فيديو السؤال: حل نظام من معادلتين خطيتين تتضمنان معاملات كسرية في مجهولين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

حل المعادلتين الآنيتين: ﺱ على ستة زائد ﺹ على ستة يساوي واحدًا، وﺱ على ستة زائد ﺹ على تسعة يساوي ١٧ على اثنين.

حسنًا، علينا هنا إيجاد قيمتي ﺱ وﺹ اللتين تحققان هاتين المعادلتين. عندما نرى هذه الكسور، فإن أول ما علينا فعله هو التخلص منها قبل بدء الحل. علينا التخلص من ستة وتسعة واثنين في المقام. وهذا يعني أن علينا ضرب المعادلتين في مضاعفهما المشترك الأصغر. جميع الأعداد الثلاثة؛ ستة وتسعة واثنين، عوامل للعدد ١٨. لذا، دعونا نضرب هاتين المعادلتين في ١٨. ‏١٨ في ﺱ على ستة يساوي ١٨ﺱ على ستة. و١٨ مقسومًا على ستة يساوي ثلاثة. إذن، لدينا الآن ثلاثة ﺱ. وينطبق الأمر نفسه على ﺹ. ‏١٨ﺹ على ستة ﺹ يساوي ثلاثة ﺹ. و١٨ في واحد يساوي ١٨. وفي المعادلة الثانية، ١٨ في ﺱ على ستة يساوي ثلاثة ﺱ، مثل المعادلة الأولى. و١٨ في ﺹ على تسعة، يعطينا ١٨ على تسعة ﺹ، وهو ما يساوي اثنين ﺹ. وذلك لأن ١٨ مقسومًا على تسعة يساوي اثنين. ثم نضرب ١٨ في ١٧ على اثنين. يمكن تبسيط ١٨ في ١٧ على اثنين. ‏١٨ مقسومًا على اثنين يساوي تسعة. والآن علينا ضرب تسعة في ١٧، وهذا يساوي ١٥٣.

يمكننا أن نسمي هاتين المعادلتين المعادلة رقم واحد والمعادلة رقم اثنين. وعلينا طرح المعادلة رقم اثنين من المعادلة رقم واحد. عندما نفعل ذلك، نجد أن ثلاثة ﺱ ناقص ثلاثة ﺱ يساوي صفرًا. وثلاثة ﺹ ناقص اثنين ﺹ يساوي ﺹ. وصفر زائد ﺹ يساوي ﺹ.

علينا الانتباه هنا. لدينا ١٨ و١٥٣. تذكر أننا نقوم بعملية طرح. ‏١٨ ناقص ١٥٣ يساوي سالب ١٣٥. إذن، ﺹ يساوي سالب ١٣٥. يمكننا أن نستخدم المعادلة الأولى ونعوض فيها بقيمة ﺹ. سنعوض عن ﺹ بسالب ١٣٥. ولكن هناك خطوة يمكننا فعلها لتبسيط هذه العملية قليلًا. جميع المعاملات هنا قابلة للقسمة على ثلاثة. لذا، سنقسم كل حد من حدود المعادلة رقم واحد على ثلاثة. ثلاثة ﺱ مقسومًا على ثلاثة يساوي ﺱ. وثلاثة ﺹ مقسومًا على ثلاثة يساوي ﺹ. و١٨ مقسومًا على ثلاثة يساوي ستة. وعند هذه المرحلة، سنعوض عن ﺹ بسالب ١٣٥. إذن، ﺱ زائد سالب ١٣٥ يساوي ستة. ولإيجاد قيمة ﺱ، نضيف ١٣٥ إلى كلا الطرفين. ‏ﺱ يساوي ستة زائد ١٣٥. إذن، ﺱ يساوي ١٤١.

إذن، يتقاطع المستقيمان اللذان يمثلان المعادلتين الآنيتين عند النقطة التي عندها ﺱ يساوي ١٤١ وﺹ يساوي سالب ١٣٥.

دعونا نوضح ما يحدث إذا لم نتخلص من هذه الكسور في البداية. ماذا سيحدث إذا لم نضرب المعادلتين في ١٨ ؟ حسنًا، سنبدأ بنفس المعادلتين. نلاحظ هنا أن لدينا ﺱ على ستة في هاتين المعادلتين. وهذا يجعلنا نفكر في إمكانية التعويض بإحدى المعادلتين في المعادلة الأخرى. حسنًا، سنطرح ﺹ على ستة من طرفي المعادلة الأولى، وهذا يعطينا معادلة جديدة. ‏ﺱ على ستة يساوي واحدًا ناقص ﺹ على ستة. هذه هي المعادلة رقم واحد الجديدة. وسنعوض بقيمة ﺱ التي أوجدناها في المعادلة رقم اثنين. نحن نعلم أن ﺱ على ستة يساوي واحدًا ناقص ﺹ على ستة. وهذا يعني أنه بدلًا من ﺱ على ستة في المعادلة الثانية، سنكتب واحدًا ناقص ﺹ على ستة.

في هذه المرحلة، سنحاول تجميع الحدود المتشابهة، لدينا سالب ﺹ على ستة زائد ﺹ على تسعة. لا يمكننا جمع كسرين ليس لهما مقام مشترك. علينا إذن أن نستخدم مقامًا مشتركًا؛ وهو ١٨. سالب ﺹ على ستة يساوي سالب ثلاثة ﺹ على ١٨. وموجب ﺹ على تسعة يساوي اثنين ﺹ على ١٨. يمكننا الآن جمع هذين الكسرين معًا من خلال جمع البسطين. سالب ثلاثة ﺹ زائد اثنين ﺹ يساوي سالب ﺹ. والمقام لم يتغير. فهو ما زال ١٨.

لإيجاد قيمة ﺹ، علينا جعل ﺹ في طرف بمفرده. حسنًا، سنطرح واحدًا من طرفي المعادلة. سالب ﺹ على ١٨ يساوي ١٧ على اثنين ناقص واحد. العدد واحد هو نفسه اثنان على اثنين. لذا، سنعيد كتابته على هذه الصورة. ونجد بعد ذلك أن هذين الكسرين لهما مقام مشترك. ويمكننا القول إن ١٧ ناقص اثنين يساوي ١٥، ويظل المقام كما هو؛ اثنين. بعد ذلك، نضرب طرفي المعادلة في ١٨. ويتبقى في الطرف الأيمن سالب ﺹ فقط. يمكننا تبسيط ١٨ مقسومًا على اثنين لنحصل على تسعة. تسعة في ١٥ يساوي ١٣٥. إذن، سالب ﺹ يساوي ١٣٥. وهذا يعني أن موجب ﺹ يساوي سالب ١٣٥.

إننا لم ننته بعد؛ لأننا نعرف قيمة ﺹ فقط. علينا التعويض بقيمة ﺹ هذه في المعادلة رقم واحد. ويصبح لدينا ما يلي. ‏ﺱ على ستة يساوي واحدًا ناقص سالب ١٣٥ على ستة. علينا الانتباه هنا. إننا نطرح عددًا سالبًا. لذا يمكننا تحويل عملية الطرح إلى عملية جمع. وبدلًا من العدد الصحيح واحد، يمكننا كتابة الكسر ستة على ستة. بإمكاننا بعد ذلك جمع هذين البسطين. ستة زائد ١٣٥ يساوي ١٤١. والمقام لم يتغير. يظل ستة كما هو. إذا ضربنا كلا الطرفين في ستة، فسنحذف العددين ستة. ويتبقى لدينا ﺱ يساوي ١٤١.

كلتا الطريقتين صحيحتان. ولكن عادة ما نجد أنه عند التعامل مع الكسور، يزيد احتمال حدوث خطأ. وغالبًا ما يكون من الأسهل التعامل مع الكسور في الخطوة الأولى. الخطوة الأخيرة التي يمكننا القيام بها هي التعويض بهاتين القيمتين والتحقق من صحة المعادلتين. هل ١٤١ على ستة زائد سالب ١٣٥ على ستة يساوي واحدًا؟

عندما نجمع هذين الكسرين، نحصل على ستة على ستة. ستة على ستة يساوي واحدًا. في المعادلة الثانية، ١٤١ على ستة زائد سالب ١٣٥ على تسعة يساوي ١٧ على اثنين. علينا التحقق من صحة هذه المعادلة. وللتحقق من ذلك، سنستخدم الآلة الحاسبة. ‏١٤١ على ستة يساوي ٢٣ ونصفًا. سالب ١٣٥ مقسومًا على تسعة يساوي سالب ١٥. ‏١٧ مقسومًا على اثنين يساوي ثمانية ونصفًا. و٢٣ ونصف ناقص ١٥ يساوي ثمانية ونصفًا. إذن، الحل هو ﺱ يساوي ١٤١. وﺹ يساوي سالب ١٣٥.