فيديو: امتحان الإستاتيكا • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثاني عشر ب

امتحان الإستاتيكا • ٢٠١٧/٢٠١٦ • السؤال الثاني عشر ب

٠٩:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

سُلم منتظم وزنه عشرين ثقل كيلوجرام. يرتكز بأحد طرفيه على أرض أفقية خشنة. وبالطرف الآخر على حائط رأسي أملس. السلم متزن، ويميل على الأفقي بزاوية قياسها ستين درجة. إذا كان معامل الاحتكاك بين السُّلم والأرض واحد على اتنين جذر تلاتة. فأثبت أن أقصى مسافة تستطيع فتاة وزنها ستين ثقل كيلوجرام أن تصعدها على السلم قبل انزلاقه تساوي نصف طول السلم.

عندنا سلم مسنود على أرض أفقية خشنة، وعلى حائط رأسي أملس. والسلم ده منتظم، ووزنه عشرين ثقل كيلوجرام. وما دام منتظم، يبقى وزنه بيؤثِّر في المنتصف بالشكل ده. والسلم في حالة اتزان، وبيميل على الأفقي بزاوية قياسها ستين درجة. ولو كان معامل الاحتكاك بين السلم والأرض هو واحد على اتنين جذر تلاتة. فمطلوب منّنا إثبات إن أقصى مسافة ممكن لبنت إن هي تطلعها على السلم لحدّ ما يكون السلم على وشك الانزلاق هي نصّ طول السلم.

يعني إحنا لو فرضنا إن السلم أ ب بيساوي اتنين ل، يعني كل جزء بيساوي ل. فمطلوب منّنا إثبات إن المسافة اللي البنت هتطلعها على السلم لحدّ ما السلم يكون على وشك الانزلاق بيساوي ل. فلو فرضنا مثلًا إن دي نقطة ج، ودي نقطة د اللي البنت طلعت لحدّها. والبنت وزنها ستين ثقل كيلوجرام. فنفرض برضو إن البنت صعدت على السلم مسافة طولها س متر. يعني ب د بتساوي س. ويبقى إحنا كده مطلوب منّنا إثبات إن س بتساوي ل. يعني نثبت إن المسافة اللي البنت طلعتها هي هياها نصّ طول السلم ل.

طيب دلوقتي القوى المؤثّرة على السلم هي إيه؟ وزن السلم، وهو عشرين ثقل كيلوجرام، ووزن الفتاة ستين ثقل كيلوجرام، وردّ فعل الأرض على السلم والحائط على السلم. دلوقتي عندنا الأرض خشنة، يعني ردّ فعلها غير معلوم الاتجاه. فبنحلّله لمركّبتين متعامدتين. ‏ر واحد في الاتجاه الرأسي عمودي على المستوى، وقوة الاحتكاك ح موازية للمستوى. طيب إحنا محتاجين نعرف اتجاه الحركة هيكون إزَّاي؛ علشان قوة الاحتكاك بتكون عكس اتجاه الحركة.

فلو تخيّلنا إن السلم ده هينزلق أو على وشك الانزلاق، فاتجاه حركته من عند النقطة أ هتكون لأسفل، ومن عند النقطة ب هتكون لليمين. ونفرض إن اتجاه الحركة هو الاتجاه الموجب. فده معناه إنه قوة الاحتكاك اتجاهها لليسار بالشكل ده. أمَّا الحائط الأملس، فردّ فعله على السلم بيكون عمودي عَ المستوى، هنسمّيه ر اتنين بالشكل ده. ونقول: بما أن السلم متزن، يبقى هنطبّق شروط الاتزان. الشرط الأول: ينعدم مجموع المركّبات الجبرية للقوى في أيّ اتجاهين متعامدين في نفس المستوى. يعني لو مثلًا خدنا اتجاهين متعامدين ج ب وَ ج أ، زيّ اللي في الشكل كده. والقوى اللي عندنا متحلّلة في اتجاههم. وبدأنا ناخد القوى الأفقية، اللي هي في اتجاه محور السينات ونجمعها، مجموعها هيساوي الصفر. وبالمثل القوى الرأسية اللي اتجاهها تجاه محور الصادات.

فلمَّا نطبّق أول جزء، اللي هو الاتجاه الأفقي ج ب، هيكون عندنا القوى الأفقية اللي هي ر اتنين وَ ح. وإحنا قلنا: إن الاتجاه الموجب لليمين. فيبقى عندنا ر اتنين ناقص ح بتساوي الصفر. ولكن السلم هنا في حالة اتزان نهائي؛ لأنه على وشك الحركة. فَـ ح بتكون ح س، أو قوة الاحتكاك السُّكوني النهائي. فمن هنا تبقى ر اتنين بتساوي ح س. ولكن إحنا عندنا ح س بتساوي م س في ر. وَ ر هنا هي ردّ الفعل العمودي ر واحد. أمَّا م س، فهي واحد على اتنين جذر تلاتة. فده معناه إن ر اتنين بتساوي واحد على اتنين جذر تلاتة ر واحد. ونسمّي المعادلة دي رقم واحد.

نيجي للاتجاه الرأسي أو اتجاه ج أ. القوى الرأسية اللي بتؤثّر على السلم هي القوة ر واحد والقوتين ستين وعشرين. والاتجاه الموجب لأسفل، فيبقى عندنا سالب ر واحد زائد ستين زائد عشرين بتساوي الصفر. من هنا تبقى ر واحد بتساوي تمانين ثقل كيلوجرام. بالتعويض في المعادلة رقم واحد، يبقى ر اتنين بتساوي أربعين جذر تلاتة على تلاتة ثقل كيلوجرام. كده باستخدام أول شرط من شروط الاتزان حصلنا على ر واحد وَ ر اتنين.

نيجي للشرط التاني. واللي بيقول لنا: ينعدم مجموع القياسات الجبرية لعزوم القوى حول أيّ نقطة في مستويها. يعني لو خدنا أيّ نقطة في نفس مستوى القوى، وحسبنا مجموع العزوم حواليها، هينعدم وهيساوي الصفر. وإحنا مطلوب عندنا في السؤال نعرف طول س، أو نثبت طول س بيساوي ل. فهنختار إننا نحسب عزوم القوى حوالين النقطة ب؛ علشان يطلع لنا في المعادلة الجزء س والجزء ل. مجموع العزوم بينعدم، يعني ج ب بتساوي الصفر. عندنا القوتين ر واحد وَ ح س خطّ عملهم بيمُرّ بالنقطة ب. فالبُعد عن النقطة ب بينعدم وبيساوي الصفر؛ فمش هنحسبه.

نيجي للتلات قوى الباقية. أول قوة القوة عشرين ثقل كيلوجرام. اتجاه دوران خطّ عمل القوة عشرين ثقل كيلوجرام حوالين النقطة ب في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. يعني إشارته موجبة. والبُعد العمودي بين خطّ عمل القوة دي والنقطة ب هو طول الجزء ده. طيب إحنا عندنا في المثلث الأخضر اللي ظلّلناه ده هو مثلث قائم، وفيه قياس زاوية ب بتساوي ستين درجة. جتا ستين درجة بتساوي المجاور على الوتر. المجاور هو طول الجزء المطلوب. يعني لو سمّينا النقطة دي هـ، فالمطلوب عندنا طول ب هـ، اللي هو المجاور. والوتر هو نصّ طول السلم ل. يبقى إحنا عندنا ب هـ بتساوي ل جتا ستين. يبقى كده القوة عشرين مضروبة في البُعد العمودي ل جتا ستين.

أمَّا القوة ستين ثقل كيلوجرام، فاتجاه دورانها حوالين النقطة ب برضو اتجاه موجب، زيّ القوة عشرين ثقل كيلوجرام. لأنه عكس اتجاه حركة دوران عقارب الساعة. والبُعد العمودي بينه وبين النقطة ب هنحسبه زيّ ما حسبنا طول ب هـ. هنسمّي النقطة دي و، والمرة دي هنستخدم المثلث القائم ل و ب. جتا ستين بتساوي المجاور على الوتر. المجاور هو طول ب و، اللي إحنا محتاجين نعرفه. والوتر هو طول الجزء س، اللي البنت هتمشيه على السلم. فيبقى هنا عندنا ب و بتساوي س في جتا ستين. يبقى كده القوة ستين مضروبة في س جتا ستين.

نيجي للقوة التالتة والأخيرة، وهي قوة ردّ الفعل ر اتنين. اتجاه دوران خطّ عمل القوة ر اتنين حوالين النقطة ب في نفس اتجاه دوران عقارب الساعة، يعني إشارته سالبة. والبُعد العمودي بين خطّ عمل القوة دي والنقطة ب هو طول الجزء أ ج. ففي المثلث القائم الكبير أ ب ج، القائم الزاوية في ج، عندنا جا ستين بتساوي المقابل على الوتر. المقابل هو طول أ ج المطلوب. والوتر هو طول السلم كله؛ اتنين ل.

يبقى هنا عندنا أ ج بتساوي اتنين ل جا ستين. يبقى نقول: القوة في البُعد العمودي. يبقى سالب ر اتنين في اتنين ل جا ستين، ده كله بينعدم وبيساوي الصفر. جتا ستين بتساوي نصّ. نصّ في عشرين يساوي عشرة. يبقى أول جزء ده عبارة عن عشرة ل. وهنا برضو جتا ستين بتساوي نصّ في ستين. يعني تلاتين مضروبة في س. بعدين ناقص … نشيل ر اتنين ونعوَّض عنها بقيمتها أربعين جذر تلاتة على التلاتة. مضروبة في اتنين ل جا ستين. ده كله هيساوي الصفر. يعني عشرة ل زائد تلاتين س ناقص أربعين ل بيساوي الصفر. عشرة ناقص أربعين ناقص تلاتين، يعني تلاتين س ناقص تلاتين ل بتساوي الصفر. يبقى تلاتين س بتساوي تلاتين ل. وبقسمة الطرفين على تلاتين، إذن الـ س بتساوي ل. وهو ده المطلوب إثباته.

يبقى كده إحنا أثبتنا المطلوب. وقلنا: إذن أقصى مسافة تصعدها الفتاة على السلم هي نصف طوله.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.