فيديو: إيجاد المشتقة الأولى لدالة معرفة بالمعادلات البارامترية

إذا كان ‪𝑥 = 3𝑡³ + 1‬‏، ‪𝑦 = 5𝑡² − 𝑡‬‏، فأوجد ‪d𝑦/d𝑥‬‏.

٠٣:١٩

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كان 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑡 تكعيب زائد واحد و𝑦 يساوي خمسة 𝑡 تربيع ناقص 𝑡، فأوجد d𝑦 d𝑥.

حسنًا، لدينا هنا زوج من المعادلات البارامترية. ولإيجاد d𝑦 d𝑥، ليس علينا كتابته في الصورة الإحداثية. ويمكننا إيجاده باستخدام قاعدة السلسلة. وتنص قاعدة السلسلة على أن d𝑦 d𝑥 يساوي d𝑦 d𝑡 في هذه الحالة، لأن 𝑡 هو المتغير الآخر، مضروبًا في d𝑡 d𝑥. وهذا جيد لأنه يمكننا من اشتقاق كل معادلة بارامترية على حدة ثم دمجهما معًا لإيجاد d𝑦 d𝑥.

حسنًا، لنفعل ذلك. أولًا، سنبدأ بالمعادلة 𝑦 يساوي خمسة 𝑡 تربيع ناقص 𝑡. إذن، لإيجاد d𝑦 d𝑡، سنشتق تلك المعادلة. والحد الأول سيكون 10𝑡. وحصلنا عليه عن طريق ضرب اثنين في خمسة لأننا نضرب الأس في المعامل، فيعطينا 10. وهذا 𝑡 مرفوعًا للقوة الأسية اثنين ناقص واحد. وذلك لأننا نطرح واحدًا من الأس عند الاشتقاق.

واشتقاق الحد الثاني يساوي سالب واحد. حسنًا، رائع! حصلنا على 10𝑡 ناقص واحد. يمكننا الآن الانتقال إلى إيجاد الجزء الثاني. لكن بالنسبة إلى الجزء الثاني كما نرى، بما أننا نحاول إيجاد d𝑡 d𝑥، فعلينا أن نفعل ذلك بطريقة مختلفة قليلًا. والطريقة التي سنفعل بها ذلك هي أن نوجد d𝑥 d𝑡 ثم نوجد مقلوبها لأنه سيعطينا d𝑡 d𝑥.

فلنبدأ الآن ونوجد ذلك. إذن لدينا 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑡 تكعيب زائد واحد. بالتالي، سنحصل على d𝑥 d𝑡 يساوي تسعة 𝑡 تربيع. وحصلنا على ذلك عن طريق ضرب ثلاثة في ثلاثة لأننا نضرب الأس في المعامل. وذلك 𝑡 مرفوعًا للقوة الأسية ثلاثة ناقص واحد. وقد حصلنا على هذا لأننا نطرح واحدًا عند الاشتقاق.

فحصلنا على تسعة 𝑡 تربيع. واشتقاق موجب واحد يساوي صفرًا. حسنًا، رائع! حصلنا على تسعة 𝑡 تربيع كقيمة لـ d𝑥 d𝑡. وبالتالي، يمكننا القول إن d𝑡 d𝑥 يساوي واحدًا على تسعة 𝑡 تربيع. وذلك لأننا، كما قلنا من قبل، سنوجد مقلوب تسعة 𝑡 تربيع.

حسنًا، هذا رائع! فقد أوجدنا d𝑦 d𝑡 وd𝑡 d𝑥. والآن لنستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد d𝑦 d𝑥. وباستخدام قاعدة السلسلة، يمكننا القول إن d𝑦 d𝑥 يساوي 10𝑡 ناقص واحد في واحد على تسعة 𝑡 تربيع. وبالتالي، يمكننا القول إن d𝑦 d𝑥 يساوي 10𝑡 ناقص واحد على تسعة 𝑡 تربيع، إذا كان 𝑥 يساوي ثلاثة 𝑡 تكعيب زائد واحد و𝑦 يساوي خمسة 𝑡 تربيع ناقص 𝑡.

وهكذا، أصبح لدينا الحل النهائي. أريد فقط أن أراجع سريعًا ما سبق لنتذكر ما فعلناه. أولًا، كان لدينا معادلتان بارامتريتان. ولهذا، استخدمنا قاعدة السلسلة لإيجاد d𝑦 d𝑥. ثم اشتققنا كلتا المعادلتين البارامتريتين. وبذلك حصلنا في هذه الحالة على d𝑦 d𝑡 ثم d𝑥 d𝑡. لكن تذكروا أنه كان علينا إيجاد مقلوب d𝑥 d𝑡 لإيجاد d𝑡 d𝑥، ثم أخيرًا طبقنا قاعدة السلسلة للحصول على الحل النهائي.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.