فيديو: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة ضمنيًا باستخدام الاشتقاق الضمني وقاعدة حاصل الضرب

إذا كان 2𝑥³ + 5𝑦³ = 7𝑥𝑦، فأوجد 𝑑𝑦/𝑑𝑥.

٠٤:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان اثنان 𝑥 تكعيب زائد خمسة 𝑦 تكعيب يساوي سبعة 𝑥𝑦، فأوجد 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

أول شيء يمكننا أن نلاحظه هنا هو أن الدالة معرفة ضمنيًا. لذا، لتحديد قيمة 𝑑𝑦 𝑑𝑥 وإيجاد المشتقة، ما علينا فعله هو الاشتقاق ضمنيًا. وأولى خطواتنا لاشتقاق هذه الدالة اشتقاقًا ضمنيًا هي اشتقاقها بالنسبة إلى 𝑥. ولكي نفعل ذلك، سنتعامل مع كل حد على حدة. بداية، سنتعامل مع الحد الأول، وهو اثنان 𝑥 تكعيب. عند اشتقاق ذلك بالنسبة إلى 𝑥، نحصل على ستة 𝑥 تربيع. ونحصل على ذلك لأننا في الحقيقة نضرب المعامل في الأس، إذن، اثنان في ثلاثة يساوي ستة. ثم نقلل الأس بمقدار واحد، لنحصل على ستة 𝑥 تربيع.

ثم سيتوجب علينا أن نتعامل مع الحد الثاني بنحو مختلف. وهذا لأننا إذا أردنا العثور على مشتقة خمسة 𝑦 تكعيب بالنسبة إلى 𝑥، فسيساوي ذلك المشتقة بالنسبة إلى 𝑦 في 𝑑𝑦 𝑑𝑥. وبناء عليه، سيصبح الحد الثاني 15𝑦 تربيع — لأن هذه هي مشتقة خمسة 𝑦 تكعيب بالنسبة إلى 𝑦 — مضروبًا في 𝑑𝑦 𝑑𝑥. حسنًا، هذا رائع! لقد حصلنا على الحدين الأولين.

والآن، هذا سيساوي مشتقة سبعة 𝑥𝑦 بالنسبة إلى 𝑥. ولكي نجد ذلك، سنستخدم قاعدة حاصل الضرب. تخبرنا قاعدة حاصل الضرب أنه إذا كانت لدينا دالة بالصيغة 𝑦 تساوي 𝑢𝑣، فإن 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ستساوي 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 زائد 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥. حسنًا، رائع. فلنستخدم هذه القاعدة في اشتقاق سبعة 𝑥𝑦.

في البداية، لنحدد قيمة كل من 𝑢 و𝑣. سأعوض عن 𝑢 بسبعة 𝑥 وعن 𝑣 بـ 𝑦. إذن، بعد ذلك، سيكون علينا إيجاد 𝑑𝑢 𝑑𝑥. حسنًا، 𝑑𝑢 𝑑𝑥 ستساوي سبعة. هذا ما نحصل عليه إذا اشتققنا سبعة 𝑥. ثم بعد ذلك سيكون علينا إيجاد 𝑑𝑣 𝑑𝑥. حسنًا، مرة أخرى، باستخدام القاعدة نفسها التي استخدمناها في وقت سابق مع تطبيق قاعدة السلسلة على الحد الثاني، يمكننا أن نقول إن 𝑑𝑣 𝑑𝑥 ستساوي مشتقة 𝑦 — وهي 𝑣 بالنسبة إلى 𝑦، لذا ستصبح 𝑑 𝑑𝑦 لـ 𝑦 — مضروبة في 𝑑𝑦 𝑑𝑥، لنحصل على 𝑑𝑦 𝑑𝑥. لأننا إذا اشتققنا 𝑦، فسنحصل على واحد. إذن، واحد في 𝑑𝑦 𝑑𝑥 يساوي 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

حسنًا، لدينا الآن 𝑢 و𝑣 و𝑑𝑢 𝑑𝑥 و𝑑𝑣 𝑑𝑥، ويمكننا عن طريق قاعدة حاصل الضرب إيجاد مشتقة سبعة 𝑥𝑦 بالنسبة إلى 𝑥. إذن، أولًا، سنحصل على سبعة 𝑥 في 𝑑𝑦 𝑑𝑥. وذلك لأن سبعة 𝑥 هي 𝑢 و𝑑𝑦 𝑑𝑥 هي 𝑑𝑣 𝑑𝑥. وسيكون هذا زائد سبعة 𝑦 لأن 𝑦 هي 𝑣 وسبعة هي 𝑑𝑢 𝑑𝑥. عظيم، لقد أوجدنا الآن مشتقة سبعة 𝑥𝑦 بالنسبة إلى 𝑥. حسنًا، سننتقل الآن إلى المرحلة التالية للاشتقاق الضمني. وما نريده هو إعادة الترتيب بحيث تكون 𝑑𝑦 𝑑𝑥 في طرف بمفرده من المعادلة.

المرحلة الأولى هي جعل الحدين المحتويين على 𝑑𝑦 𝑑𝑥 في جانب واحد من المعادلة. إذن، سيصبح لدينا ستة 𝑥 تربيع ناقص سبعة 𝑦 يساوي سبعة 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ناقص 15𝑦 تربيع 𝑑𝑦 𝑑𝑥. والآن، يمكننا أن نحلل الجانب الأيمن من المعادلة لنحصل على ستة 𝑥 تربيع ناقص سبعة 𝑦 يساوي، بعد أخذ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 كعامل مشترك، 𝑑𝑦 𝑑𝑥 في سبعة 𝑥 ناقص 15𝑦 تربيع. إذن، يمكننا الآن قسمة الطرفين على سبعة 𝑥 ناقص 15𝑦 تربيع. حسنًا، سنحصل على ستة 𝑥 تربيع ناقص سبعة 𝑦 على سبعة 𝑥 ناقص 15𝑦 تربيع يساوي 𝑑𝑦 𝑑𝑥.

لذا، يمكننا القول إنه بالنظر إلى أن اثنين 𝑥 تكعيب زائد خمسة 𝑦 تكعيب يساوي سبعة 𝑥𝑦، فإن 𝑑𝑦 𝑑𝑥 تساوي ستة 𝑥 تربيع ناقص سبعة 𝑦 على سبعة 𝑥 ناقص 15𝑦 تربيع.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.