فيديو السؤال: إيجاد تعبير دالة بمعلومية مشتقتها الثانية باستخدام التكامل الرياضيات

إذا كان ﺩ″(ﺱ) = ٣ﺱ^٥ + ٣ﺱ^٣ + ٥ﺱ + ٢، فأوجد ﺩ(ﺱ).

٠٤:٤٥

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان ﺩ شرطتان لـ ﺱ تساوي ثلاثة ﺱ أس خمسة زائد ثلاثة ﺱ تكعيب زائد خمسة ﺱ زائد اثنين، فأوجد ﺩﺱ. نحن نعرف كيف نوجد مشتقة الدوال المختلفة. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا دالة كثيرة الحدود ﺭﺱ تساوي اثنين ﺱ تكعيب زائد ثلاثة ﺱ تربيع زائد خمسة ﺱ ناقص واحد، فيمكننا اشتقاق كل حد تلو الآخر باستخدام قاعدة القوة التي تخبرنا بأن نضرب المعامل في الأس ثم نقلل الأس بمقدار واحد. ونعرف أيضًا أن اشتقاق الثوابت يعطينا صفرًا.

إذن إذا طبقنا هذا على كل حد، فسنجد أن ﺭ شرطة ﺱ تساوي ستة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد خمسة. يمكننا اشتقاق ذلك مرة أخرى لإيجاد ﺭ شرطتين ﺱ. وهو ما يعطينا ١٢ﺱ زائد ستة. لكن في هذه المسألة، نريد إيجاد المشتقة العكسية. لدينا ﺩ شرطتان ﺱ، ومطلوب منا إيجاد قيمة ﺩﺱ. إذن علينا الحل بطريقة عكسية. لكن كيف نفعل ذلك؟ حسنًا، إذا عرفنا كيف نقوم بالاشتقاق، فبالتأكيد يمكننا القيام بالعملية العكسية، وهي التكامل. وعليه سننظر إلى قواعد الاشتقاق ونستخدمها بطريقة عكسية.

عكس خطوة تقليل الأس بمقدار واحد هو إضافة واحد إلى الأس. وعكس خطوة ضرب المعامل في الأس هو القسمة على الأس. لاحظ أننا هنا ضربنا في الأس القديم. إذن، سنقوم بعكس هذه الخطوة ونقسم على الأس الجديد. وبما أن اشتقاق الثوابت يعطينا صفرًا، فعلينا إضافة ثابت تكامل. الآن، دعونا نوجد المشتقة العكسية لـ ﺩ شرطتين ﺱ. وكما نشتق كل حد على حدة، فسنحسب تكامل كل حد على حدة. لنبدأ بثلاثة ﺱ أس خمسة. ونزيد الأس بمقدار واحد لنحصل على ثلاثة ﺱ أس ستة. ثم نقسم على الأس الجديد، ستة.

يمكننا تبسيط هذا الحد؛ لأن ثلاثة على ستة يساوي واحدًا على اثنين. سنتبع القواعد نفسها مع الحد التالي. نضيف واحدًا إلى الأس لنحصل على ثلاثة ﺱ أس أربعة ونقسم على الأس الجديد، أربعة. وبالمثل، نزيد الأس في الحد خمسة ﺱ لنحصل على خمسة ﺱ تربيع ونقسم على الأس الجديد. والآن نكامل الثابت اثنين. تذكر أنه، في المثال الأول، اشتقاق خمسة ﺱ أعطانا خمسة. إذن، تكامل خمسة يعطينا خمسة ﺱ. وبالمثل، تكامل اثنين يعطينا اثنين ﺱ. لم ننته بعد من هذه الخطوة؛ لأن علينا إضافة ثابت تكامل، ﺙ. وهكذا، حصلنا على ﺩ شرطة ﺱ، لكننا لم ننته بعد لأننا نريد إيجاد ﺩﺱ. ومن ثم علينا إجراء التكامل مرة أخرى.

باتباع الطريقة نفسها التي اتبعناها، نجد أن تكامل ﺱ أس ستة على اثنين يعطينا ﺱ أس سبعة على اثنين مقسومًا على سبعة. يمكننا كتابة ذلك على صورة ﺱ أس سبعة على اثنين مضروبًا في واحد على سبعة، وهو ما يساوي ﺱ أس سبعة على ١٤. والآن ننتقل إلى الحد التالي. بإضافة واحد إلى الأس والقسمة على الأس الجديد، نحصل على ثلاثة ﺱ أس خمسة على أربعة الكل مقسوم على خمسة، وهو ما يمكن إعادة كتابته على صورة ثلاثة ﺱ أس خمسة على ٢٠.

بعد ذلك، نوجد تكامل خمسة ﺱ تربيع على اثنين، ثم نبسطه إلى خمسة ﺱ تكعيب على ستة. وتكامل اثنين يعطينا اثنين ﺱ تربيع على اثنين. ونحذف العددين اثنين لنحصل على ﺱ تربيع. والآن علينا أيضًا إيجاد تكامل الثابت ﺙ. وكما أن تكامل اثنين هو اثنان ﺱ، فإن تكامل ﺙ هو ﺙﺱ. وأخيرًا، نضيف ثابت التكامل، وسنسميه ﻙ هذه المرة. وبذلك، نحصل على الإجابة النهائية. ‏ﺩﺱ تساوي ﺱ أس سبعة على ١٤ زائد ثلاثة ﺱ أس خمسة على ٢٠ زائد خمسة ﺱ تكعيب على ستة زائد ﺱ تربيع زائد ﺙﺱ زائد ﻙ.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.