فيديو السؤال: استخدام قانون الجيب لحساب أطوال مجهولة في مثلث الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏﺟ مثلث منفرج الزاوية عند ﺃ؛ حيث ﺏ شرطة يساوي ١٥ سنتيمترًا، وظا ﺟ يساوي ستة على خمسة، وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٢٧ درجة. أوجد الطولين ﺃ شرطة وﺟ شرطة، واكتب الإجابة لأقرب عدد صحيح.

من الجيد دائمًا أن نبدأ برسم شكل توضيحي. لا يشترط أن يكون هذا الرسم بقياسات رسم دقيقة، ولكن ينبغي أن تكون قياساته متناسبة. ومن ثم، يمكننا التحقق من ملاءمة أي إجابات نحصل عليها. سنسمي المثلث بحيث تكون الزاوية المنفرجة هي الزاوية ﺃ. بعد ذلك سنضيف المعطيات الأخرى التي نعرفها. بما أننا نعلم أن ظا ﺟ يساوي ستة أخماس، إذن يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قياس الزاوية ﺟ. الدالة العكسية لـ ظا لـ ظا ﺟ تساوي ﺟ. والدالة العكسية لـ ظا لستة أخماس تساوي ٥٠٫١٩٤ درجة مع توالي الأرقام. وبما أننا نعلم أننا سنقوم بالتقريب في خطوة لاحقة، فمن الأفضل عدم التقريب في هذه المرحلة. إن ذلك يجنبنا حدوث الأخطاء الناتجة عن التقريب في الخطوات الأولى للحل.

بعد ذلك، يمكننا إيجاد قياس الزاوية ﺃ. نحن نعلم أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم، فإن قياس الزاوية ﺃ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ٢٧ درجة زائد ٥٠٫١٩٤ درجة مع توالي الأرقام. بحساب ذلك، نحصل على ١٠٢٫٨٠٥ درجة مع توالي الأرقام. هذه الزاوية زاوية منفرجة؛ فهي أكبر من ٩٠ درجة. لدينا الآن مثلث ليس قائم الزاوية. ونحن نعرف طول ضلع واحد فيه ونعرف قياس جميع زواياه. وهذا يعني أنه يمكننا استخدام قانون الجيوب لإيجاد أي قياس مجهول. لن نستخدم قانون جيوب التمام هنا؛ لأن ذلك يتطلب معرفة طولي ضلعين على الأقل.

صيغة قانون الجيوب هي ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ. وبدلًا من ذلك، يمكن كتابة هذه الصيغة على الصورة جا ﺃ على ﺃ شرطة يساوي جا ﺏ على ﺏ شرطة يساوي جا ﺟ على ﺟ شرطة. وبما أننا نحاول إيجاد طول ضلع، فسنستخدم الصيغة الأولى. يمكن استخدام كلتا الصيغتين، ولكن باستخدام الصيغة الأولى، سنقلل عدد مرات إعادة الترتيب التي سنحتاج إلى إجرائها لحل المسألة. قبل متابعة الحل، دعونا نسم أضلاع المثلث. سنسمي الضلع المقابل للزاوية ﺃ بـ ﺃ شرطة. وسنسمي الضلع المقابل للزاوية ﺏ بـ ﺏ شرطة. وسنسمي الضلع المقابل للزاوية ﺟ بـ ﺟ شرطة.

دعونا نحسب أولًا طول الضلع ﺃ شرطة. وهذا يعني أننا سنستخدم ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ. إننا نستخدم ﺏ شرطة على جا ﺏ؛ لأننا نعرف قيمة ﺏ شرطة وقياس الزاوية ﺏ. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ﺃ شرطة على جا ١٠٢٫٨٠٥ درجة مع توالي الأرقام يساوي ١٥ على جا ٢٧ درجة. مرة أخرى، سنستخدم القيمة الدقيقة لقياس الزاوية ﺃ. لحل لذلك، سنضرب كلا طرفي المعادلة في جا ١٠٢٫٨ درجة مع توالي الأرقام. ومن ثم، نجد أن ﺃ شرطة يساوي ١٥ على جا ٢٧ درجة في جا ١٠٢٫٨ درجة مع توالي الأرقام. وبكتابة ذلك على الآلة الحاسبة، نجد أن ﺃ شرطة يساوي ٣٢٫٢١٨٥ وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب هذه القيمة لأقرب عدد صحيح نجد أنها تساوي ٣٢ سنتيمترًا.

سنتبع العملية نفسها لإيجاد طول الضلع ﺟ شرطة. سنستخدم ﺟ شرطة على جا ﺟ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ﺟ شرطة على جا ٥٠٫١٩٤ درجة مع توالي الأرقام يساوي ١٥ على جا ٢٧ درجة. بعد ذلك، سنضرب كلا الطرفين في جا ٥٠٫١٩٤ درجة مع توالي الأرقام. ومن ثم، نجد أن ﺟ شرطة يساوي ١٥ على جا ٢٧ درجة في جا ٥٠٫١٩٤ درجة مع توالي الأرقام، وهو ما يساوي ٢٥٫٣٨٢ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب لأقرب عدد صحيح، نجد أن طول الضلع ﺟ شرطة يساوي ٢٥ سنتيمترًا.