فيديو السؤال: معرفة قاعدة الدالة الكسرية بمعلومية تمثيلها البياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ما الدالة الممثلة في الشكل الآتي؟

لدينا التمثيل البياني لإحدى الدوال، ونريد معرفة الدالة التي يمثلها هذا التمثيل البياني. لنلق نظرة على خصائص هذا التمثيل البياني. يوجد خط تقارب رأسي، ومحور ﺹ، وخط تقارب أفقي بالمعادلة: ﺹ يساوي سالب ثلاثة. هل يمكننا التفكير في دالة تمثيلها البياني له خصائص مشابهة؟ حسنًا، هذا هو التمثيل البياني لدالة المقلوب د ﺱ تساوي واحد على ﺱ. إنه لا يطابق التمثيل البياني الموضح في السؤال تمامًا. لكن هناك تشابهًا كبيرًا في عائلة المنحنيات. سنستخدم تحويلات التمثيلات البيانية لتحويل التمثيل البياني لدالة المقلوب إلى التمثيل البياني الموضح في السؤال.

كالتمثيل البياني في السؤال، فإن التمثيل البياني لدالة المقلوب له خط تقارب رأسي وخط تقارب أفقي. ولكن على عكس التمثيل البياني في السؤال، الذي يقترب من خط التقارب الرأسي على يسار المحور ﺹ بالاتجاه إلى أعلى، فإن التمثيل البياني لدالة المقلوب يقترب من خط التقارب هذا من اليسار بالاتجاه إلى أسفل. يختلف التمثيلان البيانيان من ناحية يمين المحور ﺹ أيضًا. الدالة الممثلة على اليسار تتزايد عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. وبهذا يصعد التمثيل البياني من أسفل. على النقيض منها، فإن دالة المقلوب تتناقص عندما يكون ﺱ أكبر من صفر. وبالتالي يهبط تمثيلها البياني من أعلى إلى يمين المحور ﺹ.

كيف يمكننا تحويل التمثيل البياني لدالة المقلوب على اليمين لنجعله مثل التمثيل البياني على اليسار في السؤال؟ أحد الأشياء التي يمكننا فعلها هو عكس هذا التمثيل البياني على المحور ﺱ. هذا هو مخطط سريع لشكل هذا التمثيل البياني المعكوس. يمكننا أن نرى التمثيل البياني المعكوس يبدو كما ينبغي ناحية يسار ويمين المحور ﺹ، حيث يصعد لأعلى ليقترب من خط التقارب الرأسي يسار المحور ﺹ ويصعد من الأسفل على يمينه. ما هي الدالة المرتبطة بهذا التمثيل البياني المعكوس؟ إذا عكست التمثيل البياني للدالة د ﺱ على المحور ﺱ، ستحصل على التمثيل البياني لسالب د ﺱ. وكما بدأنا بالتمثيل البياني للدالة د ﺱ تساوي واحد على ﺱ، فإن التمثيل البياني المعكوس يمثل الدالة د ﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ. قبل التنظيم والانتقال إلى الخطوة التالية، نلاحظ أنه بدلًا من العكس على المحور ﺱ، كان بإمكاننا أن نختار العكس على المحور ﺹ. بالنظر إلى تماثل هذه الصورة، ربما تخمن أن العكس على المحور ﺹ يعطيك التمثيل البياني للدالة د ﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ أيضًا. وستكون على صواب. العكس على المحور ﺹ ينقل التمثيل البياني للدالة د ﺱ إلى الدالة د في سالب ﺱ. وبما أننا بدأنا بالدالة د ﺱ تساوي واحد على ﺱ، فإننا ننتهي بالدالة د ﺱ تساوي واحد على سالب ﺱ وهو ما يمكن كتابته في صورة الدالة د ﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ.

الآن بعد التنظيم، يمكننا على نحو أسهل مقارنة التمثيل البياني لتخميننا المحسن، وهو الدالة د ﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ، مع التمثيل البياني المذكور في السؤال. خط التقارب الرأسي يطابق التمثيل البياني في السؤال. إنه المحور ﺹ الذي معادلته ﺱ يساوي صفرًا. ومع ذلك، فإن خط التقارب الأفقي ليس في مكانه الصحيح. فهو على المحور ﺱ الذي معادلته ﺹ يساوي صفرًا وليس الخط الذي معادلته ﺹ يساوي سالب ثلاثة، كما في التمثيل البياني الموجود في السؤال. علينا تحويل هذا التمثيل البياني بنقله لأسفل بمقدار ثلاث وحدات لنجعله مطابقًا للتمثيل البياني الموضح في السؤال.

يمكننا الآن رسم مخطط سريع لما سيبدو عليه هذا التمثيل البياني المنقول. يبدو أنه يطابقه جدًّا. السؤال هو: ما الدالة التي يمثلها هذا التمثيل البياني المنقول؟ نقل التمثيل البياني للدالة د ﺱ بمقدار ﺟ من الوحدات في اتجاه ﺹ الموجب ينقله إلى التمثيل البياني للدالة د ﺱ زائد ﺟ. أي ننقله لأسفل بمقدار ثلاث وحدات. إذن هذه ثلاث وحدات في اتجاه ﺹ السالب أو سالب ثلاث وحدات في اتجاه ﺹ الموجب. إذن نطرح ثلاثة من الدالة لنحصل على الدالة د ﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ ناقص ثلاثة. وربما عند تجربة بعض النقاط على التمثيل البياني في السؤال، نتمكن من إقناع أنفسنا بأن هذا هو فعلًا التمثيل البياني للدالة د ﺱ تساوي سالب واحد على ﺱ ناقص ثلاثة. لا توجد حاجة للضرب في كمية قياسية أو التمديد.

هيا نلخص كيفية حل هذا السؤال. بدأنا بالتمثيل البياني لدالة المقلوب. وهو التمثيل البياني للدالة د ﺱ تساوي واحد على ﺱ، وهو ما اعتقدنا أنه نقطة بداية جيدة؛ لأن خط التقارب الرأسي والأفقي كانا يشبهان الموجودين في التمثيل البياني بالسؤال. وبالتأكيد، كانت تلك نقطة بداية أفضل من بداية بالتمثيل البياني بالخطوط أو القطع المكافئ. بعد ذلك طبقنا تحويلات التمثيلات البيانية المتتالية. أولًا، العكس ثم الانتقال في اتجاه المحور ﺹ حتى يكون لدينا تطابق تام. إحدى حقائق التحويل التي لم نضطر لاستخدامها هي أن الانتقال بمقدار ﺟ من الوحدات في اتجاه ﺱ الموجب ينقل التمثيل البياني للدالة د ﺱ إلى التمثيل البياني للدالة د ﺱ ناقص ﺟ. كنا سنضطر لاستخدام هذه الحقيقة لو أن خط التقارب الرأسي للتمثيل البياني المذكور في السؤال لم يكن المحور ﺹ.