فيديو الدرس: إثبات دائرية الأشكال الرباعية الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نثبت أن شكلًا رباعيًّا دائري باستخدام الزوايا التي يصنعها قطراه.

١٨:٢٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نثبت أن شكلًا رباعيًّا دائري باستخدام الزوايا التي يصنعها قطراه. لنبدأ بتعريف الشكل الرباعي الدائري. الشكل الرباعي الدائري هو مضلع رباعي الأضلاع تقع رءوسه على محيط دائرة. فهذا مثلًا شكل رباعي دائري. والزاوية المحيطية هي الزاوية التي تنشأ عند تقاطع وترين على محيط الدائرة. ويقع رأس هذه الزاوية على محيط الدائرة.

قبل تناول خواص الشكل الرباعي الدائري، هيا نتذكر نظريتين في غاية الأهمية عن الزوايا المحيطية. قياس الزاوية 𝜃 الواقعة على محيط دائرة يساوي نصف قياس الزاوية المركزية اثنين 𝜃 المقابلة للقوس نفسه في الدائرة. بعبارة أخرى، قياس الزاوية عند المحيط يساوي نصف قياس الزاوية عند المركز. وهذا يقودنا بعد ذلك إلى نظرية أخرى للزوايا المحيطية، وهي تنص على أن قياسات الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية. لنر إذن كيف نستفيد من هاتين النظريتين عند تناول إثبات الأشكال الرباعية الدائرية.

لنضرب مثالًا بهذا الشكل الرباعي الدائري ﺃﺏﺟﺩ. ونرسم القطعتين المستقيمتين اللتين تمثلان قطريه. باستخدام القوس ﺩﺟ، وبمعلومية أن قياسات الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺩﺃﺟ يساوي قياس الزاوية ﺩﺏﺟ. ومن ثم يمكننا استخدام الخاصية نفسها مع هذا القوس ﺃﺏ لتوضيح أن قياس الزاوية ﺃﺩﺏ لا بد أن يساوي قياس الزاوية ﺃﺟﺏ.

بعد ذلك يمكننا ملاحظة أنه في أي شكل رباعي دائري، يكون قياس الزاوية الناتجة عن قطر وضلع مساويًا لقياس الزاوية الناتجة عن القطر الآخر والضلع المقابل. وفي هذا المثال، رأينا زوجين من الزوايا المتطابقة. لكن يمكننا أيضًا استخدام القوس ﺏﺟ لتوضيح أن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي قياس الزاوية ﺏﺩﺟ. كما أنه باستخدام القوس ﺃﺩ، سنجد أن قياس الزاوية ﺃﺏﺩ يساوي قياس الزاوية ﺃﺟﺩ.

عندما يتعلق الأمر بإثبات إذا كان الشكل الرباعي دائريًّا، فإننا سوف نحتاج إلى معرفة إذا كان عكس هذه النظرية صحيحًا. هيا نتحقق من قدرتنا على إثبات أنه إذا كانت الزوايا الناتجة عن القطرين متساوية، إذن يعني هذا أن الشكل الرباعي دائري. لنتناول شكلًا رباعيًّا مختلفًا، ﺃﺏﺟﺩ، مع رسم قطريه. فإذا استطعنا إثبات أن قياس الزاوية ﺩﺃﺟ يساوي قياس الزاوية ﺩﺏﺟ، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا. وهذا لأن ﺩﺟ لا بد أن يكون قوسًا في دائرة. ومن ثم، لا بد أن يكون ﺃ وﺏ نقطتين تقعان على محيط الدائرة نفسها. ومن ثم، يجب أن تكون كل الرءوس على محيط الدائرة. وهذا هو الشكل الرباعي الدائري حسب تعريفه.

وبالطبع، ليس من الضروري أن تكون الزاويتان اللتان أثبتنا أنهما متطابقتان دائمًا في الأعلى كما يوضح هذا المثال. على سبيل المثال، إذا استطعنا إثبات أن قياس الزاوية ﺃﺩﺏ يساوي قياس الزاوية ﺃﺟﺏ، فإن هذا سيثبت أيضًا أن الشكل الرباعي دائري. ومع ذلك، فإننا نحتاج إلى زاويتين متطابقتين فقط لإثبات أن الشكل الرباعي دائري. وربما تساءلت أيضًا: هل كل شكل رباعي دائري؟ لنلق نظرة على مثال مختلف.

لدينا الشكل الرباعي ﻫﻭﺯﺡ. يمكننا أن نلاحظ بمجرد النظر أن قياس الزاوية ﺯﻫﺡ لا يساوي قياس الزاوية ﺡﻭﺯ. وأننا لن نتمكن من رسم دائرة تمر بهذه الرءوس الأربعة. ومن ثم، فإن الشكل ﻫﻭﺯﺡ ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

والآن نتناول بعض الأمثلة التي نثبت فيها إذا كان الشكل الرباعي دائريًّا أو لا.

هل يمكن أن تمر دائرة برءوس الرباعي ﺃﺏﺟﺩ؟

إذا كانت هناك دائرة تمر برءوس هذا الشكل الرباعي، فسوف يكون شكلًا رباعيًّا دائريًّا. هناك عدد من الخواص المختلفة للزوايا يمكننا الاستعانة بها لتحديد إذا كان هذا الشكل الرباعي دائريًّا. لكن بما أن القطرين محددان على الرسم، هيا نتحقق من قياسات الزوايا التي يصنعانها. وعندئذ يمكننا أن نطرح السؤال: هل هناك زاوية يصنعها قطر وضلع يساوي قياسها قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل؟

حتى الآن، نجد أنه لا توجد أي زاويتين متطابقتين في الشكل. ومع ذلك، يمكننا ملاحظة أن هذه الزاوية ﺟﺃﺏ يصنعها ضلع وقطر. وأن الزاوية ﺟﺩﺏ يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. هيا نر إذا كانت تلك الزاوية مطابقة للزاوية ﺟﺃﺏ. لنتأمل المثلث ﺟﺏﺩ ونتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. وعليه، يمكننا القول إن مجموع قياسات الزوايا الثلاث في هذا المثلث، ٥٤ درجة زائد ٧٩ درجة زائد قياس الزاوية ﺟﺩﺏ، لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. ويمكننا تبسيط الطرف الأيمن ثم طرح ١٣٣ درجة من كلا الطرفين، وذلك يعطينا قياس الزاوية ﺟﺩﺏ، وهو ما يساوي ٤٧ درجة.

وهذا يعني أن لدينا الآن زاويتين متطابقتين. فقياس الزاوية ﺟﺩﺏ يساوي قياس الزاوية ﺟﺃﺏ. ومن ثم، يمكننا القول إن قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. وعليه، يمكننا الإجابة عن السؤال بـ «نعم». وبما أننا قد أثبتنا أن هذا الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ دائري، يمكننا رسم دائرة تمر بكل رءوسه الأربعة.

ولنضرب مثالًا آخر.

هل الشكل ﺃﺏﺟﺩ رباعي دائري؟

يمكننا أن نلاحظ في هذا الشكل أن القطرين محددان على الرسم، وهما ﺃﺟ وﺏﺩ. وإذا استطعنا إثبات أن قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا. أما إذا كانت الزاويتان غير متساويتين، فإن الشكل الرباعي لا يكون دائريًّا. الزاوية ﺏﺩﺃ هي زاوية يصنعها قطر وضلع. والزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل هي الزاوية ﺏﺟﺃ. وإذا كانت هاتان الزاويتان متطابقتين، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا.

وهناك زاويتان أخريان يمكننا التحقق منهما، هما الزاوية ﺩﺃﺟ والزاوية ﺩﺏﺟ. وإذا تأكدنا أن زوجًا واحدًا فقط من هذه الزوايا متطابق في القياس، فسوف يكفي ذلك لإثبات أن الشكل الرباعي دائري. إذن، هيا نر إذا كنا نستطيع إيجاد قياس الزاوية ﺏﺟﺃ.

نعرف أن قياس الزاوية ﺏﻫﺃ يساوي ٩٠ درجة. ويمكننا أن نتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الواقعة على خط مستقيم يساوي ١٨٠ درجة. وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺏﻫﺟ لا بد أن يساوي ٩٠ درجة أيضًا. يمكننا الآن أن ننظر في المثلث ﺏﻫﺟ ونتذكر أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠ درجة. إذن يمكننا كتابة ٦٣ درجة زائد ٩٠ درجة زائد قياس الزاوية ﺏﺟﻫ يساوي ١٨٠ درجة. ومن ثم، فإن قياس الزاوية ﺏﺟﻫ يساوي ١٨٠ درجة ناقص ١٥٣ درجة، وهو ما يساوي ٢٧ درجة. وعليه، فإن هاتين الزاويتين اللتين يصنعهما القطران غير متساويتين. وهذا يعني أن الشكل الرباعي ﺃﺏﺟﺩ ليس دائريًّا. ومن ثم، يمكننا الإجابة بـ «لا».

في بداية هذا السؤال، قلنا أيضًا إننا نستطيع التحقق من قياس الزاويتين ﺟﺏﺩ وﺟﺃﺩ. باعتبار أن قياس الزاوية ﺃﻫﺩ يساوي ٩٠ درجة أيضًا، يمكننا إيجاد أن قياس الزاوية ﺟﺃﺩ يساوي ٥٢ درجة. ولكن ٦٣ درجة بالطبع لا يساوي ٥٢ درجة، وهذا يوضح مرة أخرى أن ﺃﺏﺟﺩ ليس شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

وفي السؤال التالي، سنتحقق من أن شبه المنحرف الوارد في السؤال شكل رباعي دائري.

هل شبه المنحرف ﺃﺏﺟﺩ رباعي دائري؟

بما أن لدينا شبه منحرف، فينبغي أن يكون لدينا ضلعان متوازيان. وهما محددان هنا. ﺏﺟ وﺃﺩ متوازيان. وبما أن لدينا القاطع ﺏﺩ، يمكننا استنتاج أن الزاوية ﺟﺏﺩ متبادلة مع الزاوية ﺃﺩﺏ. وقياسها أيضًا ٨٤ درجة. يمكننا إذن تسمية نقطة تقاطع القطرين بالنقطة ﻫ. ثم يمكننا معاينة المثلث ﺏﻫﺟ عن قرب.

بوسعنا إيجاد قياس هذه الزاوية المجهولة ﺏﺟﻫ بتذكر أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. من ثم، فإن ٨٤ درجة زائد ٥٢ درجة زائد قياس الزاوية ﺏﺟﻫ يساوي ١٨٠ درجة. ‏٨٤ درجة زائد ٥٢ درجة يعطينا ١٣٦ درجة. وبطرح ١٣٦ درجة من كلا الطرفين، نحصل على قياس الزاوية ﺏﺟﻫ، وهو ما يساوي ٤٤ درجة. إذن كيف سيساعدنا ذلك في معرفة إذا كان ﺃﺏﺟﺩ دائريًّا أو لا؟

نتذكر أننا نعرف من رأس السؤال قياس زاوية أخرى يصنعها قطر وضلع، وهي الزاوية ﺃﺩﺏ. وقد حسبنا لتونا الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. فإذا كان هاتان الزاويتان متطابقتين، فإن الشكل الرباعي يكون دائريًّا. لكن بالطبع ٨٤ درجة لا تساوي ٤٤ درجة. إذن الزاويتان غير متطابقتين. ومن ثم، فإن الشكل ﺃﺏﺟﺩ ليس دائريًّا. إذن يمكننا الإجابة عن السؤال بـ «لا».

حتى الآن، رأينا أمثلة محددة على الأشكال الرباعية المختلفة. لكن في المثالين التاليين، سنتناول عبارات عامة عن مجموعات من الأشكال الرباعية، ونبدأ بتحديد إذا كانت جميع المستطيلات أشكالًا رباعية دائرية أو لا.

صواب أم خطأ: جميع المستطيلات تكون أشكالًا رباعية دائرية. (أ) صواب أم (ب) خطأ.

يمكننا البدء بتذكر أن الشكل الرباعي الدائري هو شكل رباعي تقع رءوسه الأربعة على محيط دائرة. وإحدى طرق إثبات أن الشكل الرباعي دائري هي إثبات أن قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. لنتأمل إذن خواص المستطيل، الذي يعرف بأنه شكل رباعي قياس كل من زواياه الأربع يساوي ٩٠ درجة. وفي المستطيل كذلك، كل ضلعين متقابلين متطابقان.

ونعرف أن كلًّا من قطري المستطيل يقسمانه إلى مثلثين متطابقين. ومن ثم يكون القطران معًا أربعة مثلثات متطابقة. وهذا يعني أن أي مثلث يصنعه ضلعان وقطر يطابق أي مثلث آخر يصنعه أيضًا ضلعان وقطر. إذن، في هذا المستطيل، الذي يمكننا تسميته ﻯﻙﻝﻡ، يمكننا القول إن المثلث ﻯﻙﻝ مطابق للمثلث ﻝﻡﻯ. وكذلك يمكننا القول إن هذا المثلث ﻝﻡﻯ نفسه مطابق للمثلث ﻡﻝﻙ.

وفي المثلثين الأخيرين المتطابقين، يمكننا أيضًا القول إن هناك زاويتين متناظرتين متطابقتين، إن قياس الزاوية ﻡﻯﻝ يساوي قياس الزاوية ﻝﻙﻡ. وهذا يعني أن قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. ومن ثم فإن هذا المستطيل، وأي مستطيل في الواقع، لا بد أن يكون شكلًا رباعيًّا دائريًّا.

وكطريقة بديلة للحل، يمكننا أيضًا ملاحظة أن قطري المستطيل متساويان في الطول وأنهما ينصف كل منهما الآخر. وهذا يعني أن هناك أربع قطع مستقيمة متساوية الطول تمتد من نقطة التقاطع. ويمكن أن نعتبرها أنصاف أقطار ممتدة من مركز دائرة. وكلتا الطريقتين تسمحان لنا بالإجابة بصواب، لأن كل المستطيلات أشكال رباعية دائرية.

في هذا المثال، أثبتنا أن جميع المستطيلات أشكال رباعية دائرية. ولكن، من المهم ملاحظة أن المربعات، التي تعرف بأنها أشكال رباعية متساوية الأضلاع، وقياس كل من زواياها الداخلية يساوي ٩٠ درجة، هي مجموعة جزئية من المستطيلات. ومن ثم، فإن جميع المربعات أيضًا أشكال رباعية دائرية.

الآن سنتناول نوعًا مختلفًا من الأشكال الرباعية.

صواب أم خطأ: جميع أشكال شبه المنحرف المتساوي الساقين تكون أشكالًا رباعية دائرية. (أ) صواب أم (ب) خطأ.

لنبدأ بتذكر أن شبه المنحرف هو شكل رباعي به ضلعان متوازيان. وشبه المنحرف المتساوي الساقين هو نوع خاص من شبه المنحرف له خاصية إضافية: الضلعان غير المتوازيين، اللذان يسميان أحيانًا الساقين، متساويان في الطول. لنرسم شبه منحرف متساوي الساقين. إنه يحتوي على ضلعين متوازيين، والضلعان غير المتوازيين الآخران متساويان في الطول. يمكننا بعد ذلك استخدام إحدى خواص قطري شبه المنحرف المتساوي الساقين. يشكل قطرا شبه المنحرف المتساوي الساقين مثلثين متطابقين عند الساقين. ويشكلان أيضًا مثلثين متشابهين عند القاعدتين.

لكن علينا الانتباه إلى أن هذه القاعدة لا تنطبق إلا على شبه المنحرف المتساوي الساقين. فلننظر، على سبيل المثال، إلى شبه المنحرف غير المتساوي الساقين الموضح أمامنا. وسوف نلاحظ أن القطرين به لا يشكلان مثلثين متطابقين عند الساقين. ولنعد إلى شبه المنحرف المتساوي الساقين وننظر في الزوايا. يمكننا تسمية تقاطع القطرين بالنقطة ﻫ. وبما أن لدينا مثلثين متطابقين، يمكننا تحديد الزوايا المتناظرة. قياس الزاوية ﺩﺃﻫ لا بد أن يكون مساويًا لقياس الزاوية ﺟﺏﻫ. علاوة على ذلك، فإن قياس الزاوية ﺃﺩﻫ يساوي قياس الزاوية ﺏﺟﻫ. ويمكن أن يثبت أي زوج من زوجي هذه الزوايا المتطابقة أن قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. وهذا يعني أن شبه المنحرف المتساوي الساقين ﺃﺏﺟﺩ، وأي شبه منحرف متساوي الساقين، هو شكل رباعي دائري.

إذن، على الرغم من أن أشكال شبه المنحرف ليست جميعها أشكالًا رباعية دائرية، فإن جميع أشكال شبه المنحرف المتساوي الساقين أشكال رباعية دائرية. ولذا، يمكننا الإجابة بصواب. ويمكننا تلخيص المثالين السابقين بالقول إنه مع وجود بعض الأشكال الرباعية التي يمكن إثبات أنها أشكال رباعية دائرية، فإن هناك ثلاثة أنواع منها تكون دائرية دائمًا. وهي المربع والمستطيل وشبه المنحرف المتساوي الساقين.

والآن، هيا نلخص النقاط الرئيسية الواردة بهذا الفيديو. بدأنا بملاحظة أن الشكل الرباعي الدائري هو مضلع رباعي الأضلاع تقع رءوسه على محيط دائرة. في الشكل الرباعي الدائري، يكون قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع مساويًا لقياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. وعكس هذه العبارة صحيح أيضًا. وعليه فإحدى طرق إثبات أن الشكل الرباعي دائري هي إثبات أن قياس الزاوية التي يصنعها قطر وضلع يساوي قياس الزاوية التي يصنعها القطر الآخر والضلع المقابل. وأخيرًا، رأينا أيضًا أن جميع المربعات والمستطيلات وأشباه المنحرف المتساوية الساقين أشكال رباعية دائرية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.