نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجهين 𝚨 و𝚩. طول ضلع كل مربع في شبكة الرسم يساوي واحدًا. احسب حاصل الضرب القياسي لـ 𝚨 في 𝚩.
في هذه السؤال، لدينا المتجهان، 𝚨 و𝚩، في صورة سهمين مرسومين على شكل. والمطلوب منا إيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين، 𝚨 و𝚩. لنبدأ بتذكر تعريف حاصل الضرب القياسي لمتجهين. سنتناول متجهين عامين نرمز إليهما بـ 𝐂 و𝐃. ولنفترض أن هذين المتجهين يقعان في المستوى 𝑥𝑦. بعد ذلك، يمكننا كتابة هذين المتجهين بدلالة مركبتيهما بحيث تكون مركبة 𝑥 التي يرمز إليها بحرف 𝑥 أسفلها مضروبة في 𝐢 هات زائد مركبة 𝑦 التي يرمز إليها بحرف 𝑦 أسفلها مضروبة في 𝐣 هات.
تذكر أن 𝐢 هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑥، وأن 𝐣 هات هو متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑦. وحاصل الضرب القياسي لـ 𝐂 في 𝐃 يساوي مركبة 𝑥 للمتجه 𝐶 مضروبة في مركبة 𝑥 للمتجه 𝐷 زائد مركبة 𝑦 للمتجه 𝐶 مضروبة في مركبة 𝑦 للمتجه 𝐷. إذن، بوجه عام، حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑥 زائد حاصل ضرب مركبتي 𝑦 لهذين المتجهين. بالنظر إلى هذا التعبير العام لحاصل الضرب القياسي لمتجهين، نلاحظ أننا إذا أردنا حساب حاصل الضرب القياسي لـ 𝚨 في 𝚩، فعلينا إيجاد مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين 𝚨 و𝚩.
حسنًا، لدينا المتجهان 𝚨 و𝚩 معطيان في صورة سهمين مرسومين على شكل، ونعلم من السؤال أن طول ضلع كل مربع في هذا الشكل يساوي واحدًا. إذا أضفنا محورين إلى هذا الشكل بحيث تكون نقطة الأصل عند ذيل المتجهين، فسيمكننا بسهولة عد المربعات التي يشغلها كل متجه في اتجاه المحور 𝑥 والمحور 𝑦. وبما أننا نعلم أن طول ضلع كل مربع يساوي واحدًا، فإن عدد المربعات يعطينا مباشرة قيم مركبتي 𝑥 ومركبتي 𝑦 للمتجهين.
لنبدأ بعد المربعات في حالة المتجه 𝚨. نلاحظ أن المتجه 𝐴 يمتد بمقدار وحدتين في الاتجاه الموجب من المحور 𝑥، ومن ثم فإن مركبة 𝑥 تساوي اثنين، ويمتد بمقدار أربع وحدات في الاتجاه الموجب من المحور 𝑦، ومن ثم فإن مركبة 𝑦 تساوي أربعة. ولذلك يمكننا كتابة المتجه 𝚨 بدلالة مركبتيه بحيث تكون مركبة 𝑥، وهي تساوي اثنين، مضروبة في 𝐢 هات زائد مركبة 𝑦، وهي تساوي أربعة، مضروبة في 𝐣 هات. والآن، لنكرر هذه العملية مع المتجه 𝚩. نلاحظ أن المتجه 𝐵 يمتد بمقدار ثلاثة مربعات في الاتجاه السالب من المحور 𝑥، ومن ثم فإن مركبة 𝑥 تساوي سالب ثلاثة، ويمتد بمقدار ثلاثة مربعات في الاتجاه السالب من المحور 𝑦. ومن ثم فإن مركبة 𝑦 تساوي أيضًا سالب ثلاثة. وبهذا نجد أن المتجه 𝚩 بدلالة مركبتيه يساوي سالب ثلاثة 𝐢 هات ناقص ثلاثة 𝐣 هات.
والآن بعد أن أصبح لدينا المتجهان 𝚨 و𝚩 بدلالة مركبتيهما، صرنا مستعدين لحساب حاصل الضرب القياسي لـ 𝚨 في 𝚩. بالنظر إلى التعبير العام لحاصل ضرب القياسي لمتجهين، نجد أن الحد الأول هو حاصل ضرب مركبتي 𝑥 لهذين المتجهين. لذا، في الحالة التي لدينا، علينا ضرب مركبة 𝑥 للمتجه 𝚨، وهي اثنان، في مركبة 𝑥 للمتجه 𝚩، وهي سالب ثلاثة. ثم نضيف إلى ذلك الحد الثاني، وهو حاصل ضرب مركبتي 𝑦 للمتجهين. في الحالة التي لدينا، هذا يساوي حاصل ضرب مركبة 𝑦 للمتجه 𝚨، وهي أربعة، في مركبة 𝑦 للمتجه 𝚩، وهي سالب ثلاثة.
الخطوة الأخيرة المتبقية هي إيجاد قيمة هذا التعبير. الحد الأول يساوي اثنين مضروبًا في سالب ثلاثة، وهو ما يعطينا سالب ستة. والحد الثاني يساوي أربعة مضروبًا في سالب ثلاثة، وهو ما يعطينا سالب 12. وأخيرًا، لدينا سالب ستة زائد سالب 12، وهو ما يساوي سالب 18. إذن، إجابة هذا السؤال هي أن حاصل الضرب القياسي لـ 𝚨 في 𝚩 يساوي سالب 18.
