فيديو السؤال: حساب طولي متجهين من حاصل ضربهما الاتجاهي إذا كان المتجهان متعامدين الفيزياء

المتجهان ‪𝐚‬‏، ‪𝐛‬‏ لهما نفس الطول ومتعامدان. مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐚‬‏، ‪𝐛‬‏ يساوي ‪9‬‏. ما طول كل متجه؟

٠٩:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

المتجهان ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏ لهما نفس الطول ومتعامدان. مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏ يساوي تسعة. ما طول كل متجه؟

حسنًا، هذا سؤال عن الضرب الاتجاهي. ونعلم من المعطيات مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏. ونعلم كذلك أن هذين المتجهين متساويان في الطول وأنهما متعامدان. والمطلوب منا هو إيجاد طول كل متجه. دعونا نبدأ بكتابة المعطيات المذكورة في السؤال عن المتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏، ونحاول استخدام ذلك لكتابة تعبيرين لـ ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏ في الصورة المركبة.

لم يعطنا السؤال أي معلومة عن الاتجاه المطلق لأي من المتجهين، وإنما ذكر فقط أنهما متعامدان. ولذا، لنا مطلق الحرية في توجيههما كما نريد. فلن يؤثر الاتجاه المطلق في الفضاء على إجابتنا. وعمومًا، في هذه الحالة، من الأسهل اختيار توجيه المتجهات بمحاذاة محوري الإحداثيات لتيسير العملية الحسابية. إذن لنتخيل أن المتجه ‪a‬‏ يشير في اتجاه المحور ‪𝑥‬‏، وأن المتجه ‪𝐛‬‏ يشير في اتجاه المحور ‪𝑦‬‏. وهذا يحقق الشرط الوارد في السؤال عن تعامد المتجهين.

يمكننا بعد ذلك كتابة المتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏ في الصورة المركبة. تذكر أن ‪𝐢‬‏ هو متجه الوحدة في اتجاه ‪𝑥‬‏، ومن ثم يمكن كتابة المتجه ‪𝐚‬‏ في صورة مقدار ‪𝐚‬‏ مضروبًا في متجه الوحدة ‪𝐢‬‏، وتذكر أن ‪𝐣‬‏ هو متجه الوحدة في اتجاه ‪𝑦‬‏، ومن ثم يمكن كتابة المتجه ‪𝐛‬‏ في صورة مقدار ‪𝐛‬‏ مضروبًا في متجه الوحدة ‪𝐣‬‏. لكن ثمة معطيات أخرى في السؤال عن المتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏. وهي تشير إلى أن هذين المتجهين متساويان في الطول.

طول المتجه ومقداره متكافئان. هذا يعني أن مقدار المتجه ‪𝐚‬‏ يجب أن يساوي مقدار المتجه ‪𝐛‬‏. لذا دعونا نجعل مقدار ‪𝐚‬‏ ومقدار ‪𝐛‬‏ يساويان القيمة نفسها التي سنسميها ‪𝑚‬‏. فيصبح لدينا المتجه ‪𝐚‬‏ يساوي ‪𝑚‬‏ مضروبًا في متجه الوحدة ‪𝐢‬‏، و‪𝐛‬‏ يساوي ‪𝑚‬‏ مضروبًا في متجه الوحدة ‪𝐣‬‏. وبذلك صار لدينا تعبير لكل من المتجه ‪𝐚‬‏ والمتجه ‪𝐛‬‏ في الصورة المركبة. ونكون قد أكملنا الخطوة الأولى.

ماذا بعد ذلك؟ حسنًا، المعلومة الأخرى المعطاة لنا في السؤال تتعلق بحاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏. فنعلم أن مقدار حاصل الضرب الاتجاهي هذا يساوي تسعة. إذن فالخطوة المنطقية التالية هي حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏. والخطوة الأخيرة هي استخدام حاصل الضرب الاتجاهي لإيجاد طول ‪𝑚‬‏ لكل من المتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏. لنتذكر إذن تعريف حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين.

أولًا، سنعرف متجهين عامين في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، وهما ‪𝐀‬‏ و‪𝐁‬‏ بحرفين كبيرين. يمكننا كتابتهما في الصورة المركبة على النحو الآتي. حرف ‪𝐀‬‏ الكبير يساوي المركبة ‪𝑥‬‏، وهي ‪𝐴𝑥‬‏، مضروبة في متجه الوحدة ‪𝐢‬‏، زائد المركبة ‪𝑦‬‏، وهي ‪𝐴𝑦‬‏، مضروبة في متجه الوحدة ‪𝐣‬‏، وينطبق الأمر نفسه على حرف ‪𝐁‬‏ الكبير، حيث المركبة ‪𝑥‬‏ هي ‪𝐵𝑥‬‏ والمركبة ‪𝑦‬‏ هي ‪𝐵𝑦‬‏. ومن ثم، فإن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ يساوي المركبة ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝐵‬‏ ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝐴‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝐵‬‏ الكل مضروب في ‪𝐤‬‏، وهو متجه الوحدة في الاتجاه ‪𝑧‬‏.

دعونا نطبق ذلك على المتجهين في هذا السؤال، ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏ بحرفين صغيرين. يمكننا توضيح ما يحدث بتضمين المركبتين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏ لكلا المتجهين. المتجه ‪𝐚‬‏ له مركبة ‪𝑥‬‏ فقط. لكن يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة ‪𝐚‬‏ يساوي ‪𝑚‬‏ مضروبًا في ‪𝐢‬‏ زائد صفر مضروبًا في ‪𝐣‬‏ لتضمين المركبة ‪𝑦‬‏ التي تساوي صفرًا. ويمكننا فعل الأمر نفسه مع المتجه ‪𝐛‬‏ الذي له مركبة ‪𝑦‬‏ فقط. لكن يمكننا تضمين مركبة ‪𝑥‬‏ التي تساوي صفرًا بوضوح وإعادة كتابتها على الصورة صفر مضروبًا في ‪𝐢‬‏ زائد ‪𝑚‬‏ مضروبًا في ‪𝐣‬‏.

والآن نريد حساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏. لكن هل علينا حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏ أم ‪𝐛‬‏ في ‪𝐚‬‏؟ في الواقع، لا يهم أيًّا منهما سنختار. لمعرفة سبب ذلك، دعونا نراجع التعبير العام للضرب الاتجاهي للمتجهات. إذا كتبنا بدلًا من ذلك ‪𝐁‬‏ في ‪𝐀‬‏، فإن الحد الأول سيكون المركبة ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝐵‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝐴‬‏. والحد الثاني سيكون المركبة ‪𝑦‬‏ لـ ‪𝐵‬‏ مضروبة في المركبة ‪𝑥‬‏ لـ ‪𝐴‬‏.

سنضرب بعد ذلك الكل في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏ في الاتجاه ‪𝑧‬‏. بأخذ سالب واحد عاملًا مشتركًا، سنحصل على هذا التعبير. بعد ذلك، تحذف هاتان الإشارتان السالبتان لنحصل على علامة زائد. وإذا بدلنا هذين الحدين بين القوسين، فسنجد أن حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐁‬‏ في ‪𝐀‬‏ يساوي سالب واحد مضروبًا في ‪𝐵𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝐴𝑥‬‏ ناقص ‪𝐵𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝐴𝑦‬‏ مضروبًا مرة أخرى في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏ في الاتجاه ‪𝑧‬‏.

هيا نلق نظرة على الحد الأول بين القوسين، ‪𝐵𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝐴𝑥‬‏. يجب أن نتذكر هنا أنه عند ضرب عددين، لا يهم ترتيبهما في عملية الضرب. إذن فهذا الحد يكافئ ‪𝐴𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝐵𝑦‬‏. لنعد كتابة ذلك. وبالمثل، فيما يخص الحد الثاني بين القوسين، ‪𝐵𝑥‬‏ مضروبًا في ‪𝐴𝑦‬‏، فيمكننا إعادة كتابته على صورة ‪𝐴𝑦‬‏ مضروبًا في ‪𝐵𝑥‬‏.

إذا قارنا بين التعبير الذي يمثل حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐁‬‏ في ‪𝐀‬‏ وتعريف حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏، فسنجد أن ما يوجد بين القوسين متماثل تمامًا في الحالتين. الفرق الوحيد بينهما هو أنه في حالة حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐁‬‏ في ‪𝐀‬‏، لدينا العامل سالب واحد في البداية. يعطينا هذا العامل إشارة سالب كلية. ومن ثم، يمكننا القول إن ‪𝐁‬‏ ضرب اتجاهي ‪𝐀‬‏ يساوي سالب ‪𝐀‬‏ ضرب اتجاهي ‪𝐁‬‏. وبما أنه في هذا السؤال لا يعنينا سوى مقدار حاصل الضرب الاتجاهي، فلا يهم إذا ما كنا سنحسب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐀‬‏ في ‪𝐁‬‏ أو ‪𝐁‬‏ في ‪𝐀‬‏؛ لأن كلًّا منهما له المقدار نفسه. يختلفان فقط في الإشارة، ما يعني أنهما يشيران في اتجاهين متعاكسين.

إذن بالرجوع إلى السؤال والمتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏ بالحرفين الصغيرين، دعونا نختر حساب حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏. نحصل على هذا الحاصل من ضرب المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐚‬‏، التي تساوي ‪𝑚‬‏، في المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐛‬‏، التي تساوي ‪𝑚‬‏ أيضًا، ناقص المركبة ‪𝑦‬‏ للمتجه ‪𝐚‬‏، التي تساوي صفرًا، في المركبة ‪𝑥‬‏ للمتجه ‪𝐛‬‏، التي تساوي صفرًا أيضًا. ونضرب كل ذلك في متجه الوحدة ‪𝐤‬‏. بما أن متجه الوحدة ‪𝐤‬‏، حسب تعريفه، له مقدار يساوي واحدًا، فإن مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏ يساوي هذا الجزء من التعبير. يمكننا كتابة ذلك في صورة ‪𝑚‬‏ تربيع. وبذلك، يمكننا القول إن مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏ يساوي ‪𝑚‬‏ تربيع.

بذلك نكون قد أكملنا الخطوة الثانية وحسبنا حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏. وكل ما تبقى أمامنا هو الخطوة الثالثة، وهي استخدام مقدار حاصل الضرب الاتجاهي هذا لإيجاد طول ‪𝑚‬‏ لكل متجه. نعلم من السؤال أن مقدار حاصل الضرب الاتجاهي يساوي تسعة. إذن يمكننا جعل مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لـ ‪𝐚‬‏ في ‪𝐛‬‏ يساوي ‪𝑚‬‏ تربيع يساوي تسعة.

والآن، مطلوب منا إيجاد طول أو مقدار كل من المتجهين ‪𝐚‬‏ و‪𝐛‬‏. ونعرف أن هذا الطول يساوي ‪𝑚‬‏. إذن نريد حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑚‬‏. لفعل ذلك، سنأخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. الجذر التربيعي لـ ‪𝑚‬‏ تربيع يساوي ‪𝑚‬‏، والجذر التربيعي لتسعة يساوي ثلاثة. فيصبح لدينا ‪𝑚‬‏ يساوي ثلاثة. وبذلك نكون قد نفذنا الخطوة الثالثة باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي لإيجاد طول ‪𝑚‬‏ لكل متجه. وهكذا تكون إجابة السؤال المتعلق بطول كل من المتجه ‪𝐚‬‏ والمتجه ‪𝐛‬‏ هي ثلاثة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.