فيديو السؤال: إيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة تتضمن دوال أسية إن وجدت الرياضيات

أوجد (إن وجدت) القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية للدالة ﺩ(ﺱ) = ﻫ^(٦ﺱ) + ﻫ^(−ﺱ).

٠٨:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد (إن وجدت) القيم العظمى المحلية والقيم الصغرى المحلية للدالة ﺩﺱ تساوي ﻫ أس ستة في ﺱ زائد ﻫ أس سالب ﺱ.

لإيجاد القيم الصغرى المحلية والقيم العظمى المحلية للدالة، نبدأ بتذكر كيف يمكننا إيجاد أي نقاط حرجة. نحصل على النقاط الحرجة لدالة عندما تكون المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ تساوي صفرًا أو غير موجودة. وتوجد طريقتان يمكننا من خلالهما تحديد ما إذا كانت هذه النقاط الحرجة هي قيم صغرى محلية أو قيم عظمى محلية. الطريقة الأولى استخدام اختبار المشتقة الثانية. وبالاشتقاق مرة أخرى، نحصل على ﺩ شرطتين ﺱ. وإذا كانت قيمة المشتقة الثانية عند النقاط الحرجة أكبر من صفر، فهذا يعني أن لدينا قيمة صغرى محلية. وإذا كانت أصغر من صفر، فهذا يعني أن لدينا قيمة عظمى محلية.

والآن، إذا كانت قيمة المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فقد يشير هذا إلى أن لدينا نقطة انقلاب. لكن ثمة اختبارًا ثانيًا للتأكد قد يتعين علينا إجراؤه. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام اختبار المشتقة الأولى. يتضمن هذا التعويض بالقيم التي تقع على جانبي النقطة الحرجة في تعبير المشتقة الأولى، ثم نرى ما تخبرنا به قيمة هذا التعبير عن ميل المنحنى عند هذه النقطة. ومع ذلك، سنستخدم اختبار المشتقة الثانية في هذه المسألة. ومن هنا يتضح لنا أنه لإيجاد النقاط الحرجة، سيتعين علينا إيجاد قيمة المشتقة الأولى.

وبعد ذلك، نتذكر أن مشتقة ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ؛ حيث ﺃ ثابت ما، هي ﺃﻫ أس ﺃﺱ. وهذا يعني أن مشتقة ﻫ أس ستة ﺱ تساوي ستة ﻫ أس ستة ﺱ. ومشتقة ﻫ أس سالب ﺱ هي سالب ﻫ أس سالب ﺱ. وبذلك نجد أن ﺩ شرطة ﺱ تساوي ستة ﻫ أس ستة ﺱ ناقص ﻫ أس سالب ﺱ. ولإيجاد النقاط الحرجة، علينا مساواة ذلك بصفر والحل لإيجاد قيمة ﺱ.

والآن لن نحاول قسمة الطرفين على ﻫ أس ﺱ. وبدلًا من ذلك، سنحلل المقدار الموجود على الطرف الأيسر من المعادلة. يمكننا إجراء ذلك بطريقتين، لكن دعونا نحلل عن طريق إخراج العامل المشترك ﻫ أس سالب ﺱ. وبذلك نحصل على ﻫ أس سالب ﺱ في ستة ﻫ أس سبعة ﺱ ناقص واحد. والآن يوجد ستة ﻫ أس سبعة ﺱ؛ لأننا نعلم أنه عند إعادة توزيع هذه الأقواس نجمع الأسس. وعليه، نحصل على ستة ﻫ أس سبعة ﺱ في ﻫ أس سالب ﺱ يساوي ستة ﻫ أس ستة ﺱ.

والآن، لكي يكون هذا التعبير بأكمله مساويًا لصفر، فلا بد إما أن يكون ﻫ أس سالب ﺱ يساوي صفرًا أو ستة ﻫ أس سبعة ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا. لكن لا يمكن لـ ﻫ أس سالب ﺱ أن يساوي صفرًا. إذن، هذا يعني أن ستة ﻫ أس سبعة ﺱ ناقص واحد لا بد أن يساوي صفرًا. سنحاول إيجاد قيمة ﺱ بإضافة واحد إلى كلا الطرفين. ثم نقسم الطرفين على ستة. وبعد ذلك، في الخطوة التالية، نتذكر أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ أس ﺱ هو ببساطة ﺱ. وعليه، سنأخذ اللوغاريتم الطبيعي لطرفي هذه المعادلة. عندما نفعل ذلك، نجد أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﻫ أس سبعة ﺱ يساوي ببساطة سبعة ﺱ. إذن، سبعة ﺱ يساوي اللوغاريتم الطبيعي لسدس.

لكننا نعلم أيضًا أن اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ مقسومًا على ﺏ يمكن كتابته على الصورة: اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ ناقص اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺏ. وعليه، يجب أن يكون اللوغاريتم الطبيعي لسدس مساويًا للوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اللوغاريتم الطبيعي لستة. لكن اللوغاريتم الطبيعي لواحد يساوي صفرًا. وعليه، تصبح المعادلة: سبعة ﺱ يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لستة. وإذا قسمنا الطرفين على سبعة، نحصل على قيمة ﺱ التي تقع عندها النقطة الحرجة. تقع هذه النقطة عند ﺱ يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة. وبهذا نكون قد توصلنا إلى موضع النقطة الحرجة. مهمتنا التالية هي تحديد ما إذا كانت هذه نقطة قيمة عظمى محلية أم نقطة قيمة صغرى محلية. دعونا نفرغ بعض المساحة.

سبق أن قلنا إن إحدى الطرق التي يمكننا بها اختبار القيم الصغرى المحلية والقيم العظمى المحلية هي إيجاد المشتقة الثانية. حسنًا، إذا اشتققنا ﺩ شرطة ﺱ لنحصل بذلك على ﺩ شرطتين ﺱ، فإننا نحصل على ستة في ستة ﻫ أس ستة ﺱ، وهو ما يساوي ٣٦ﻫ أس ستة ﺱ ناقص سالب ﻫ أس سالب ﺱ، الذي يساوي بالطبع زائد ﻫ أس ﺱ. سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة في هذه المعادلة. وبكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٩٫٠٤١. وهذا بالطبع أكبر من صفر، إذن يكون لدينا قيمة صغرى محلية. نعلم الآن أن لدينا قيمة صغرى محلية عند ﺱ يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة. كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة الدالة عند تلك النقطة.

إذن، سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة في الدالة الأصلية. وهذا يعطينا: ﺩﺱ تساوي ﻫ أس سالب ستة في اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة زائد ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة. لنر إذا ما كان بإمكاننا تبسيط ذلك قليلًا. باستخدام قوانين الأسس، يمكننا كتابة ﻫ أس سالب ستة في اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة على صورة: ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لستة الكل أس سالب ستة أسباع. وبالطبع، فإن ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لستة يساوي ببساطة ستة، في حين أن ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة يساوي ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لستة الكل أس سبع.

وبما أن ﻫ أس اللوغاريتم الطبيعي لستة يساوي ببساطة ستة، إذن نجد أن قيمة الدالة، عند القيمة الصغرى المحلية تساوي ستة أس سالب ستة على سبعة زائد ستة أس سبع. وعليه، فإن الدالة ﺩﺱ تساوي ﻫ أس ستة ﺱ زائد ﻫ أس سالب ﺱ لها قيمة صغرى محلية عند ﺱ يساوي سالب اللوغاريتم الطبيعي لستة على سبعة. وهذه القيمة تساوي ستة أس سالب ستة أسباع زائد ستة أس سبع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.