فيديو: تطبيقات الدوال

نسخة الفيديو النصية

لنستعرض بعض المسائل التطبيقية حول استخدام الدوال. إليك مثالًا.

يريد نادر حساب إجمالي تكلفة حجز عدد من الليالي في فندق معين. إذا كانت تكلفة الليلة الواحدة ‪50‬‏ دولارًا بالإضافة إلى رسوم تسجيل بمبلغ ‪25‬‏ دولارًا، فاكتب دالة تصف إجمالي التكلفة بناء على عدد الليالي. وما التكلفة المبدئية؟

أولًا، نريد التأكد من أننا نعلم المطلوب منا في المسألة. المطلوب هو كتابة دالة. ومطلوب منا أيضًا إيجاد التكلفة المبدئية. للتوصل إلى ما هو مطلوب هنا، دعونا نحدد جميع المعطيات. تكلفة الفندق في الليلة الواحدة هي ‪50‬‏ دولارًا. توجد رسوم تسجيل بمبلغ ‪25‬‏ دولارًا. ونحن نحاول كتابة دالة تصف إجمالي التكلفة بناء على عدد الليالي.

نعلم أن الدالة هي علاقة بين أعداد. فهي علاقة محددة حيث لكل قيمة مدخلة قيمة مخرجة واحدة فقط. في هذه المسألة، علينا إدخال عدد الليالي. ويجب أن تكون القيمة المخرجة هي إجمالي التكلفة. قبل كتابة الدالة، دعونا نجب عن السؤال: ما التكلفة المبدئية؟ التكلفة المبدئية هي ‪25‬‏ دولارًا، وهي رسوم التسجيل لهذا الفندق. ستدفع التكلفة المبدئية أو رسوم التسجيل مرة واحدة، بغض النظر عن عدد الليالي التي ستقيمها. إنها التكلفة المبدئية التي تدفعها للفندق.

دعونا ننشئ جدولًا. مقابل ليلة واحدة، ستدفع ‪50‬‏ دولارًا للغرفة زائد ‪25‬‏ دولارًا لرسوم التسجيل. ومقابل ليلتين، ستدفع ‪100‬‏ دولار للغرفة زائد ‪25‬‏ دولارًا لرسوم التسجيل. نعلم أن عدد الليالي هو قيمة ‪𝑥‬‏ والتكلفة هي قيمة ‪𝑦‬‏. إذن، الدالة هي: ‪𝑦‬‏ يساوي التكلفة لكل ليلة زائد التكلفة المبدئية. وهي، في هذه الحالة، ‪50‬‏ دولارًا في ‪𝑥‬‏ زائد ‪25‬‏. ‏‏‪50‬‏ في ‪𝑥‬‏؛ حيث ‪𝑥‬‏ هو عدد الليالي و‪25‬‏ دولارًا هو رسوم التسجيل. سنفرغ بعض المساحة على الشاشة، ثم نتحقق ونرى: هل أجبنا عن كل ما هو مطلوب في المسألة؟ هل كتبنا دالة؟ نعم. فهذه دالة تصف إجمالي التكلفة بناء على عدد الليالي. وأجبنا عن سؤال التكلفة المبدئية؛ إذ أوضحنا أنها تساوي ‪25‬‏ دولارًا لرسوم التسجيل. إليك مثالًا آخر.

اشترى فنان بعض فرش الطلاء بتكلفة خمسة دولارات للفرشاة الواحدة. كان لديه قسيمة خصم بقيمة دولارين و‪31‬‏ سنتًا على مشترياته. اكتب دالة تمثل سعر الشراء الإجمالي.

لنتأكد من المطلوب منا في المسألة. المطلوب هو كتابة دالة. لنحدد المعطيات لدينا. هذه هي المعطيات. اشترى بعض الفرش، لا نعلم عددها. تكلفة الفرشاة الواحدة خمسة دولارات. كان لديه قسيمة خصم بقيمة دولارين و‪31‬‏ سنتًا. ونريد كتابة الدالة التي تمثل سعر الشراء الإجمالي. إذن، ندخل قيمة لـ ‪𝑥‬‏ ونحصل في المقابل على قيمة لـ ‪𝑦‬‏. هذا هو المتغير الذي يعتمد عليه السعر، إذ يتحدد السعر الإجمالي بناء على عدد الفرش. وسنسميهما ‪𝑥‬‏ و‪‏𝑦‬‏ للقيمتين المدخلة والمخرجة.

داخل المربع الخاص بقاعدة الدالة، ستحدث عملية ما. نعلم أن تكلفة كل قيمة من قيم ‪𝑥‬‏ هي خمسة دولارات. ذلك يعني أنك تدفع خمسة دولارات مقابل كل فرشاة تشتريها. وهذا يمثل بالضرب؛ أي ببساطة خمسة ‪𝑥‬‏. لكن، هل خمسة دولارات في ‪𝑥‬‏ يساوي سعر الشراء الإجمالي. هذا ما كان سيكون عليه الأمر لو لم تكن لديه قسيمة خصم، لكنه لديه قسيمة خصم بالفعل. وهذا يعني أنه مهما كان ما سيشتريه، فسيحصل على خصم بقيمة دولارين و‪31‬‏ سنتًا على سعر الفرش. العملية التي تمثل ذلك هي الطرح. سنخصم دولارين و‪31‬‏ سنتًا. ومن ثم، فهذه هي الدالة: ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة ‪𝑥‬‏ ناقص دولارين و‪31‬‏ سنتًا. يمكننا استخدام هذه الدالة لإيجاد سعر الشراء الإجمالي إذا اشترى الفنان فرشاة واحدة، أو إذا اشترى ‪17‬‏ فرشاة. فمهما كان العدد، فستظل هذه الدالة صحيحة. إليك مثالًا أخيرًا.

أوجد مجال ومدى الدالة التالية: ‪𝑦‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑥‬‏، و‪𝑥‬‏ يساوي سبعة، وثمانية، وتسعة، و‪10‬‏.

لنتوقف قليلًا هنا ونراجع سريعًا معنى المجال والمدى. المجال هو مجموعة كل القيم المدخلة والمدى هو مجموعة كل القيم المخرجة. إذن في هذه الدالة، يكون المجال هو مجموعة القيم المدخلة كلها، والمدى هو مجموعة القيم المخرجة كلها. تذكر أننا نستخدم عادة ‪𝑥‬‏ و‪‏𝑦‬‏ لتمثيل الدالة. ثمة طريقة أخرى لوصف المجال، وهي أنه مجموعة تضم كل قيم ‪𝑥‬‏. وثمة طريقة أخرى لوصف المدى، وهي أنه مجموعة تضم كل قيم ‪𝑦‬‏.

بالرجوع إلى المسألة، يمكننا إنشاء جدول لإيجاد المجال والمدى. قيم ‪𝑥‬‏ معطاة لنا بالفعل، ما يعني أن المجال معطى بالفعل. الآن، علينا استخدام الدالة لحساب المدى. إذن، علينا حل ثلاثة في سبعة، وهو ما يساوي ‪21‬‏. ثلاثة في ثمانية يساوي ‪24‬‏، وثلاثة في تسعة يساوي ‪27‬‏، وثلاثة في عشرة يساوي ‪30‬‏. وهذه القيم تكون المدى. وإذا كتبناها، فستبدو بهذا الشكل. المجال: سبعة، ثمانية، تسعة، ‪10‬‏. والمدى: ‪21‬‏، ‪24‬‏، ‪27‬‏، ‪30‬‏. كانت هذه بعض التطبيقات على الدوال. وستجد الكثير منها كلما بحثت وتدربت.