نسخة الفيديو النصية
بسط ثمانية زائد سبعة 𝑖 مضروبًا في واحد زائد ثمانية 𝑖 على ستة زائد أربعة 𝑖.
لتبسيط هذا الكسر، سنجري خطوتين مختلفتين. سنبدأ بإيجاد حاصل ضرب المقدارين الموجودين في بسط هذا الكسر. وهذا يعطينا ثمانية زائد سبعة 𝑖 مضروبًا في واحد زائد ثمانية 𝑖. بعد ذلك، سنقسم هذا المقدار على العدد المركب الثاني، وهو ستة زائد أربعة 𝑖.
دعونا نبدأ بتوزيع الأقواس الموجودة في بسط الكسر لدينا. هناك عدة طرق يمكننا من خلالها أن نفعل ذلك. لكننا سنستخدم طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. وهذا يعني أننا سنضرب الحد الأول من المقدار الأول في الحد الأول من المقدار الثاني. ثمانية في واحد يساوي ثمانية. سنضرب بعد ذلك الحدين الخارجيين. فنحصل على ثمانية مضروبًا في ثمانية 𝑖، وهذا يساوي 64𝑖. نضرب بعد ذلك الحدين الداخليين؛ أي سبعة 𝑖 مضروبًا في واحد، وهذا يساوي سبعة 𝑖. وأخيرًا، نضرب الحدين الأخيرين في كلا المقدارين. هذا يعطينا سبعة 𝑖 مضروبًا في ثمانية 𝑖، وهذا يساوي 56𝑖 تربيع.
يمكننا الآن تجميع الحدود المتشابهة، ونلاحظ أن 64𝑖 زائد سبعة 𝑖 يساوي 71𝑖. يمكننا أيضًا إيجاد قيمة هذا الحد الأخير. إنه 56𝑖 تربيع. نحن نعلم أن 𝑖 نفسه هو حل المعادلة 𝑥 تربيع يساوي سالب واحد. بعبارة أخرى، 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد. إذن، 56𝑖 تربيع يساوي 56 مضروبًا في سالب واحد، وهذا يعطينا سالب 56. ومن ثم، يصبح المقدار لدينا هو ثمانية زائد 71𝑖 ناقص 56، وهذا يساوي سالب 48 زائد 71𝑖.
بذلك، نكون قد أكملنا الخطوة الأولى. وهي إيجاد حاصل ضرب المقدارين الموجودين في بسط الكسر لدينا. لقد أوضحنا سابقًا أن الخطوة الآتية هي قسمة هذا المقدار على المقدار الموجود في مقام الكسر. لذا، سنحسب سالب 48 زائد 71𝑖 مقسومًا على ستة زائد أربعة 𝑖. لكن كيف نقسم على عدد مركب؟
للقسمة على عدد مركب، نضرب كلًّا من بسط المقدار ومقامه في مرافق المقام. دعونا نذكر أنفسنا بما يعنيه ذلك. لنفترض أن لدينا عددًا مركبًا عامًّا 𝑧 يساوي 𝑎 زائد 𝑏𝑖، حيث 𝑎 و𝑏 يجب أن يكونا عددين حقيقيين. سنجد أن مرافق العدد المركب، الذي نشير إليه عادة بـ 𝑧 بار أو 𝑧 ستار في بعض الأحيان، هو 𝑎 ناقص 𝑏𝑖. إذن، فإننا نوجد مرافق العدد المركب عن طريق تغيير إشارة الجزء التخيلي. وهذا يعني أن مرافق العدد المركب لمقام هذا الكسر، ومن ثم المقدار الذي سنضرب كلًّا من البسط والمقام فيه، هو ستة ناقص أربعة 𝑖.
والآن، يمكننا إجراء عملية مشابهة جدًّا للعملية السابقة. سنضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني في البسط، ثم سنكرر هذه العملية في المقام بشكل منفصل. سالب 48 مضروبًا في ستة يساوي سالب 288. نضرب بعد ذلك سالب 48 في سالب أربعة 𝑖 لنحصل على موجب 192𝑖. 71 مضروبًا في ستة يساوي 426. ومن ثم، يصبح لدينا 426𝑖. و71𝑖 مضروبًا في سالب أربعة 𝑖 يساوي سالب 284𝑖 تربيع.
حسنًا، دعونا نكرر هذه العملية في المقام. عندما نفعل ذلك، نحصل على 36 ناقص 24𝑖 زائد 24𝑖 ناقص 16𝑖 تربيع. والسبب في أننا ضربنا في مرافق العدد المركب هو أنه يمكننا الآن إلغاء حدي 𝑖. نحن نعلم أيضًا أن سالب 16𝑖 تربيع سيساوي عددًا حقيقيًّا؛ لأن 𝑖 تربيع يساوي سالب واحد. بالتعويض عن 𝑖 تربيع بسالب واحد، يصبح لدينا في البسط سالب 288 زائد 618𝑖 زائد 284. ويصبح المقام 36 زائد 16.
يمكننا تبسيط ذلك إلى سالب أربعة زائد 618𝑖 الكل على 52، ويمكننا بعد ذلك تقسيم هذا الكسر إلى كسرين منفصلين كما هو موضح. بمجرد أن نحصل على ذلك، يمكننا قسمة كل من البسط والمقام في كل جزء على العامل المشترك الأكبر لكل منهما. وبذلك، نجد أنه عند تبسيط الكسر لدينا، نحصل على سالب واحد على 13 زائد 309 على 26𝑖.
