فيديو السؤال: إيجاد طول قاطع دائرة والمسافة التي يبعدها عن المركز بمعلومية طولي مماسين للدائرة باستخدام التشابه في الدائرة الرياضيات

دائرة مركزها النقطة ﻡ ونصف قطرها ١٣ سم. يمر مستقيم بالنقاط ﺏ، وﺟ، وﺩ؛ حيث ﺟ، وﺩ تقعان على الدائرة، وتقع النقطة ﺏ على بعد ٢٥ سم من النقطة ﻡ، وﺟﺏ = ﺟﺩ. احسب طول ﺟﺩ والمسافة العمودية ﺱ بين المستقيم والنقطة ﻡ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٨:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

دائرة مركزها النقطة ﻡ ونصف قطرها ١٣ سنتيمترًا. يمر مستقيم بالنقاط ﺏ، وﺟ، وﺩ؛ حيث ﺟ، وﺩ تقعان على الدائرة، وتقع النقطة ﺏ على بعد ٢٥ سنتيمترًا من النقطة ﻡ، وﺟﺏ يساوي ﺟﺩ. احسب طول ﺟﺩ والمسافة العمودية ﺱ بين المستقيم والنقطة ﻡ. قرب إجابتك لأقرب منزلتين عشريتين.

دعونا نبدأ برسم صورة. لدينا دائرة مركزها النقطة ﻡ. ثم لدينا ثلاث نقاط ﺏ وﺟ وﺩ. يمر خط مستقيم بهذه النقاط الثلاث. لكن النقطتين ﺟ وﺩ فقط تقعان على الدائرة. إذا كان لدينا خط مستقيم يبدو بهذا الشكل، فإننا نعلم أن النقطتين ﺟ وﺩ تقعان على الدائرة. ونحن نعلم أن المسافة من ﺟ إلى ﺩ تساوي المسافة من ﺏ إلى ﺟ. دعونا الآن نرمز إلى المسافة من ﺟ إلى ﺏ، والمسافة من ﺟ إلى ﺩ بـ ﻫ. نعرف أن هناك قطعة مستقيمة من ﺏ إلى ﻡ. وهذه المسافة تساوي ٢٥ سنتيمترًا. نريد إيجاد المسافة العمودية بين القطعة المستقيمة ﺟﺩ والنقطة ﻡ. ونعلم من المعطيات أن تلك المسافة هي ﺱ.

لدينا الآن ﻫ يساوي ﺟﺩ، وهو ما يساوي ﺟﺏ، وﺱ هي المسافة العمودية من ﻡ إلى ﺟﺩ. سنحاول إيجاد كلتا هاتين القيمتين. ولكي نفعل ذلك، دعونا نتذكر أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي ١٣ سنتيمترًا. هذا يعني أن المسافة من ﺟ إلى ﻡ تساوي المسافة من ﺩ إلى ﻡ. كلتا هاتين القيمتين تساوي ١٣ سنتيمترًا. وهذا يعني أنه يمكننا استنتاج أن المثلث ﺟﻡﺩ مثلث متساوي الساقين.

سنسمي نقطة التقاطع العمودي بين الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة ﻡ والمستقيم ﺟﺩ بالنقطة ﺃ. وعندما نفعل ذلك، يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﻡﺃ تنصف القطعة المستقيمة ﺟﺩ؛ لأن ارتفاع المثلث المتساوي الساقين ينصف القاعدة. لقد رمزنا إلى المسافة ﺟﺩ بالرمز ﻫ. إذا كانت لدينا نقطة ما تنصف تلك المسافة، فيمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﺟﺃ تساوي القطعة المستقيمة ﺩﺃ. وسنسمي ذلك ﻫ على اثنين.

والآن، علينا التفكير في بعض قيم المثلث القائم الزاوية. لدينا المثلث القائم الزاوية الأكبر ﺏﺃﻡ. طول أطول ضلع في هذا المثلث؛ أي وتره، يساوي ٢٥ سنتيمترًا. وبه ضلع طوله ﺱ. ثم يتكون الضلع الأخير من ﻫ زائد ﻫ على اثنين، وهو ما يجعل طول الضلع الثالث يساوي ثلاثة ﻫ على اثنين. لدينا أيضًا مثلث قائم الزاوية أصغر، وهو المثلث ﺟﺃﻡ. طول وتر هذا المثلث يمثل أحد أنصاف أقطار الدائرة وهو ﺟﻡ، ويساوي ١٣ سنتيمترًا. ويتشارك المثلث مع المثلث الأكبر في الضلع ﺃﻡ، والذي طوله ﺱ. وطول ضلعه الأخير يساوي ﻫ على اثنين.

والآن، نريد التوصل إلى بعض المعادلات التي تساعدنا على الحل لإيجاد قيمتي ﺱ وﻫ. للقيام بذلك، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس، التي تنص على أن ﺟ تربيع يساوي ﻫ تربيع زائد ﺏ تربيع؛ حيث ﺟ هو الوتر، وﺃ وﺏ هما الضلعان الآخران في المثلث القائم الزاوية. بالتعويض بما نعرفه عن المثلث ﺏﺃﻡ، نحصل على ٢٥ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ثلاثة ﻫ على اثنين تربيع. في المثلث ﺟﺃﻡ، يصبح لدينا ١٣ تربيع يساوي ﺱ تربيع زائد ﻫ على اثنين تربيع.

إذا قمنا بتربيع جميع الحدود التي نعرفها، فسنجد أن كلًّا من هاتين المعادلتين تحتوي على الحد ﺱ تربيع. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة الأولى بطرح تسعة ﻫ تربيع على أربعة من كلا طرفي المعادلة، فنحصل على ﺱ تربيع يساوي ٦٢٥ ناقص تسعة ﻫ تربيع على أربعة. يمكننا أخذ القيمة التي أوجدناها لـ ﺱ تربيع والتعويض بها في المعادلة الثانية، التي تصبح الآن ١٦٩ يساوي ٦٢٥ ناقص تسعة ﻫ تربيع على أربعة زائد ﻫ تربيع على أربعة. بتجميع هذين الحدين المتشابهين، فإن سالب تسعة ﻫ تربيع على أربعة زائد ﻫ تربيع على أربعة يساوي سالب ثمانية ﻫ تربيع على أربعة. وثمانية على أربعة يساوي اثنين.

بعد ذلك، نطرح ٦٢٥ من كلا طرفي المعادلة، وهو ما يعطينا سالب ٤٥٦ يساوي سالب اثنين ﻫ تربيع. بقسمة طرفي المعادلة على سالب اثنين، نحصل على ﻫ تربيع يساوي ٢٢٨. بأخذ الجذر التربيعي للطرفين نحصل على ﻫ يساوي ١٥٫٠٩٩ وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب ذلك إلى أقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ١٥٫١٠ سنتيمترًا. على الرغم من أننا أخذنا الجذر التربيعي، لكن نظرًا لأننا نتعامل مع الطول، فإن ما يعنينا فقط هو القيمة الموجبة للجذر التربيعي لـ ﻫ.

تذكر أننا كتبنا بالفعل معادلة لـ ﺱ بدلالة ﻫ وهي: ﺱ تربيع يساوي ٦٢٥ ناقص تسعة ﻫ تربيع على أربعة. عند الحل لإيجاد قيمة ﺱ، فإننا نحتاج إلى استخدام قيمة ﻫ غير المقربة. وهذا يحافظ على الدقة؛ لأننا نقرب في الخطوة الأخيرة فقط. عندما نحسب ذلك باستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن ﺱ تربيع يساوي ١١٢. والجذر التربيعي لهذه القيمة هو ١٠٫٥٨٣ وهكذا مع توالي الأرقام. وبالتقريب إلى أقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ١٠٫٥٨ سنتيمترات.

تلخيصًا لذلك، طول ﺟﺩ هو ما رمزنا إليه على الشكل بالرمز ﻫ. وهذا يعني أن ﺟﺩ يساوي ١٥٫١٠ سنتيمترًا لأقرب منزلتين عشريتين. والمسافة العمودية ﺱ لأقرب منزلتين عشريتين تساوي ١٠٫٥٨ سنتيمترات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.