فيديو السؤال: استخدام قانون الجيب لحساب أطوال مجهولة في مثلث الرياضيات

ﺃﺏﺟ مثلث منفرج الزاوية عند ﺃ؛ حيث ﺏ شرطة = ١٥ سم، ظا ﺟ = ٦‏/‏٥، ق⦣ﺏ = ٢٧°. أوجد طولي أ شرطة، ﺟ شرطة، واكتب الإجابة لأقرب عدد صحيح.

٠٤:٥٦

‏نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث منفرج الزاوية عند ﺃ، حيث ﺏ شرطة يساوي ١٥ سنتيمترًا، وظا ﺟ يساوي ستة على خمسة، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٢٧ درجة. أوجد طولي أ شرطة وﺟ شرطة، واكتب الإجابة لأقرب عدد صحيح.

من المنطقي دائمًا أن نبدأ برسم الشكل. ولا يلزم أن يكون الشكل مطابقًا تمامًا للقياسات. ولكن لا بد أن يكون متناسبًا معها تقريبًا حتى يمكننا التحقق من ملاءمة أي إجابة نحصل عليها. تذكر أن الزاوية ﺃ زاوية منفرجة. لذا يجب أن يكون هذا واضحًا في الشكل. بما أننا نعرف أن ظا ﺟ يساوي ستة على خمسة، فيمكننا حساب قياس الزاوية ﺟ من خلال حل هذه المعادلة.

بما أن الدالة العكسية للظل لـ ظا ﺟ هي ﺟ، يمكننا إيجاد الدالة العكسية للظل لكلا الطرفين. ‏ﺟ يساوي الدالة العكسية للظل لستة على خمسة. وعليه، قياس الزاوية ﺟ يساوي ٥٠٫١٩٤ وهكذا مع توالي الأرقام. وحيثما أمكن، علينا أن نحاول استخدام هذه القيمة الدقيقة لقياس الزاوية ﺟ تجنبًا للوقوع في أي أخطاء قد تنتج بسبب التقريب المبكر.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺃ. مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث هو ١٨٠ درجة. إذن يمكننا طرح الزاويتين اللتين نعرفهما من ١٨٠. ‏١٨٠ ناقص ٢٧ زائد ٥٠٫١٩٤، وهو قياس الزاوية ﺟ، يساوي ١٠٢٫٨٠٥ وهكذا مع توالي الأرقام. وهي زاوية منفرجة مثلما يقول السؤال.

إذن، لدينا مثلث غير قائم الزاوية، ونعرف طول أحد أضلاعه، وقياسات زواياه الثلاث. هذا يعني أنه يمكننا استخدام قانون الجيب لإيجاد القياسات المجهولة. لا نستخدم قانون جيب التمام لأنه يتطلب معرفة طولي ضلعين على الأقل.

صيغة قانون الجيب هي أ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. يمكن كتابة هذا بطريقة أخرى، وهي جا ﺃ على أ شرطة يساوي جا ﺏ على ﺏ شرطة يساوي جا ﺟ على ﺟ شرطة. بما أننا نحاول إيجاد قياسات أطوال أضلاع هذا المثلث، فسنستخدم الصيغة الأولى.

لا يهم أي صيغة سنستخدمها، حيث إننا سنحصل على النتيجة الصحيحة باستخدام أي صيغة منهما. لكن باختيار الصيغة الأولى عندما نحاول معرفة أطوال أضلاع المثلث، سنقلل من عمليات إعادة الترتيب التي نحتاج للقيام بها. دعونا نرمز إلى أضلاع المثلث في الشكل.

نرمز إلى طول الضلع المقابل للزاوية أ شرطة، وطول الضلع المقابل للزاوية ﺏ شرطة، وطول الضلع المقابل للزاوية ﺟ شرطة. إذا اخترنا حساب طول الضلع أ شرطة أولًا، نحتاج إلى استخدام جزأين من الصيغة فقط وهما أ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ. في هذه المرحلة، لا تعنينا الزاوية ﺟ أو طول الضلع ﺟ شرطة.

بالتعويض بالقيم ذات الصلة من المثلث في هذه الصيغة، نحصل على أ شرطة على جا ١٠٢٫٨ يساوي ١٥ على جا ٢٧. مرة أخرى، سنستخدم القيمة الدقيقة قدر الإمكان لقياس الزاوية ﺃ. لحل هذه المعادلة، يمكننا ضرب كلا الطرفين في جا ١٠٢٫٨. هذا يعطينا أ شرطة يساوي ١٥ على جا ٢٧ في جا ١٠٢٫٨. وبحساب هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على ٣٢٫٢١٨٥. وبالتقريب لأقرب عدد صحيح، نجد أن أ شرطة يساوي ٣٢ سنتيمترًا.

يمكننا اتباع الطريقة نفسها لحساب طول الضلع ﺟ شرطة. بما أننا لم نعد مهتمين بقياس الزاوية ﺃ أو طول الضلع أ شرطة، فإننا نستخدم ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة لدينا، نحصل على ١٥ على جا ٢٧ يساوي ﺟ شرطة على جا ٥٠٫١٩٤.

مرة أخرى، سنستخدم القيمة الدقيقة لقياس الزاوية ﺟ. يمكننا حل هذه المعادلة بضرب الطرفين في جا ٥٠٫١٩٤. إذن ﺟ شرطة يساوي ١٥ على جا ٢٧ في جا ٥٠٫١٩٤، وعندما نحسب ذلك على الآلة الحاسبة، نحصل على ٢٥٫٣٨٢.

وبالتقريب لأقرب عدد صحيح، نجد أن ﺟ شرطة يساوي ٢٥ سنتيمترًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.