نسخة الفيديو النصية
ما نوع المتتابعة التالية: واحد على اثنين، 13 على ستة، 23 على ستة، 11 على اثنين، 43 على ستة.
عندما يطرح سؤال عن نوع المتتابعة فإن ما يعنيه هو: هل المتتابعة حسابية أم هندسية؟ أول ما علينا فعله هو التفكير في تعريف كل من المتتابعة الحسابية والمتتابعة الهندسية. والسبب أنه إذا علمنا تعريفهما، فسيساعدنا ذلك في تحديد نوع المتتابعة.
أولًا، لنلق نظرة على المتتابعة الحسابية. تعرف المتتابعة الحسابية بأنها متتابعة يكون الفرق بين كل حدين متتاليين فيها ثابتًا. إذن، يوجد فرق مشترك. ما سنفعله الآن هو استخدام هذا التعريف لمعرفة ما إذا كانت المتتابعة حسابية أم لا. أول شيء فعلناه هنا هو تسمية الحدود. فأصبح لدينا 𝑛 واحد و𝑛 اثنان و𝑛 ثلاثة، إلخ. والهدف من ذلك هو أن نتمكن من معرفة رتبة الحد.
حتى تكون هذه المتتابعة حسابية، فإن الشيء الذي يجب أن يحدث أنه عند طرح كل حد من الحد الذي يليه، نحصل على أساس هذه المتتابعة الحسابية. فإذا طرحنا الحد الأول من الحد الثاني، نحصل على 13 على ستة ناقص واحد على اثنين يساوي 13 على ستة ناقص ثلاثة على ستة. لأن واحد على اثنين يساوي ثلاثة على ستة. ويجب أن يكون لدينا المقام نفسه. إذن يصبح الفرق 10 على ستة. حسنًا، هذا رائع. عرفنا الفرق.
الآن سنطرح الحد الثاني من الحد الثالث. عند إجراء ذلك، نحصل على 23 على ستة ناقص 13 على ستة، وهو ما سيعطينا 10 على ستة مرة أخرى. حتى الآن لدينا فرق مشترك كما نرى. حسنًا، رائع. حسنًا، سنقارن زوجين آخرين من الحدود للتأكد. لكن يبدو أن المتتابعة حسابية فعلًا.
إذا طرحنا الحد الثالث من الحد الرابع، نحصل على 11 على اثنين ناقص 23 على ستة يساوي 33 على ستة ناقص 23 على ستة. والسبب في ذلك أن 11 على اثنين يساوي 33 على ستة. لأنه إذا ضربنا البسط والمقام في ثلاثة، فسنحصل على 33 على ستة. مرة أخرى، يكون الناتج الفرق المشترك وهو 10 على ستة. حسنًا، هذا رائع. الآن سننتقل إلى الزوج الأخير.
لدينا الحد الخامس ناقص الحد الرابع. 43 على ستة ناقص 11 على اثنين. سيعطينا هذا 43 على ستة ناقص 33 على ستة. والسبب أنه كما ذكرنا 11 على اثنين يساوي 33 على ستة. بالتالي الإجابة 10 على ستة، مرة أخرى. إذن، نستطيع أن نقول، نعم بالتأكيد. هذه المتتابعة حسابية لأن لها أساس متتابعة حسابية هو 10 على ستة.
ما سنفعله الآن هو إلقاء نظرة على تعريف المتتابعة الهندسية. والسبب أننا سنحاول أيضًا معرفة هل كانت هذه المتتابعة هندسية أيضًا أم لا. حسنًا، المتتابعة الهندسية هي متتابعة لها نسبة ثابتة بين كل حدين متتاليين. أي إن لها أساس متتابعة هندسية. إذن، لمعرفة هل كانت المتتابعة هندسية أم لا، سنقسم أولًا الحد الثاني على الحد الأول.
13 على ستة مقسومًا على واحد على اثنين. لنتمكن من إجراء القسمة، سنستخدم قاعدة قسمة الكسور. إذن، ما سنفعله هو إيجاد مقلوب الكسر الثاني، لذا سنقلبه. ثم نجري عملية ضرب. لدينا 13 على ستة في اثنين على واحد يساوي 26 على ستة. والسبب أن 13 في اثنين يساوي 26 وستة في واحد يساوي ستة. إذا حولنا هذا الكسر إلى عدد عشري فسيصبح 4.3، دوري.
ما سنفعله الآن هو مقارنة هذه النسبة بالنسبة بين زوج حدود آخر لمعرفة هل كان لها أساس متتابعة هندسية. حسنًا، إذا نظرنا إلى الحدين الثالث والثاني، وبقسمة الحد الثالث على الحد الثاني، سنحصل على 23 على ستة مقسومًا على 13 على ستة. نستخدم قاعدة قسمة الكسور نفسها، سيصبح لدينا 23 على ستة في ستة على 13 يساوي 138 على 78. عند تحويل ذلك إلى عدد عشري، نحصل على 1.769، إلى آخر العدد.
إذن يمكننا القول إن الحد الثاني مقسومًا على الحد الأول لا يساوي الحد الثالث مقسومًا على الحد الثاني. وبالتالي، لا يوجد أساس للمتتابعة الهندسية. ومن ثم، بالرجوع إلى تعريفاتنا، يمكننا استنتاج أن هذه المتتابعة ليست هندسية. يمكننا تعديل الإجابة التي تقول إن هذه المتتابعة متتابعة حسابية، لأن لها أساس متتابعة حسابية يساوي 10 على ستة. فما يمكننا قوله هو أن المتتابعة حسابية فحسب لأن لها فرقًا مشتركًا هو 10 على ستة. وليس لها أساس متتابعة هندسية.
