فيديو السؤال: إيجاد الشد في حبل يثبت قاعدة سلم في مكانها عند صعود رجل عليه الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

سلم منتظم وزنه ١٤٠ نيوتن، وطوله سبعة أمتار، يرتكز بطرفه ﺃ على أرض أفقية ملساء، وبطرفه الآخر ﺏ على حائط رأسي أملس. يظل السلم في حالة اتزان عن طريق ربط طرفه ﺃ بحبل مثبت عند نقطة على خط التقاء الحائط بالأرض تقع رأسيًّا أسفل ﺏ. يميل السلم على الأفقي بزاوية قياسها ٤٥ درجة. إذا صعد رجل كتلته ٨٥ كيلوجرامًا على السلم حتى وصل إلى نقطة تبعد ٤٫٩ أمتار عن الطرف ﺃ، فأوجد الشد في الحبل لأقرب منزلتين عشريتين. استخدم القيمة ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة لعجلة الجاذبية.

قبل أن نجري أي عمليات حسابية هنا، سنبدأ برسم مخطط لجسم حر. تذكر أن هذا رسم مبسط جدًّا للسيناريو لدينا لتوضيح كل القوى المؤثرة. هذا هو السلم الذي يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٤٥ درجة. السلم منتظم، ووزنه ١٤٠ نيوتن. هذا يعني أنه يمكننا التعامل مع قوة الوزن باعتبارها تؤثر عند منتصف السلم تمامًا. وبما أن السلم طوله سبعة أمتار، فلا بد من تأثير قوة الوزن عند مسافة ٣٫٥ أمتار من أي من طرفي السلم. عرفنا بعد ذلك أن السلم مثبت في مكانه عن طريق ربط الطرف ﺃ بحبل. وعليه، سنضيف قوة شد تؤثر في اتجاه اليمين. وهي القوة التي تبقي السلم في مكانه.

وفقًا لقانون نيوتن الثالث للحركة، نعلم أنه عندما يؤثر السلم بقوة ما على كل من الأرض والحائط، تنشأ قوتا رد فعل عموديتان للأرض والحائط على السلم. سنطلق عليهما رﺃ ورﺏ. لاحظ أنه لا توجد أي قوى احتكاك هنا. وذلك لأننا علمنا من المعطيات أن الأرض ملساء والحائط أملس. هناك قوة أخيرة واحدة علينا وضعها في الاعتبار. علمنا من السؤال أن رجلًا كتلته ٨٥ كيلوجرامًا يقف على السلم عند نقطة تبعد ٤٫٩ أمتار عن القاعدة ﺃ. قوة وزنه المؤثرة لأسفل وفقًا لقانون نيوتن الثاني للحركة تساوي الكتلة في عجلة الجاذبية؛ أي ٨٥ﺩ. والآن صار لدينا كل القوى. نلاحظ أن ما نريده هو إيجاد قيمة الشد في الحبل. لذا، سنفرغ بعض المساحة لكي نتمكن من إجراء بعض العمليات الحسابية.

حسنًا، علمنا من السؤال أن الجسم في حالة اتزان. ومن ثم، هناك أمران يمكننا التفكير فيهما. أولًا، لكي يكون جسم جاسئ في حالة اتزان، يجب أن يكون مجموع كل القوى المؤثرة عليه صفرًا. وهذا يشمل غالبًا القوى الرأسية والقوى الأفقية. وبالمثل، لا بد من أن يكون مجموع كل العزوم المؤثرة على الجسم صفرًا أيضًا. إننا سنتناول العزوم التي تؤثر في اتجاه دوران عقارب الساعة وأيضًا التي تؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وبالطبع، يحسب العزم بضرب القوة في البعد العمودي من نقطة تأثير القوة إلى النقطة التي يحاول الجسم الدوران حولها. سنبدأ باستخدام حقيقة أن مجموع القوى لا بد من أن يساوي صفرًا.

حسنًا، يمكننا تناول القوى الأفقية والرأسية، لكن في الواقع، ما نحاول إيجاده هو قيمة ﺵ. ولا تعنينا حقًّا قيمة رﺃ. لذا، سنتناول القوى الأفقية فقط. سنفترض أن اتجاه اليمين؛ أي اتجاه تأثير قوة الشد، هو الاتجاه الموجب. ومن ثم، فإن مجموع القوى المؤثرة في هذا الاتجاه يساوي ﺵ ناقص رﺏ. لقد قلنا إن مجموع هذه القوى يساوي صفرًا. لذلك، ستكون المعادلة الأولى هي: ﺵ ناقص رﺏ يساوي صفرًا، أو يمكننا كتابتها بدلًا من ذلك على الصورة: ﺵ يساوي رﺏ. والآن، بعد أن تناولنا القوى المؤثرة في الاتجاه الأفقي، سنتناول عزوم القوى حول نقطة.

حسنًا، يمكننا حساب العزوم حول أي من النقطتين لدينا، لكن عدد القوى المؤثرة عند النقطة ﺃ أكثر من عدد القوى المؤثرة عند النقطة ﺏ. لذا، سنحسب العزوم حول ﺃ مع افتراض أن الاتجاه عكس اتجاه دوران عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب. هناك ثلاث قوى تعنينا. هذه القوى هي: القوة التي مقدارها ١٤٠ نيوتن، والقوة ٨٥ﺩ، والقوة رﺏ. لكن تذكر أن العزوم تحسب بضرب القوة في البعد العمودي من خط عمل هذه القوة إلى النقطة التي يحاول الجسم الدوران حولها. ومن ثم، علينا تحليل كل قوة لإيجاد مركبتها التي تؤثر عموديًّا على الجسم؛ أي عموديًّا على السلم.

لذلك، سنرسم مثلثًا قائم الزاوية لكل قوة من هذه القوى؛ بحيث يتضمن كل مثلث زاوية قياسها ٤٥ درجة. إننا نريد إيجاد قيم ﺱ وﺹ وﻉ. هذه هي مركبات القوى المؤثرة عموديًّا على السلم. سنبدأ بـ ﺱ. وهو مركبة وزن السلم. لدينا طول الوتر في هذا المثلث، ونحاول إيجاد طول الضلع المجاور. لذا، سنستخدم نسبة جيب التمام. وعندما نفعل ذلك، نجد أن جتا ٤٥ يساوي ﺱ على ١٤٠، ومن ثم فإن ﺱ يساوي ١٤٠ في جتا ٤٥ درجة. والآن، بما أن جتا ٤٥ يساوي جذر اثنين على اثنين، يصبح لدينا: ١٤٠ في جذر اثنين على اثنين، وهو ما يساوي ٧٠ جذر اثنين. وعليه، فإن مركبة وزن السلم المؤثرة عموديًّا على السلم تساوي ٧٠ جذر اثنين نيوتن.

تحاول هذه القوة تدوير السلم في اتجاه دوران عقارب الساعة، ومن ثم فإن عزمها سيكون سالبًا. إنه يساوي القوة مضروبة في المسافة؛ أي ٧٠ جذر اثنين في ٣٫٥. وعليه، نجد أن العزم يساوي سالب ٧٠ جذر اثنين في ٣٫٥. سنكرر هذه العملية لإيجاد قيمة ﺹ. مرة أخرى سنستخدم نسبة جيب التمام. ولكن هذه المرة، المعادلة هي: جتا ٤٥ يساوي ﺹ على ٨٥ﺩ. إذن، ﺹ يساوي ٨٥ﺩ في جتا ٤٥. سنستعين هنا بحقيقة أن ﺩ يساوي ٩٫٨. ونجد أن الناتج يساوي ٤١٦٫٥ جذر اثنين. مرة أخرى، هذه القوة تحاول تدوير السلم في اتجاه دوران عقارب الساعة، ولذلك فإن عزمها سيكون سالبًا. إنها تؤثر عند نقطة تبعد ٤٫٩ أمتار عن ﺃ، ومن ثم فإن عزمها يساوي سالب ٤١٦٫٥ جذر اثنين في ٤٫٩.

يوجد عزم آخر يعنينا هنا. ولإيجاده، علينا حساب مركبة رﺏ التي تؤثر عموديًّا على السلم. هذه المرة، سنستخدم نسبة الجيب. نحن نعلم أن طول وتر هذا المثلث هو رﺏ. وما نحاول إيجاده هو طول الضلع المقابل. إذن، جا ٤٥ يساوي ﻉ على رﺏ، وهو ما يعني أن ﻉ يساوي رﺏ في جا ٤٥ درجة. والآن، تذكر أننا قلنا إن ﺵ يساوي رﺏ. ونحن نعلم أن جا ٤٥ يساوي جذر اثنين على اثنين، لذا يمكننا كتابة رﺏ في جا ٤٥ في صورة جذر اثنين على اثنين ﺵ. هذه المرة، سيكون العزم موجبًا، وذلك لأن هذه القوة تؤثر في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. وبذلك، نحصل على جذر اثنين على اثنين ﺵ في سبعة؛ لأن هذا هو طول السلم.

نحن نعلم أن مجموع هذه العزوم يساوي صفرًا. لذا، سنبسط هذا المقدار ثم نساويه بصفر. وبذلك، يصبح لدينا: سالب ٢٢٨٥٫٨٥ جذر اثنين زائد ٣٫٥ جذر اثنين ﺵ يساوي صفرًا. إننا نريد إيجاد قيمة ﺵ، لكن قبل أن نفعل ذلك، سنقسم طرفي المعادلة على جذر اثنين. بعد ذلك، نضيف ٢٢٨٥٫٨٥ إلى الطرفين، وأخيرًا نقسم الطرفين على ٣٫٥. وهذا يعطينا ٦٥٣٫١ أو ٦٥٣٫١٠ لأقرب منزلتين عشريتين. إذن، الشد يساوي ٦٥٣٫١٠ نيوتن.