فيديو السؤال: حساب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين موضحين على شبكة رسم ثلاثية الأبعاد الفيزياء

يوضح الشكل المتجهين ‪𝐀‬‏، ‪𝐁‬‏، في فضاء ثلاثي الأبعاد. يقع كلا المتجهين في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي ‪1‬‏. احسب ‪𝐀 × 𝐁‬‏.

٠٥:٣٦

‏نسخة الفيديو النصية

يوضح الشكل المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ في فضاء ثلاثي الأبعاد. يقع كلا المتجهين في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب ‪𝐀‬‏ مضروبًا ضربًا اتجاهيًّا في ‪𝐁‬‏.

يتمحور هذا السؤال حول حاصل الضرب الاتجاهي. ومطلوب منا تحديدًا إيجاد حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏؛ حيث المتجهان ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ معطيان في صورة سهمين مرسومين على الشكل، كما نعلم أن المتجهين يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏.

لنبدأ بتذكر تعريف حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين، ‪𝐂‬‏ و‪𝐃‬‏، ونفترض أن كليهما يقعان في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. بعد ذلك، يمكننا كتابة هذين المتجهين في الصورة المركبة على صورة مركبة ‪𝑥‬‏، سميناها ‪𝑥‬‏، مضروبة في ‪𝐢‬‏ هات؛ زائد مركبة ‪𝑦‬‏، سميناها ‪𝑦‬‏، مضروبة في ‪𝐣‬‏ هات. تذكر أن ‪𝐢‬‏ هات هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑥‬‏، وأن ‪𝐣‬‏ هات هو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑦‬‏. ومن ثم، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐂‬‏ في ‪𝐃‬‏ يساوي المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐂‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐃‬‏، ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐂‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐃‬‏. وكل هذا مضروب في ‪𝐤‬‏ هات، وهو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑧‬‏.

يخبرنا هذا التعبير العام لحاصل الضرب الاتجاهي بأنه إذا ما أردنا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏، فعلينا إيجاد المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏. كلا المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ موضحان في الشكل المعطى لنا في السؤال. كما نعلم من السؤال أيضًا أن طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم بهذا الشكل يساوي واحدًا. هذا يعني أنه لإيجاد المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ للمتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏، فإن كل ما علينا فعله هو عد المربعات التي يمتد إليها كل متجه في الاتجاه ‪𝑥‬‏ والاتجاه ‪𝑦‬‏.

لنبدأ بإجراء ذلك للمتجه ‪𝐀‬‏. إذا تتبعنا رأس المتجه ‪𝐀‬‏ نزولًا إلى المحور ‪𝑥‬‏، فسنلاحظ أن المتجه ‪𝐀‬‏ يمتد بمقدار واحدة، اثنتين، ثلاث، أربع وحدات في الاتجاه السالب لـ ‪𝑥‬‏. وبتتبعه عبر المحور ‪𝑦‬‏، يمكننا ملاحظة أن ‪𝐀‬‏ يمتد بمقدار واحدة، اثنتين، ثلاث وحدات في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑦‬‏. نعلم إذن أن المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏ تساوي سالب أربعة، والمركبة ‪𝑦‬‏ تساوي موجب ثلاثة. في الصورة المركبة، لدينا إذن المتجه ‪A‬‏ يساوي سالب أربعة ‪𝐢‬‏ هات زائد ثلاثة ‪𝐣‬‏ هات.

والآن، لنفعل الأمر نفسه مع المتجه ‪𝐁‬‏. إذا تتبعنا رأس المتجه ‪𝐁‬‏ نزولًا إلى أسفل حتى يلتقي مع المحور ‪𝑥‬‏، فسنلاحظ أن ‪𝐁‬‏ يمتد بمقدار واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة مربعات في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑥‬‏. وإذا تتبعناه عبر المحور ‪𝑦‬‏، فسنلاحظ أن ‪𝐁‬‏ يمتد بمقدار واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة مربعات في الاتجاه الموجب لـ ‪𝑦‬‏. إذن، المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏ تساوي موجب أربعة، والمركبة ‪𝑦‬‏ تساوي موجب خمسة. وبكتابة المتجه ‪𝐁‬‏ في الصورة المركبة، نجد أن ‪𝐁‬‏ يساوي أربعة ‪𝐢‬‏ هات زائد خمسة ‪𝐣‬‏ هات.

لدينا الآن كلا المتجهين ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ مكتوبان في الصورة المركبة، ما يعني أننا مستعدون الآن لحساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏. في التعبير العام لحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين، نلاحظ أن الحد الأول هو المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الأول في حاصل الضرب مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الثاني في حاصل الضرب. في هذه الحالة، المتجه الأول في حاصل الضرب هو ‪𝐀‬‏، والمتجه الثاني هو ‪𝐁‬‏. إذن نحتاج إلى ضرب المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، التي تساوي سالب أربعة؛ في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، التي تساوي خمسة. ثم سنطرح حدًّا ثانيًا من هذا الحد الأول.

هذا الحد الثاني هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه الأول في حاصل الضرب مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه الثاني في حاصل الضرب. إذن، في هذه الحالة، هذا الحد هو المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐀‬‏، التي تساوي ثلاثة؛ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐁‬‏، التي تساوي أربعة. وبعد ذلك يضرب الكل في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏ هات.

الخطوة الأخيرة هي إيجاد قيمة هذا التعبير هنا. الحد الأول، هو سالب أربعة مضروبًا في خمسة، ما يعطينا سالب 20. والحد الثاني، هو ثلاثة مضروبًا في أربعة، ما يعطينا 12. عندما نحسب سالب 20 ناقص 12، نحصل على القيمة سالب 32. إذن، إجابتنا عن هذا السؤال هي أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي سالب 32𝐤 هات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.