فيديو: الدوال المثلثية العكسية

يوضح الفيديو تعريف الدوال المثلثية العكسية (الدالة العكسية: للجيب، ولجيب التمام، وللظل)، وخواصها، ومفهوم معكوس الدالة، وكيفية حساب الدالة العكسية المركَّبة.

١٢:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على الدوال المثلثية العكسية. هنعرف يعني إيه دالة مثلثية عكسية. وإيه خواصها. وإزَّاي نعرف نحسب قيم الدوال المثلثية العكسية.

إذا علمت قيمة الدالة المثلثية لزاوية ما فإنك تستطيع استخدام معكوس الدالة لإيجاد قياس الزاوية. يعني مثلًا لو عندنا ص تساوي جا 𝜃. وقيمة الدالة المثلثية عندنا؛ يعني عندنا قيمة الـ ص. فبنعرف نجيب قيمة الـ 𝜃، اللي هو قياس الزاوية عن طريق استخدام الدوال المثلثية العكسية. علشان كده بنحتاج نجيب معكوس الدالة للدالة المثلثية؛ حيث أن معكوس الدالة هو العلاقة التي تُعكَس فيها قيم المتغيرين س وَ ص. فمعكوس الـ ص يساوي جا س، هو س يساوي جا ص. هنا بندخل قيم لِـ س، ونجيب قيم ص. لكن في المعكوس هندخّل قيم الـ ص ونجيب بيها قيم الـ س، واللي بيتمّ تمثيله بيانيًّا بالشكل اللي قدامنا ده. المحور الأفقي س. المحور الرأسي ص. وَ س تساوي جا ص.

وهنلاحظ هنا إن كل قيمة لِـ س لها أكتر من قيمة في الـ ص. وبالتالي ده مش دالة. يعني معكوس الدالة ليس دالة؛ لوجود أكتر من قيمة لِـ ص، لكل قيمة لِـ س. وعشان نخلّي معكوس الدالة يبقى دالة، هنقوم بتحديد مجال الدالة؛ بحيث يكون في دالة الجيب اللي هي جا س، هنحدد قيم الـ س تبقى أكبر من أو تساوي سالب 𝜋 على اتنين، وأصغر من أو تساوي 𝜋 على اتنين. علشان يكون المعكوس هو كمان دالة، وهتبقى اسمها دالة عكسية لدالة الجيب.

بتُسمى القيم في هذا المجال المحدّد القيم الأساسية. هنقلب الصفحة وهنشوف تعريف الدوال العكسية للدوال المثلثية.

بيتمّ استخدام الدوال ذات المجالات المحددة؛ لتعريف الدوال العكسية لكلٍّ من دالة الجيب، ودالة جيب التمام، ودالة الظل. وهي الدالة العكسية للجيب، والدالة العكسية لجيب التمام، والدالة العكسية للظل. الجدول اللي قدامنا بيوضح الدوال المثلثية العكسية. الدالة العكسية للجيب، هتبقى ص تساوي الدالة العكسية للجيب في س. والمجال هيبقى الـ س أكبر من أو يساوي سالب واحد، وأصغر من أو يساوي الواحد. والمدى اللي هو قِيَم الصادات، اللي هو بحيث إن تبقى الـ س لها قيمة واحدة بس في الصادات. هتبقى أكبر من أو يساوي سالب 𝜋 على اتنين بالراديان، وأصغر من أو يساوي 𝜋 على اتنين بالراديان. وبقياس الدرجات هتبقى الـ ص أكبر من أو يساوي سالب تسعين درجة، وأصغر من أو يساوي تسعين درجة. والنموذج اللي قدامنا ده بيوضّح الدالة العكسية لدالة الجيب.

الدالة العكسية لجيب التمام، هيبقى الـ ص تساوي الدالة العكسية لجيب التمام في س. والـ س هتبقى قيمتها أكبر من أو يساوي سالب واحد، وأصغر من أو يساوي الواحد. والمدى اللي هو هيبقى الـ ص أكبر من أو يساوي الصفر بالراديان، وأصغر من أو يساوي 𝜋 بالراديان. والـ ص أكبر من أو يساوي الصفر بالدرجات، وأصغر من أو يساوي تسعين درجة.

الدالة العكسية للظل، هتبقى ص تساوي الدالة العكسية للظل في س. وهيبقى المجال مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. والـ ص اللي هو قيمة المدى، هتبقى أكبر من أو يساوي سالب 𝜋 على اتنين بالراديان، وأصغر من أو يساوي 𝜋 عَ الاتنين بالراديان. وبقياس الدرجات هتبقى الـ ص أكبر من أو يساوي سالب تسعين درجة، وأصغر من أو يساوي تسعين درجة.

في الدوال العكسية، إذا كانت د والدالة العكسية لِـ د، كل منهما دالة عكسية للأخرى. إذن دالة س تساوي ص؛ إذا وفقط إذا كان الدالة العكسية لِـ ص تساوي س. يعني لو عندنا دي هتودّينا لدي أو العكس. ده لو كل واحدة فيهم دالة عكسية للأخرى.

نقلب الصفحة وناخد ملحوظة مهمة على الكلام ده. إذا كانت العلاقة ص تساوي الدالة العكسية لجيب التمام في س، فيها س تساوي نص؛ فإن الـ ص هتساوي ستين درجة أو تلتمية درجة. وكل زاوية بتشترك في الضلع النهائي لهاتين الزاويتين، فهي أيضًا قيمة لِـ ص. ليه؟ علشان دي علاقة. لكن الدالة ص تساوي الدالة العكسية لجيب التمام في س. إذا كانت الـ س تساوي نص، فإن ص تساوي ستين درجة فقط. علشان يبقى مقابل لكل واحدة قيمة واحدة بس. ويبقى ساعتها بنقدر نقول عليها دالة.

نقلب الصفحة وناخد مثال، إزَّاي هنعرف نوجد قيم الدوال المثلثية العكسية. اوجد قيمة كل مما يأتي بالدرجات وبالراديان: الدالة العكسية لجيب التمام سالب نص. والدالة العكسية للظل لقيمة الواحد.

لازم نفتكر دايمًا إن حساب قيمة معكوس الدالة المثلثية، بيبقى هو قياس الزاوية. يعني الناتج اللي هيطلع لنا من هنا ده، مطلوب قيمة زاوية.

علشان نجيب الدالة العكسية لدالة جيب التمام سالب نص، ممكن نستخدم طريقتين للحل. الأول هنحدد المطلوب منّنا هو إيجاد الزاوية 𝜃، والتي قيمة جيب التمام لها هو سالب نص.

أول طريقة للحل هتبقى باستخدام دايرة الوحدة. ودايرة الوحدة دي هي دايرة مرسومة في المستوى الإحداثي. مركزها نقطة الأصل، وطول نصف قطرها وحدة واحدة اللي هتبقى بالشكل ده. الحل بيبقى عن طريق إيجاد زاوية فيها قيمة س تساوي سالب نص. يعني هنيجي على دايرة الوحدة، ونشوف الـ س فين هتساوي سالب نص. لما الـ س هتساوي سالب نص، هنرسم الزاوية اللي بتقاطع النقطة اللي قيمة الـ س فيها تساوي سالب نص، اللي هنا دي. لما هنقيس الزاوية هنلاقي قيمة الزاوية دي مية وعشرين درجة، اللي هي النقطة سالب نص وجذر تلاتة عَ الاتنين، ده قيمة الصادات.

ليه ما خدناش الزاوية اللي فيها هنا سالب نص هي كمان، وسالب جذر تلاتة على الاتنين؟ لأن لو عملنا الزاوية دي، هتبقى قيمة الصادات أكبر من مية وتمانين درجة. ويبقى دي مش الدالة العكسية. لأن إحنا قلنا إن دالة الجيب التمام العكسية بتبقى صفر لغاية مية وتمانين درجة بس. يعني قيم الصادات أكبر من أو يساوي صفر، وأصغر من أو يساوي مية وتمانين درجة. فبالتالي الحل ده بيبقى مرفوض. يبقى هنا الزاوية اللي إحنا عايزينها لازم تكون محصورة بين الصفر والمية وتمانين درجة، اللي هي تساوي مية وعشرين درجة.

الطريقة التانية في الحال، اللي هي باستخدام الآلة الحاسبة. اللي هو باستخدام معكوس الـ جتا على الآلة الحاسبة. الدالة العكسية لجيب التمام لقيمة سالب نص هتساوي مية وعشرين درجة بالدرجات، أو اتنين 𝜋 على تلاتة بالراديان. ده الجزء الأولاني من السؤال. نشوف الجزء التاني من السؤال. نقلب الصفحة.

الدالة العكسية للظل للقيمة واحد. هيبقى المطلوب إيجاد زاوية 𝜃 في الفترة من سالب تسعين درجة إلى تسعين درجة، واللي بيبقى ظلها يساوي واحد. لما هنستخدم الآلة الحاسبة، وهنجيب الدالة العكسية لدالة الظل، هتطلع قيمتها خمسة وأربعين درجة، اللي هي قيمتها بالراديان 𝜋 على أربعة.

في المثالين اللي اتكلمنا عنهم، كانت ما فيش غير دالة مثلثية واحدة اللي كنا بنجيب قيمة الزاوية لها. طيب لو كان فيه أكتر من دالة مثلثية جوه بعض، فبنستخدم ترتيب العمليات الحسابية للحل. نقلب الصفحة ونشوف إزَّاي.

عند حساب قيمة معينة بوجود عددًا من الدوال المثلثية، بنستخدم ترتيب العمليات الحسابية للحل. يعني لما يقول لنا اوجد قيمة دالة الظل للدالة العكسية لجيب التمام للقيمة نُص. يبقى هنستخدم ترتيب العمليات الحسابية؛ بإن إحنا نشوف اللي جوه القوس الأول، وبعدين نطلع بره. بيقول لنا اوجد القيمة دي مقرِّبًا إلى أقرب جزء من المائة. لما هنستخدم الآلة الحاسبة، هنحسب قيمة الدالة العكسية للسالب نص. وبعد كده نوجد قيمة الظل للقيمة الناتجة. يبقى الدالة العكسية لجيب التمام للنص، هتساوي ستين درجة. هناخد الستين درجة دي، ونحطها جوه الظل. يعني ظل الزاوية ستين درجة هيساوي تقريبًا واحد وتلاتة وسبعين من مية. وطبعًا عندنا هنا القيمة اللي طلعت من الدالة العكسية، كان قياس زاوية. لكن القيمة اللي طلعت من الدالة نفسها الدالة المثلثية، كان قيمة الدالة. وطبعًا علشان نعملها في خطوة واحدة على الآلة الحاسبة، فبنكتب ظل الزاوية والدالة العكسية لجيب التمام للقيمة سالب نص. اللي هتطلع تقريبًا واحد وتلاتة وسبعين من مية.

في الفيديو ده اتكلمنا على الدوال المثلثية العكسية. وإزَّاي بنجيب قيمتها. وإيه هي خواصها. وإيه هو المجال والمدى للدوال المثلثية العكسية. وإيه الفرق ما بين الدالة والعلاقة. وإزاي بنحلّ في حالة وجود أكتر من دالة مثلثية؛ عشان نوجد قيمة معينة لمجموعة من الدوال داخلة في بعض. بنستخدم ترتيب العمليات الحسابية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.