فيديو السؤال: حل المسائل التي تتضمن قطاعات دائرية الرياضيات

قرر بستاني تصميم منطقة عشبية خضراء في حديقة ذات مناظر طبيعية، وتقسيمها إلى أجزاء متسلسلة مع أفنية دائرية تصل إلى المنطقة العشبية، كما هو موضح في الشكل التالي. يقسم البستاني المنطقة العشبية الخضراء الدائرية إلى ستة قطاعات دائرية متساوية، طول نصف قطر كل منها ثماني ياردات. الخطان المستقيمان ﻭﺃ، ‎ﻭﺏ مماسان للدائرة، والقوس ﺃﺏ يمس الدائرة في نقطة واحدة. أوجد مساحة القطاع ﻭﺃﺏ. اكتب إجابتك بدلالة ‏𝜋‏. يريد البستاني أن يحسب نصف قطر الفناء الدائري. باستخدام النسب المثلثية، احسب نصف قطر الفناء. اكتب الإجابة في صورة كسر. احسب إجمالي المساحة الخضراء في قطاع واحد. اكتب الإجابة بدلالة ‏𝜋‏، وفي أبسط صورة.

٠٥:٤٣

‏نسخة الفيديو النصية

قرر بستاني تصميم منطقة عشبية خضراء في حديقة ذات مناظر طبيعية، وتقسيمها إلى أجزاء متسلسلة مع أفنية دائرية تصل إلى المنطقة العشبية، كما هو موضح في الشكل التالي. يقسم البستاني المنطقة العشبية الخضراء الدائرية إلى ستة قطاعات دائرية متساوية، طول نصف قطر كل منها ثماني ياردات. الخطان المستقيمان ﻭﺃ و‎ﻭﺏ مماسان للدائرة، والقوس ﺃﺏ يمس الدائرة في نقطة واحدة. أوجد مساحة القطاع ﻭﺃﺏ. اكتب إجابتك بدلالة ‏𝜋‏.

تذكر أن صيغة حساب مساحة قطاع زاويته 𝜃 مقيسة بالراديان ونصف قطره نق هي نصف مضروبًا في نق تربيع مضروبًا في 𝜃. لا يمكننا استخدام هذه الصيغة الآن لإيجاد مساحة القطاع ﻭﺃﺏ؛ وذلك لأن قياس الزاوية المحصورة معطى بالدرجات وليس بالراديان. علينا أولًا تغيير القياس ٦٠ درجة إلى راديان بالضرب في ‏𝜋‏ على ١٨٠.

يمكننا إجراء حذف تبادلي للعامل ٦٠. يوضح هذا أن القياس ٦٠ درجة يكافئ ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان. والآن، سنعوض بالقيم التي نعرفها عن القطاع في صيغة حساب مساحته. سيصبح لدينا نصف مضروبًا في نصف القطر تربيع. وهو هنا يساوي ثمانية تربيع، وهذا كله مضروب في ‏𝜋‏ على ثلاثة. ثمانية تربيع يساوي ٦٤. ونصف ٦٤ يساوي ٣٢. إذن، نصف مضروبًا في ثمانية تربيع مضروبًا في ‏𝜋‏ على ثلاثة يساوي ٣٢‏𝜋‏ على ثلاثة. يمكننا إذن قول إن مساحة القطاع تساوي ٣٢‏𝜋‏ على ثلاثة ياردة مربعة.

يريد البستاني أن يحسب نصف قطر الفناء الدائري. باستخدام النسب المثلثية، احسب نصف قطر الفناء. اكتب الإجابة في صورة كسر.

هناك مثلثان علينا الاستعانة بهما لمساعدتنا في إيجاد نصف قطر الفناء الدائري. تذكر أن قياس الزاوية المحصورة بين مماس الدائرة ونصف قطر الدائرة يساوي ‏𝜋‏ على اثنين راديان. إذن، يمكننا إضافة نصف قطر الفناء لتكوين مثلث قائم الزاوية بحيث يكون أحد رءوسه هو النقطة نق، وهي مركز الدائرة. ونحن نعلم أيضًا أنه إذا مددنا الخط المستقيم ﻭنق حتى محيط الدائرة عند ﺟ، فسيكون طول هذا المستقيم بأكمله يساوي ثماني ياردات؛ لأنه المستقيم الذي يصل بين مركز المنطقة العشبية الخضراء ونقطة على محيطها. إنه يساوي نصف قطر المنطقة العشبية الخضراء نفسها.

القطعة المستقيمة نقﺟ هي أيضًا نصف قطر في الدائرة. وبما أن طول كل من ﻭنق ونقﺟ يساوي الطول الإجمالي، وهو ثماني ياردات، ونقﺟ هو نصف قطر الدائرة، يمكننا إذن قول إن ﻭنق زائد نق يساوي ثمانية. سنطرح ﻭنق من طرفي هذه المعادلة، وبذلك نجد أن نصف القطر يساوي ثمانية ناقص ﻭنق. سنفكر الآن في المثلث القائم الزاوية الصغير. يمكننا استخدام حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لإيجاد تعبير دال على نصف قطر الفناء بدلالة المستقيم ﻭنق.

يمكننا استخدام نسبة جيب الزاوية؛ حيث يكون نق هو الضلع المقابل للزاوية المحصورة وﻭنق هو الوتر. تذكر أننا نصفنا الزاوية التي قياسها ٦٠ درجة. القياس ٦٠ درجة يكافئ ‏𝜋‏ على ثلاثة راديان. إذن، نصف هذا القياس يساوي ‏𝜋‏ على ستة راديان. ومن ثم، يصبح لدينا جا ‏𝜋‏ على ستة يساوي نق على ﻭنق. إذا ضربنا طرفي المعادلة في ﻭنق، ثم قسمنا على جا ‏𝜋‏ على ستة، فسنحصل على ﻭنق يساوي نق على جا ‏𝜋‏ على ستة. وبما أن جا ‏𝜋‏ على ستة يساوي نصفًا، فهذا يعني أن ﻭنق يساوي اثنين نق.

بالتعويض باثنين نق في المعادلة الأولى، يصبح لدينا نق يساوي ثمانية ناقص اثنين نق. يمكننا إضافة اثنين نق إلى كلا الطرفين. وبعد ذلك، نقسم الطرفين على ثلاثة. وهذا يعني أن نصف قطر الفناء الدائري يساوي ثمانية أثلاث ياردة.

احسب إجمالي المساحة الخضراء في قطاع واحد. اكتب الإجابة بدلالة ‏𝜋‏، وفي أبسط صورة.

لقد أوجدنا بالفعل قيمة إجمالي مساحة القطاع. لإيجاد المساحة الخضراء، علينا طرح مساحة الفناء من هذه القيمة. مساحة الفناء الدائري تعطى بالصيغة ‏𝜋‏ مضروبًا في نق تربيع. وبما أن نصف قطر الفناء الدائري يساوي ثمانية أثلاث، وسيصبح ذلك ‏𝜋‏ مضروبًا في ثمانية أثلاث تربيع، ما يساوي ٦٤‏𝜋‏ على تسعة. ‏٣٢‏𝜋‏ على ثلاثة ناقص ٦٤‏𝜋‏ على تسعة يساوي ٣٢‏𝜋‏ على تسعة. وبذلك، نكون قد أوجدنا قيمة إجمالي المساحة الخضراء في قطاع واحد؛ وهي ٣٢‏𝜋‏ على تسعة ياردة مربعة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.