فيديو السؤال: حل معادلات المصفوفات باستخدام معكوساتها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان معكوس ﺃ يساوي اثنين، سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب تسعة؛ وﺃ مضروبًا في ﺱ، ﺹ يساوي سالب اثنين، ثمانية، فما قيمة ﺹ؟

في هذه المعادلة المصفوفية، لا نعرف المصفوفة ﺃ ولا نعرف قيمتي ﺱ وﺹ، لكن لدينا معكوس ﺃ. إذن، لنفكر في كيفية استخدام معكوس ﺃ لمساعدتنا في الحل. إذا تمكنا من الحصول على المصفوفة ﺱ، ﺹ في حد ذاتها، فقد نتمكن من إيجاد قيمة ﺹ انطلاقًا من ذلك. في الواقع، سيكون من السهل عندئذ استخدام معكوس ﺃ. إذا بدأنا بضرب كلا طرفي المعادلة المصفوفية في معكوس ﺃ، فسنحصل على معكوس ﺃ مضروبًا في ﺃ. وسندرك أن ذلك نتيجة عامة للمصفوفات.

معكوس المصفوفة مضروبًا في المصفوفة نفسها يعطينا مصفوفة الوحدة دائمًا. إذن، بدلًا من معكوس ﺃ مضروبًا في ﺃ، يكون لدينا 𝐼 فقط. وكنتيجة عامة أخرى للمصفوفات، عندما نأخذ مصفوفة الوحدة ونضربها في المصفوفة ﺃ، نحصل على المصفوفة ﺃ. إذن، يمكننا إعادة كتابة 𝐼 مضروبًا في ﺱ، ﺹ على الصورة ﺱ، ﺹ فقط. الآن، يبدو أنه أصبح من السهل الحصول على الحل. لدينا معكوس المصفوفة ﺃ في السؤال. ومن هنا، يمكننا تبسيط الطرف الأيسر من هذه المعادلة المصفوفية. يمكننا فعل ذلك عن طريق ضرب المصفوفة اثنين، سالب خمسة، سالب ثمانية، سالب تسعة في المصفوفة سالب اثنين، ثمانية.

نعلم أن عملية ضرب هاتين المصفوفتين يجب أن تكون ممكنة؛ لأن المصفوفة الموجودة على اليمين مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، والمصفوفة الموجودة على اليسار مصفوفة رتبتها اثنان في واحد. وبما أن هذين العددين متساويان، فإن عملية الضرب هذه ستكون ممكنة، وسنحصل على مصفوفة رتبتها اثنان في واحد. إذن، لنبدأ بضرب هاتين المصفوفتين.

أولًا: لدينا اثنان مضروبًا في سالب اثنين، وهو ما يساوي سالب أربعة. ثم نضيف بعد ذلك سالب خمسة مضروبًا في ثمانية. وهذا يعطينا سالب ٤٠. وفي الصف السفلي، لدينا سالب ثمانية مضروبًا في سالب اثنين. وهذا يعطينا ١٦. ثم نضيف بعد ذلك سالب تسعة مضروبًا في ثمانية. وهذا يعطينا سالب ٧٢. وأخيرًا، دعونا نبسط كلا العنصرين في هذه المصفوفة. وهذا يعطينا المصفوفة سالب ٤٤، سالب ٥٦. يطلب منا السؤال الأصلي إيجاد قيمة ﺹ. إذن، يمكننا ملاحظة أن ﺹ يساوي سالب ٥٦. إذن، الإجابة هي ﺹ يساوي سالب ٥٦.