فيديو السؤال: إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى الرياضيات

وتر طوله ٩٠ سم يبعد ٤٢ سم عن مركز الدائرة التي تحتويه. أوجد مساحة القطعة الدائرية الصغرى لأقرب سنتيمتر مربع.

٠٦:١٨

‏نسخة الفيديو النصية

وتر طوله ٩٠ سنتيمترًا يبعد ٤٢ سنتيمترًا عن مركز الدائرة التي تحتويه. أوجد مساحة القطعة الدائرية الصغرى لأقرب سنتيمتر مربع.

لدينا بعض المعطيات عن وتر دائرة. لنبدأ برسم شكل لهذه الدائرة. لدينا وتر، سوف نسميه ﺃﺏ. نعرف أن طوله يساوي ٩٠ سنتيمترًا. ونعرف أيضًا من المعطيات أنه يبعد ٤٢ سنتيمترًا عن مركز الدائرة؛ سوف نسمي المركز ﻭ. نعرف كذلك أن أقصر مسافة من ﻭ إلى الوتر ﺃﺏ يجب أن تكون ٤٢ سنتيمترًا.

نعلم أنه يمكن إيجاد أقصر مسافة من خط إلى نقطة برسم العمود المنصف لهذا الخط. وبذلك، نعلم أن هذه الزاوية هنا يجب أن تكون زاوية قائمة. نريد الآن إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى؛ أي هذه المساحة المظللة باللون الوردي. ولنفعل ذلك، سنحتاج إلى حساب كل من طول نصف قطر الدائرة وقياس زاوية القطاع. لنسم تلك الزاوية 𝜃. هيا نرسم أحد المثلثين القائمي الزاوية بهذا الشكل بصورة أكبر قليلًا حتى نتمكن من رؤية ما علينا فعله بعد ذلك.

نعرف أن طول أحد أضلاع المثلث يساوي ٤٢ سنتيمترًا، والضلع الآخر طوله يساوي نصف ٩٠؛ أي ٤٥ سنتيمترًا. هذا الطول هنا يساوي نق أو نق سنتيمتر؛ حيث نق هو نصف القطر. يمكننا أن نرى أيضًا أن قياس هذه الزاوية لا بد أن يساوي نصف 𝜃. هيا نبدأ بإيجاد طول نصف القطر. لاحظ أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية. إذن، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول نق. تنص هذه النظرية على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين.

إذن، إذا كان لدينا مثلث طول وتره ﺟ من وحدات الطول، وطولا الضلعين الآخرين هما ﺃ وﺏ من وحدات الطول، فإن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع. الآن، في هذه الحالة، الوتر يساوي نق سنتيمتر. إذن، يمكننا القول إن ٤٢ تربيع زائد ٤٥ تربيع يساوي نق تربيع. ‏٤٢ تربيع زائد ٤٥ تربيع يساوي ٣٧٨٩. ‏نق يساوي الجذر التربيعي لهذه القيمة. أي ثلاثة في الجذر التربيعي لـ ٤٢١.

نحن الآن نعرف طول نصف قطر الدائرة، لكن ماذا عن 𝜃؟ حسنًا، سنستخدم هذه المرة حساب المثلثات القائمة الزاوية. سنفترض أن نصف 𝜃 هو الزاوية المحصورة، وعليه يكون طول الضلع المقابل ٤٥ سنتيمترًا، وطول الضلع المجاور ٤٢ سنتيمترًا. تشير نسبة الظل إلى أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. حسنًا، ذكرنا أن 𝜃 هي زاوية القطاع لدينا. إذن نقول في هذه الحالة إن ظا نصف 𝜃 يساوي ٤٥ على ٤٢.

ولإيجاد قيمة 𝜃، نوجد الدالة العكسية لـ ظا لكلا الطرفين ثم نضرب كلا الطرفين في اثنين. إذن، نجد أن 𝜃 تساوي اثنين في الدالة العكسية لـ ظالـ ٤٥ على ٤٢، وهو ما يساوي ٩٣٫٩٤ درجة. حسنًا، لاحظ أننا لن نقرب هذا العدد، بل سنستخدم هذه القيمة الفعلية لـ 𝜃 في العمليات الحسابية التالية. والآن بعد أن أصبحنا نعرف طول نصف قطر الدائرة وقياس زاوية القطاع، كيف سنوجد مساحة القطعة الدائرية؟

إذا نظرنا جيدًا، فسنجد أنه يمكن إيجاد مساحة القطعة الدائرية عن طريق إيجاد مساحة القطاع ثم طرح مساحة المثلث منها. حسنًا، مساحة القطاع بزاوية 𝜃 تساوي 𝜃 على ٣٦٠ في ‏𝜋‏نق تربيع. ويمكننا استخدام الصيغة نصف ﺃﺏ جا ﺟ لإيجاد مساحة المثلث. أي نصف نق تربيع جا 𝜃. دعونا نعوض بكل ما نعرفه عن القطاع في الصيغة.

لاحظ أننا نستخدم قيمة نق تربيع بدلًا من قيمة نق. وسنضيف قيمة 𝜃 التي حسبناها. إذن، مساحة القطعة الدائرية تساوي ٩٣٫٩٤ وهكذا مع توالي الأرقام على ٣٦٠ درجة في ‏𝜋‏ في ٣٧٨٩ ناقص نصف مضروبًا في ٣٧٨٩ مضروبًا في جا ٩٣٫٩٤. وهذا يعطينا ١٢١٦٫٤٧ وهكذا مع توالي الأرقام. والآن، مطلوب منا تقريب الإجابة لأقرب سنتيمتر مربع. إذن، بالتقريب يصبح لدينا ١٢١٦. ومن ثم، يمكننا القول إن مساحة القطعة الدائرية الصغرى تساوي ١٢١٦ سنتيمترًا مربعًا.

ومن المهم أن ندرك أن المطلوب منا هو إيجاد مساحة القطعة الدائرية الصغرى، أي القطعة الأصغر في الدائرة. ولو كان المطلوب هو إيجاد القطعة الدائرية الكبرى، لكان المقصود هو هذه القطعة الأكبر في الدائرة لدينا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.