكد من أن طرفي المعادلة متساويان، وهي أن نستخدم الأس الصفري؛ لأن أي قيمة أس صفر تساوي واحدًا. وهكذا يمكننا أن نقول إن الأس ﺱ تربيع ناقص ٦٤ يساوي صفرًا.

لنحل لإيجاد قيمة ﺱ عن طريق إضافة ٦٤ إلى كلا الطرفين لنحصل على ﺱ تربيع يساوي ٦٤. وأخيرًا، نأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ونتذكر بالطبع أن نأخذ موجب وسالب الجذر التربيعي لـ ٦٤. لكن بما أن الجذر التربيعي لـ ٦٤ يساوي ثمانية، فيمكننا القول إن حلي هذه المعادلة هما ﺱ يساوي سالب أو موجب ثمانية. وبذلك، تكون لدينا حتى الآن ثلاث قيم ممكنة لـ ﺱ. لكن في الواقع، هناك قيمة أخرى. وهذا الحل هو ﺱ يساوي سالب ستة. إذن، لماذا يعتبر ﺱ يساوي سالب ستة حلًا صحيحًا؟

تخيل أن ﺱ يساوي سالب ستة. في هذه الحالة، يصبح الأس سالب ستة تربيع ناقص ٦٤، ما يساوي سالب ٢٨. نعلم أنه إذا كان ﺃ عددًا زوجيًا، فإن سالب ﺱ أس ﺃ يساوي ﺱ أس ﺃ. وهكذا، فإن الطرف الأيمن يساوي سالب ستة أس سالب ٢٨. لكن بما أن سالب ٢٨ عدد زوجي، فهذا يعني أنه يساوي ستة أس سالب ٢٨، وهو ما حصلنا عليه في الطرف الأيسر. ومن ثم، فإن ﺱ يساوي سالب ستة يجب أن يكون أحد الحلول أيضًا. ولكننا لن نختار إلا سالب ستة لأننا نريد مطابقة الأساسين. فلن نختار أي قيمة لـ ﺱ تجعل الأسين متساويين. إذن الحل الصحيح هو سالب ستة فقط.

وبذلك، يمكننا القول إن مجموعة حل المعادلة هي المجموعة التي تحتوي على العناصر ستة، وسالب ستة، وثمانية، وسالب ثمانية.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا استخدام قواعد الأسس لمساعدتنا في حل المعادلات الأسية. وعرفنا أنه إذا استطعنا إيجاد أساس موحد باستخدام قواعد الأسس هذه، فيمكننا إذن مساواة الأسس نفسها وإيجاد الحل كالمعتاد. ورأينا أنه علينا دائمًا أن نتحقق من صحة جميع الإجابات التي حصلنا عليها بالتعويض بها في المعادلة الأصلية، وأننا إذا كنا نتعامل مع أساسات سالبة، فعلينا الانتباه إلى أي أسس زوجية محتملة من شأنها إنتاج حلول إضافية.