فيديو السؤال: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة ضمنيًا باستخدام الاشتقاق الضمني وقاعدة حاصل الضرب الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

إذا كان اثنان ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد خمسة ‪𝑦‬‏ تكعيب يساوي سبعة ‪𝑥𝑦‬‏، فأوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

أول شيء يمكننا أن نلاحظه هنا هو أن الدالة معرفة ضمنيًا. لذا، لتحديد قيمة ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ وإيجاد المشتقة، ما علينا فعله هو الاشتقاق ضمنيًا. وأولى خطواتنا لاشتقاق هذه الدالة اشتقاقًا ضمنيًا هي اشتقاقها بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. ولكي نفعل ذلك، سنتعامل مع كل حد على حدة. بداية، سنتعامل مع الحد الأول، وهو اثنان ‪𝑥‬‏ تكعيب. عند اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، نحصل على ستة ‪𝑥‬‏ تربيع. ونحصل على ذلك لأننا في الحقيقة نضرب المعامل في الأس، إذن، اثنان في ثلاثة يساوي ستة. ثم نقلل الأس بمقدار واحد، لنحصل على ستة ‪𝑥‬‏ تربيع.

ثم سيتوجب علينا أن نتعامل مع الحد الثاني بنحو مختلف. وهذا لأننا إذا أردنا العثور على مشتقة خمسة ‪𝑦‬‏ تكعيب بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏، فسيساوي ذلك المشتقة بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وبناء عليه، سيصبح الحد الثاني ‪15𝑦‬‏ تربيع — لأن هذه هي مشتقة خمسة ‪𝑦‬‏ تكعيب بالنسبة إلى ‪𝑦 ‬‏— مضروبًا في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. حسنًا، هذا رائع! لقد حصلنا على الحدين الأولين.

والآن، هذا سيساوي مشتقة سبعة ‪𝑥𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. ولكي نجد ذلك، سنستخدم قاعدة حاصل الضرب. تخبرنا قاعدة حاصل الضرب أنه إذا كانت لدينا دالة بالصيغة ‪𝑦‬‏ تساوي ‪𝑢𝑣‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ستساوي ‪𝑢 d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ زائد ‪𝑣 d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. حسنًا، رائع. فلنستخدم هذه القاعدة في اشتقاق سبعة ‪𝑥𝑦‬‏.

في البداية، لنحدد قيمة كل من ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏. سأعوض عن ‪𝑢‬‏ بسبعة ‪𝑥‬‏ وعن ‪𝑣‬‏ بـ ‪𝑦‬‏. إذن، بعد ذلك، سيكون علينا إيجاد ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. حسنًا، ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ستساوي سبعة. هذا ما نحصل عليه إذا اشتققنا سبعة ‪𝑥‬‏. ثم بعد ذلك سيكون علينا إيجاد ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. حسنًا، مرة أخرى، باستخدام القاعدة نفسها التي استخدمناها في وقت سابق مع تطبيق قاعدة السلسلة على الحد الثاني، يمكننا أن نقول إن ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ستساوي مشتقة ‪𝑦 ‬‏— وهي ‪𝑣‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏، لذا ستصبح ‪d𝑦‬‏ على ‪d‬‏ لـ ‪𝑦 ‬‏— مضروبة في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، لنحصل على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. لأننا إذا اشتققنا ‪𝑦‬‏، فسنحصل على واحد. إذن، واحد في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

حسنًا، لدينا الآن ‪𝑢‬‏ و‪𝑣‬‏ و‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ و‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏، ويمكننا عن طريق قاعدة حاصل الضرب إيجاد مشتقة سبعة ‪𝑥𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. إذن، أولًا، سنحصل على سبعة ‪𝑥‬‏ في ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وذلك لأن سبعة ‪𝑥‬‏ هي ‪𝑢‬‏ و‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ هي ‪d𝑣‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وسيكون هذا زائد سبعة ‪𝑦‬‏ لأن ‪𝑦‬‏ هي ‪𝑣‬‏ وسبعة هي ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. عظيم، لقد أوجدنا الآن مشتقة سبعة ‪𝑥𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. حسنًا، سننتقل الآن إلى المرحلة التالية للاشتقاق الضمني. وما نريده هو إعادة الترتيب بحيث نعزل ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ في أحد طرفي المعادلة بمفرده.

المرحلة الأولى هي جعل الحدين المحتويين على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ في جانب واحد من المعادلة. إذن، سيصبح لدينا ستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص سبعة ‪𝑦‬‏ يساوي سبعة ‪𝑥 d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ ناقص ‪15𝑦‬‏ تربيع ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. والآن، يمكننا أن نحلل الطرف الأيمن من المعادلة لنحصل على ستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص سبعة ‪𝑦‬‏ يساوي، بعد أخذ ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ كعامل مشترك، ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ في سبعة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪15𝑦‬‏ تربيع. إذن، يمكننا الآن قسمة الطرفين على سبعة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪15𝑦‬‏ تربيع. حسنًا، سنحصل على ستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص سبعة ‪𝑦‬‏ على سبعة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪15𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

لذا، يمكننا القول إنه بالنظر إلى أن اثنين ‪𝑥‬‏ تكعيب زائد خمسة ‪𝑦‬‏ تكعيب يساوي سبعة ‪𝑥𝑦‬‏، فإن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ تساوي ستة ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص سبعة ‪𝑦‬‏ على سبعة ‪𝑥‬‏ ناقص ‪15𝑦‬‏ تربيع.