فيديو: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة بالمعادلات البارامترية

إذا كان 𝑥 = 3𝑡³ + 1، 𝑦 = 5𝑡² − 𝑡، فأوجد d𝑦/d𝑥.

٠٣:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑡 تكعيب زائد واحد و𝑦 يساوي خمسة 𝑡 تربيع ناقص 𝑡، فأوجد d𝑦 على d𝑥.

حسنًا، لدينا هنا زوج من المعادلات البارامترية. ولإيجاد d𝑦 على d𝑥، ليس علينا كتابته على الصورة الكارتيزية. ويمكننا إيجاده باستخدام قاعدة السلسلة. وتنص قاعدة السلسلة على أن d𝑦 على d𝑥 يساوي d𝑦 على d𝑡 في هذه الحالة، لأن 𝑡 هو المتغير الآخر، مضروبًا في d𝑡 على d𝑥. وهذا جيد لأنه يمكننا من اشتقاق كل معادلة بارامترية على حدة ثم دمجهما معًا لإيجاد d𝑦 على d𝑥.

حسنًا، لنفعل ذلك. أولًا، سنبدأ بالمعادلة 𝑦 يساوي خمسة 𝑡 تربيع ناقص 𝑡. إذن، لإيجاد d𝑦 على d𝑡، سنشتق تلك المعادلة. والحد الأول سيكون 10𝑡. وحصلنا عليه عن طريق ضرب اثنين في خمسة لأننا نضرب الأس في المعامل، فيعطينا 10. وهذا 𝑡 أس اثنين ناقص واحد. وذلك لأننا نطرح واحدًا من الأس عند الاشتقاق.

واشتقاق الحد الثاني يساوي سالب واحد. حسنًا، رائع! حصلنا على 10𝑡 ناقص واحد. يمكننا الآن الانتقال إلى إيجاد الجزء الثاني. لكن بالنسبة إلى الجزء الثاني كما نرى، بما أننا نحاول إيجاد d𝑡 على d𝑥، فعلينا أن نفعل ذلك بطريقة مختلفة قليلًا. والطريقة التي سنفعل بها ذلك هي أن نوجد d𝑥 على d𝑡 ثم نوجد مقلوبها لأنه سيعطينا d𝑡 على d𝑥.

فلنبدأ الآن ونوجد ذلك. إذن لدينا 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑡 تكعيب زائد واحد. بالتالي، سنحصل على d𝑥 على d𝑡 يساوي تسعة 𝑡 تربيع. وحصلنا على ذلك عن طريق ضرب ثلاثة في ثلاثة لأننا نضرب الأس في المعامل. وذلك 𝑡 أس ثلاثة ناقص واحد. وقد حصلنا على هذا لأننا نطرح واحدًا عند الاشتقاق.

فحصلنا على تسعة 𝑡 تربيع. واشتقاق موجب واحد يساوي صفرًا. حسنًا، رائع! حصلنا على تسعة 𝑡 تربيع كقيمة لـ d𝑥 على d𝑡. وبالتالي، يمكننا القول إن d𝑡 على d𝑥 يساوي واحدًا على تسعة 𝑡 تربيع. وذلك لأننا، كما قلنا من قبل، سنوجد مقلوب تسعة 𝑡 تربيع.

حسنًا، هذا رائع! فقد أوجدنا d𝑦 على d𝑡 وd𝑡 على d𝑥. والآن لنستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد d𝑦 على d𝑥. وباستخدام قاعدة السلسلة، يمكننا القول إن d𝑦 على d𝑥 يساوي 10𝑡 ناقص واحد في واحد على تسعة 𝑡 تربيع. وبالتالي، يمكننا القول إن d𝑦 على d𝑥 يساوي 10𝑡 ناقص واحد على تسعة 𝑡 تربيع، إذا كان 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑡 تكعيب زائد واحد و𝑦 يساوي خمسة 𝑡 تربيع ناقص 𝑡.

وهكذا، أصبح لدينا الحل النهائي. أريد فقط أن أراجع سريعًا ما سبق لنتذكر ما فعلناه. أولًا، كان لدينا معادلتان بارامتريتان. ولهذا، استخدمنا قاعدة السلسلة لإيجاد d𝑦 على d𝑥. ثم اشتققنا كلتا المعادلتين البارامتريتين. وبذلك حصلنا في هذه الحالة على d𝑦 على d𝑡 ثم d𝑥 على d𝑡. لكن تذكروا أنه كان علينا إيجاد مقلوب d𝑥 على d𝑡 لإيجاد d𝑡 على d𝑥، ثم أخيرًا طبقنا قاعدة السلسلة للحصول على الحل النهائي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.