فيديو: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة بالمعادلات البارامترية

إذا كان ‪𝑥 = 3𝑡³ + 1‬‏، ‪𝑦 = 5𝑡² − 𝑡‬‏، فأوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏.

٠٣:٣٩

‏نسخة الفيديو النصية

‏إذا كان ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد واحد و‪𝑦‬‏ يساوي خمسة ‪𝑡‬‏ تربيع ناقص ‪𝑡‬‏، فأوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

حسنًا، لدينا هنا زوج من المعادلات البارامترية. ولإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏، ليس علينا كتابته على الصورة الكارتيزية. ويمكننا إيجاده باستخدام قاعدة السلسلة. وتنص قاعدة السلسلة على أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑡‬‏ في هذه الحالة، لأن ‪𝑡‬‏ هو المتغير الآخر، مضروبًا في ‪d𝑡‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وهذا جيد لأنه يمكننا من اشتقاق كل معادلة بارامترية على حدة ثم دمجهما معًا لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

حسنًا، لنفعل ذلك. أولًا، سنبدأ بالمعادلة ‪𝑦‬‏ يساوي خمسة ‪𝑡‬‏ تربيع ناقص ‪𝑡‬‏. إذن، لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑡‬‏، سنشتق تلك المعادلة. والحد الأول سيكون ‪10𝑡‬‏. وحصلنا عليه عن طريق ضرب اثنين في خمسة لأننا نضرب الأس في المعامل، فيعطينا ‪10‬‏. وهذا ‪𝑡‬‏ أس اثنين ناقص واحد. وذلك لأننا نطرح واحدًا من الأس عند الاشتقاق.

واشتقاق الحد الثاني يساوي سالب واحد. حسنًا، رائع! حصلنا على ‪10𝑡‬‏ ناقص واحد. يمكننا الآن الانتقال إلى إيجاد الجزء الثاني. لكن بالنسبة إلى الجزء الثاني كما نرى، بما أننا نحاول إيجاد ‪d𝑡‬‏ على ‪d𝑥‬‏، فعلينا أن نفعل ذلك بطريقة مختلفة قليلًا. والطريقة التي سنفعل بها ذلك هي أن نوجد ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑡‬‏ ثم نوجد مقلوبها لأنه سيعطينا ‪d𝑡‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

فلنبدأ الآن ونوجد ذلك. إذن لدينا ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد واحد. بالتالي، سنحصل على ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑡‬‏ يساوي تسعة ‪𝑡‬‏ تربيع. وحصلنا على ذلك عن طريق ضرب ثلاثة في ثلاثة لأننا نضرب الأس في المعامل. وذلك ‪𝑡‬‏ أس ثلاثة ناقص واحد. وقد حصلنا على هذا لأننا نطرح واحدًا عند الاشتقاق.

فحصلنا على تسعة ‪𝑡‬‏ تربيع. واشتقاق موجب واحد يساوي صفرًا. حسنًا، رائع! حصلنا على تسعة ‪𝑡‬‏ تربيع كقيمة لـ ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑡‬‏. وبالتالي، يمكننا القول إن ‪d𝑡‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي واحدًا على تسعة ‪𝑡‬‏ تربيع. وذلك لأننا، كما قلنا من قبل، سنوجد مقلوب تسعة ‪𝑡‬‏ تربيع.

حسنًا، هذا رائع! فقد أوجدنا ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑡‬‏ و‪d𝑡‬‏ على ‪d𝑥‬‏. والآن لنستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. وباستخدام قاعدة السلسلة، يمكننا القول إن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪10𝑡‬‏ ناقص واحد في واحد على تسعة ‪𝑡‬‏ تربيع. وبالتالي، يمكننا القول إن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪10𝑡‬‏ ناقص واحد على تسعة ‪𝑡‬‏ تربيع، إذا كان ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة ‪𝑡‬‏ تكعيب زائد واحد و‪𝑦‬‏ يساوي خمسة ‪𝑡‬‏ تربيع ناقص ‪𝑡‬‏.

وهكذا، أصبح لدينا الحل النهائي. أريد فقط أن أراجع سريعًا ما سبق لنتذكر ما فعلناه. أولًا، كان لدينا معادلتان بارامتريتان. ولهذا، استخدمنا قاعدة السلسلة لإيجاد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏. ثم اشتققنا كلتا المعادلتين البارامتريتين. وبذلك حصلنا في هذه الحالة على ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑡‬‏ ثم ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑡‬‏. لكن تذكروا أنه كان علينا إيجاد مقلوب ‪d𝑥‬‏ على ‪d𝑡‬‏ لإيجاد ‪d𝑡‬‏ على ‪d𝑥‬‏، ثم أخيرًا طبقنا قاعدة السلسلة للحصول على الحل النهائي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.