فيديو الدرس: التغير الطردي الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نصف التغير الطردي بين متغيرين، ونستخدمه لحل المسائل الكلامية.

يقال إن المتغيرين في علاقة تغير طردي أو تناسب طردي إذا كانت النسبة بينهما ثابتة. هذا يعني أنه إذا كان المتغيران ﺱ وﺹ في علاقة تغير طردي، فيمكننا القول إن ﺹ على ﺱ يساوي ثابتًا لا يساوي صفرًا هو ﻡ؛ حيث ﺱ أيضًا لا يساوي صفرًا. بضرب طرفي هذه المعادلة في ﺱ، نحصل على ﺹ يساوي ﻡﺱ. يمكننا تضمين القيمة ﺱ تساوي صفرًا في ذلك؛ لأن هذا يترتب عليه أن تكون قيمة ﺹ تساوي صفرًا أيضًا. ويسمى الثابت ﻡ ثابت التغير أو ثابت التناسب.

عندما يكون لدينا متغيران في علاقة تغير طردي، فإننا نمثل ذلك باستخدام الترميز الموضح، وهو ما يعني ببساطة أن ﺹ يتناسب طرديًّا مع ﺱ. التمثيل البياني لمتغيرين متناسبين طرديًّا هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، وميله يساوي ثابت التناسب ﻡ. سنتناول المزيد من التفاصيل عن هذا لاحقًا في الفيديو.

يوجد العديد من الأمثلة الواقعية على المتغيرات التي تنطبق عليها علاقة التناسب الطردي. على سبيل المثال، إذا كان جسم، مثل سيارة، يتحرك بسرعة ثابتة، فإن المسافة المقطوعة تتناسب طرديًّا مع الزمن الذي يستغرقه الجسم لقطع هذه المسافة. في المثال الأول، سنتناول كيف نوجد ثابت التناسب في علاقة تناسب طردي.

إذا كان ﺹ يتناسب طرديًّا مع ﺱ وﺹ يساوي ١٤ عندما يكون ﺱ يساوي ستة، فأوجد قيمة ثابت التناسب.

في البداية، نتذكر أن هذا الترميز يعني أن ﺹ يتناسب طرديًّا مع ﺱ أو أن ﺹ وﺱ في علاقة تغير طردي. هذا يعني أن النسبة بين ﺹ وﺱ ثابتة، ويمكننا التعبير عنها على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ لأي ثابت ﻡ لا يساوي صفرًا. ﻡ هو ثابت التناسب المطلوب منا إيجاد قيمته.

علمنا من السؤال أن ﺹ يساوي ١٤ عندما يكون ﺱ يساوي ستة، ما يعني أن لدينا قيمتين لـ ﺱ وﺹ يمكننا التعويض بهما في هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﻡ. وبفعل ذلك، نحصل على المعادلة ١٤ يساوي ستة ﻡ. بعدئذ، نوجد قيمة ﻡ بقسمة طرفي المعادلة على ستة. يمكننا تبسيط هذا الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على اثنين. ومن ثم، نجد أن ثابت التناسب ﻡ يساوي سبعة على ثلاثة.

دعونا الآن نتناول مثالًا آخر نستخدم فيه تعريف التغير الطردي لتعيين قيمة مجهول في علاقة تناسب طردي.

إذا كان ﺹ يتناسب طرديًّا مع ﺱ وﺱ يساوي ٧٥ عندما يكون ﺹ يساوي ٢٥ ، فأوجد قيمة ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي ٣٠ .

نعلم من السؤال أن ﺹ يتناسب طرديًّا مع ﺱ أو أن ﺹ وﺱ في علاقة تغير طردي، ما يعني أن العلاقة بين ﺱ وﺹ يمكن التعبير عنها على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ لأي ثابت ﻡ لا يساوي صفرًا. علمنا أيضًا أن ﺱ يساوي ٧٥ عندما يكون ﺹ يساوي ٢٥ . ومن ثم، لدينا قيمتين لـ ﺱ وﺹ يمكننا استخدامهما لإيجاد قيمة ثابت التناسب ﻡ.

بالتعويض بهاتين القيمتين، نحصل على ٢٥ يساوي ﻡ مضروبًا في ٧٥ ، أو ببساطة ٢٥ يساوي ٧٥ﻡ . ولإيجاد قيمة ﻡ، علينا قسمة طرفي هذه المعادلة على ٧٥ ، ما يعطينا ﻡ يساوي ٢٥ على ٧٥ . يمكننا تبسيط هذا الكسر بقسمة كل من البسط والمقام على ٢٥ . ومن ثم، نجد أن ثابت التناسب ﻡ يساوي ثلثًا.

أصبحنا نعلم الآن أن العلاقة بين ﺱ وﺹ هي ﺹ يساوي ثلث ﺱ، أو ﺹ يساوي ﺱ على ثلاثة. ولإيجاد قيمة ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي ٣٠ ، علينا التعويض بقيمة ﺱ هذه ثم إيجاد القيمة الناتجة. هذا يعطينا ﺹ يساوي ٣٠ على ثلاثة، وهو ما يساوي ١٠ . إذن، عن طريق إيجاد قيمة ثابت التناسب أولًا، وجدنا أنه في علاقة التناسب الطردي هذه، فإن قيمة ﺹ عندما يكون ﺱ يساوي ٣٠ هي ١٠ .

دعونا الآن نتناول الشكل الذي قد يبدو عليه التمثيل البياني الذي يمثل علاقة التناسب الطردي.

نحن نعلم أنه عندما يكون المتغيران ﺱ وﺹ في علاقة تغير طردي، يمكننا التعبير عن ذلك على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ لأي ثابت ﻡ لا يساوي صفرًا. وبناء على معرفتنا بالتمثيلات البيانية للخطوط المستقيمة، نعلم أن ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد 𝑏 تمثل معادلة الخط المستقيم الذي ميله ﻡ والجزء المقطوع من المحور ﺹ هو 𝑏. قيمة 𝑏 هنا تساوي صفرًا، إذن يكون لدينا خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. ومن ثم، قد يبدو التمثيل البياني لعلاقة التناسب الطردي بهذا الشكل.

لكن من الممكن أيضًا أن يكون ثابت التناسب ﻡ عددًا سالبًا، ما يعني أنه في هذه الحالة يكون ميل الخط المستقيم سالبًا، ويكون التمثيل البياني للعلاقة على شكل الخط المرسوم باللون الوردي. الأمر المهم هو أن الخط لا بد أن يكون مستقيمًا، ويجب أن يمر بنقطة الأصل.

يمكننا استخدام هذه المعلومات للتعرف على المزيد عن هذه العلاقة من التمثيل البياني. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا ﺹ في علاقة تغير طردي مع ﺱ وأن لدينا تمثيلًا بيانيًّا محددًا عليه قيم ﺱ مقابل قيم ﺹ. نحن نعلم أن ﺹ يساوي ﻡﺱ لأي ثابت ﻡ لا يساوي صفرًا. ويمكننا استخدام التمثيل البياني لإيجاد قيمة ﻡ. نحصل على هذه القيمة من ميل المستقيم، وهو هنا يساوي اثنين. ومن ثم، يمكننا استنتاج أن ثابت التناسب يساوي اثنين وﺹ يساوي اثنين ﺱ. تعرف أيضًا قيمة ﻡ بمعدل الوحدة؛ لأنها تمثل التغير في الإحداثي ﺹ المناظر لتغير وحدة واحدة في الإحداثي ﺱ.

دعونا نتناول الآن مثالًا نوجد فيه مجموعة قيم ﺱ وﺹ التي تكون في علاقة تغير طردي.

ما الجدول الذي لا يبين أن ﺱ يتغير طرديًّا مع ﺹ؟

نتذكر أولًا أنه إذا كانت قيمة ﺱ تتغير طرديًّا مع ﺹ، فإن هذا يعني أن النسبة بين قيم ﺱ وﺹ تظل ثابتة. ومن ثم، يمكننا القول إنه عندما تكون قيمة ﺱ لا تساوي صفرًا، فإن قيمة ﺹ على ﺱ تساوي ثابتًا لا يساوي صفرًا هو ﻡ. يمكننا اختبار إذا ما كان هذا ينطبق على كل جدول من الجداول المعطاة عن طريق حساب النسبة بين كل قيمتين لـ ﺱ وﺹ، ومعرفة إذا ما كانت النسبة ستظل ثابتة أم لا.

في الجدول أ، قيم ﺹ على ﺱ تساوي ١٢ على واحد، و ٢٤ على اثنين، و ٣٦ على ثلاثة. يمكن تبسيط كل من هذه النسب إلى ١٢ . إذن في الجدول أ، تكون قيمة ﺹ على ﺱ ثابتة، ومن ثم فإن ﺱ يتغير طرديًّا مع ﺹ.

في الجدول ب، النسب هي اثنان على ١٠ ، وأربعة على ٢٠ ، وستة على ٣٠ . يمكن تبسيط كل نسبة من هذه النسب إلى خمس، أو ٠٫٢ . إذن، القيم في الجدول ب توضح تغيرًا طرديًّا.

في الجدول ج، النسب هي ثمانية على اثنين، وصفر على صفر، وسالب ثمانية على سالب اثنين. يمكن تبسيط كل من النسبتين الأولى والأخيرة إلى أربعة، لكن قيمة صفر على صفر غير معرفة. لذا علينا أن نتذكر أن التغير الطردي بين ﺱ وﺹ يمكن التعبير عنه أيضًا على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ. يترتب على ذلك أنه عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺹ يساوي صفرًا أيضًا.

القيمتان صفر وصفر تحققان أي علاقة تغير طردي، وهو ما يناظر أي علاقة تناسب طردي تمثيلها البياني هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل؛ حيث ﺱ وﺹ كلاهما يساوي صفرًا. على وجه التحديد، تحقق هاتان القيمتان نفس التغير الطردي الذي تحققه القيم الأخرى في الجدول ج؛ حيث ﻡ يساوي أربعة. ومن ثم، يوضح الجدول ج أن ﺱ يتغير طرديًّا مع ﺹ.

في الجدول د، قيم ﺹ على ﺱ هي ستة على خمسة، و ١٠ على ثلاثة، و ٣٠ على واحد. بإيجاد قيم ذلك على صورة أعداد عشرية، نحصل على ١٫٢ ، و ٣٫٣ دوري، و ٣٠ . وبما أن هذه القيم ليست ثابتة، فهذا يعني أن القيم في الجدول د لا تمثل تغيرًا طرديًّا.

وأخيرًا، نحسب النسب في الجدول هـ. يمكننا تبسيط كل نسبة من النسب إلى ٠٫٧٥ . وهذا يؤكد أن القيم الموجودة في الجدول هـ في علاقة تغير طردي.

يمكننا إذن استنتاج أن الجدول الوحيد الذي لا يبين أن ﺱ يتغير طرديًّا مع ﺹ هو الجدول د؛ لأن نسبة ﺹ على ﺱ ليست ثابتة.

دعونا الآن نتناول مثالًا من الحياة الواقعية على التغير الطردي.

جسم وزنه على الأرض ١٢٠ نيوتن، ووزنه على القمر ٢٠ نيوتن. إذا كان وزن الأجسام على الأرض يتناسب طرديًّا مع وزنها على القمر، فأوجد وزن جسم على القمر، إذا كان وزنه على الأرض ١٢٦ نيوتن.

نعلم من السؤال أن وزن الأجسام على الأرض يتناسب طرديًّا مع وزنها على القمر. يمكننا التعبير عن ذلك على الصورة: الوزن على الأرض يساوي ﻡ في الوزن على القمر؛ حيث يمثل ﻡ ثابت التناسب. نحن نريد إيجاد وزن الجسم على القمر إذا كان وزنه على الأرض ١٢٦ نيوتن. ولفعل ذلك، علينا أولًا إيجاد قيمة ﻡ.

نعلم من المعطيات أن جسمًا وزنه على الأرض ١٢٠ نيوتن ووزنه على سطح القمر ٢٠ نيوتن. إذن، يمكننا التعويض بهاتين القيمتين في علاقة التناسب الطردي. وبفعل ذلك، نحصل على ١٢٠ يساوي ٢٠ﻡ . لإيجاد قيمة ﻡ، نقسم طرفي هذه المعادلة على ٢٠ ، ما يعطينا ﻡ يساوي ستة.

أصبحنا نعلم الآن أن وزن الجسم على الأرض يساوي ستة أمثال وزنه على القمر. بعد ذلك، نعوض بـ ١٢٦ عن وزن هذا الجسم على الأرض، لنحصل على المعادلة ١٢٦ يساوي ستة أمثال وزن الجسم على القمر. ولإيجاد وزن الجسم نفسه على القمر، نقسم طرفي المعادلة على ستة. بذلك، نكون أوجدنا أن وزن الجسم على القمر، الذي يبلغ وزنه على الأرض ١٢٦ نيوتن، هو ٢١ نيوتن.

يمكننا الآن تلخيص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يقال إن المتغيرين في علاقة تغير طردي أو تناسب طردي، إذا كانت النسبة بينهما ثابتة. يمكننا التعبير عن ذلك باستخدام علامة التناسب. ويمكننا أيضًا كتابة العلاقة بين ﺱ وﺹ على الصورة ﺹ يساوي ﻡﺱ؛ حيث ﻡ ثابت تناسب لا يساوي صفرًا. التمثيل البياني لعلاقة التناسب الطردي هو خط مستقيم يمر بنقطة الأصل. ميل هذا التمثيل البياني يعطينا ثابت التناسب ﻡ، الذي يعرف أيضًا باسم معدل الوحدة. كما يمكن أن يكون ميل التمثيل البياني سالبًا أيضًا إذا كانت قيمة ﻡ سالبة.

وأخيرًا، عرفنا أنه يمكن استخدام التغير الطردي لتمثيل عدد من الظواهر الواقعية، مثل العلاقة بين المسافة والزمن بالنسبة للأجسام التي تتحرك بسرعة ثابتة، وأوزان الأجسام على الأرض وأوزانها على القمر.