فيديو السؤال: إيجاد مساحة مثلث باستخدام محدد المصفوفة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

استخدم المحددات لإيجاد مساحة مثلث رءوسه؛ صفر، سالب واحد؛ وصفر، اثنان؛ وخمسة، صفر.

لحل مسألة كهذه، لدينا صيغة علينا استخدامها. وهذه الصيغة سنوجد من خلالها مساحة المثلث. إنها طريقة لإيجاد مساحة المثلث باستخدام المحددات. توضح الصيغة أن مساحة المثلث تساوي موجب أو سالب نصف، وقبل أن نكمل علينا توضيح شيء مهم هنا. هذا لا يعني أننا نحصل على إجابتين؛ موجب وسالب نصف. المقصود هو أننا نستخدم إما موجب نصف وإما سالب نصف، حسب العدد الذي يعطينا الناتج الموجب منهما. وذلك لأننا نتعامل مع مساحة. ومن ثم، فإننا نريد ناتجًا موجبًا. حسنًا، لدينا موجب أو سالب نصف مضروبًا في محدد المصفوفة ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد، وﺱ اثنين، ﺹ اثنين، واحد، وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد. ‏ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة هي إحداثيات رءوس المثلث.

ما فعلته الآن هو أنني أوضحت قيمة كل إحداثي لدينا. وهكذا أصبح لدينا ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنان، ﺹ اثنان؛ وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة. والآن إذا عوضنا بالقيم التي لدينا، فسنجد أن المساحة تساوي موجب أو سالب نصف مضروبًا في محدد المصفوفة صفر، سالب واحد، واحد؛ وصفر، اثنين، واحد؛ وخمسة، صفر، واحد.

دعونا نسترجع سريعًا كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. إذا كانت لدينا المصفوفة ﺃ‏، ﺏ، ﺟ‏، ﺩ‏، ﻫ‏، ﻭ، ﺯ، ﺡ، ﻁ، فإن محدد هذه المصفوفة يساوي ﺃ مضروبًا في محدد المصفوفة الجزئية ﻫ‏، ﻭ، ﺡ، ﻁ؛ ناقص ﺏ مضروبًا في محدد المصفوفة الجزئية ﺩ‏، ﻭ، ﺯ، ﻁ؛ زائد ﺟ مضروبًا في محدد المصفوفة الجزئية ﺩ‏، ﻫ‏، ﺯ، ﺡ.

إذن، نجد أن المساحة لدينا تساوي موجب أو سالب نصف مضروبًا في صفر. وذلك لأن صفرًا هنا هو قيمة ﺃ؛ فهو العنصر الأول لدينا في الصف الأول والعمود الأول. وهذا لدينا مضروب في محدد المصفوفة الجزئية اثنين، واحد، صفر، واحد. ولقد حصلنا على ذلك لأننا حذفنا الصف والعمود اللذين يقع فيهما العنصر الأول.

وعندما فعلنا ذلك، أصبح هذا ما لدينا. بعد ذلك، لدينا علامة ناقص. ثم سالب واحد مضروبًا في محدد المصفوفة الجزئية صفر، واحد، خمسة، واحد. ومرة أخرى، حصلنا على هذه القيم بحذف الصف والعمود اللذين يقع فيهما العنصر.

جدير بالملاحظة أن هناك إشارة توضع قبل المعاملات. وتحدد هذه الإشارة وفقًا للعمود. فالعمود الأول نضع أعلاه موجب، والعمود الثاني سالب، والعمود الثالث موجب، وهكذا. لكن بما أننا نطرح عددًا سالبًا، فسنعيد كتابة ذلك ليصبح على الصورة موجب واحد مضروبًا في محدد المصفوفة الجزئية صفر، واحد، خمسة، واحد. وأخيرًا، سنضيف واحدًا مضروبًا في المحدد. وهذه المرة، لدينا المصفوفة الجزئية صفر، اثنان، خمسة، صفر.

حسنًا، لإجراء الخطوة التالية، علينا أن نسترجع كيفية إيجاد قيمة محدد مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. ويمكننا القيام بذلك بالتفكير في محدد المصفوفة ﺃ‏، ﺏ، ﺟ‏، ﺩ. وهو يساوي ﺃﺩ ناقص ﺏﺟ. هذا يعني أننا نجري عملية ضرب تبادلي ثم نطرح. حسنًا، رائع.

هيا نطبق ذلك على المثال لدينا. المساحة تساوي موجب أو سالب نصف مضروبًا في صفر. وهذا لأنه عند ضرب صفر في أي عدد يكون الناتج صفرًا. لدينا بعد ذلك زائد صفر في واحد ناقص واحد في خمسة. ولقد حصلنا على هذه القيم من عملية الضرب التبادلي. ونظرًا لأن المعامل أو القيمة المضروبة في المحدد تساوي واحدًا، فإننا لا نحتاج إلى فعل شيء آخر. ثم نضيف إلى ذلك صفرًا في صفر ناقص اثنين في خمسة. مرة أخرى، استخدمنا الضرب التبادلي هنا. ونظرًا لأن المعامل أو القيمة المضروبة في المحدد تساوي واحدًا، لم يكن علينا أن نضرب في أي قيمة أخرى.

وعليه، نجد أن المساحة تساوي موجب أو سالب نصف مضروبًا في سالب خمسة ناقص ١٠. هذا يعني أنه يمكننا تحديد إشارة النصف. سأضع الإشارة سالب. وذلك لأن سالب خمسة ناقص ١٠ يساوي سالب ١٥. ومن ثم، علينا ضرب عدد سالب في هذا العدد لنحصل على قيمة موجبة.

إذن، المساحة تساوي سالب نصف مضروبًا في سالب ١٥. وبهذا، نكون قد أوجدنا المساحة النهائية للمثلث الذي رءوسه صفر، سالب واحد؛ وصفر، اثنان؛ وخمسة، صفر، وهي ٧٫٥.