فيديو: مركز الكتلة

إذا نُقل نصف سكان الأرض بطريقة ما إلى القمر، فقد يتغير موضع مركز الكتلة لنظام الأرض–القمر تغيُّرًا طفيفًا. افترض أن متوسط كتلة الإنسان يساوي 60.0kg، وعدد السكان يساوي ‎7.00 × 10^9 نسمة. اعتبر ‎5.97 × 10^24kg قيمة كتلة الأرض، و‎7.34 × 10^22kg قيمة كتلة القمر، واعتبر ‎3.84 × 10^5m قيمة نصف قطر مدار القمر. افترض أيضًا أن عدد السكان موزَّع بالتساوي على سطح الأرض، أو سطح القمر. ما مقدار التغير في مركز الكتلة لنظام الأرض-القمر؟

٠٥:٠٧

‏نسخة الفيديو النصية

إذا نُقل نصف سكان الأرض بطريقةٍ ما إلى القمر، فقد يتغير موضع الكتلة لنظام الأرض_القمر تغيُّرا طفيفًا. افترض أن متوسط كتلة الإنسان ستين كيلوجرام، وعدد السكان يساوي سبعة في عشرة أُس تسعة نسمة. اعتبر خمسة وسبعة وتسعين من المية في عشرة أُس أربعة وعشرين كيلوجرام، قيمة كتلة الأرض. وسبعة وأربعة وتلاتين من المية في عشرة أُس اتنين وعشرين كيلوجرام، قيمة كتلة القمر. واعتبر تلاتة وأربعة وتمانين من المية في عشرة أُس خمسة متر، قيمة نصف قطر مدار القمر. افترض أيضًا أن عدد السكان موزَّع بالتساوي على سطح الأرض، أو سطح القمر. ما مقدار التغير في مركز الكتلة، لنظام الأرض_القمر؟

ففي نظام الأرض_القمر، القمر بيلفّ حوالين الأرض في مدار دائري، نصف قطره بيساوي تلاتة وأربعة وتمانين من المية في عشرة أُس خمسة متر. وكتلة الأرض بتساوي خمسة وسبعة وتسعين من المية في عشرة أُس أربعة وعشرين كيلوجرام. أمّا كتلة القمر، فبتساوي سبعة وأربعة وتلاتين من المية في عشرة أُس اتنين وعشرين كيلوجرام. والسكان اللي متوزّعين على سطح الأرض بالتساوي، عددهم بيساوي سبعة في عشرة أُس تسعة نسمة. ومتوسط كتلة كل شخص منهم، ستين كيلوجرام. فالنظام وهو على الحالة دي، هنفترض إن ليه مركز كتلة معيّن، وهنسميه 𝑟 واحد. أمّا لو بطريقةٍ ما، نصف سكان الأرض اتنقلوا للقمر، هنلاقي إن مركز الكتلة مكانه اتغيّر. وهنسمي المكان الجديد ده 𝑟 اتنين. والمطلوب منّنا إن إحنا نعرف التغير ده، كان بيساوي كام.

وعلشان نجيب موضع مركز الكتلة لنظام، بنلاقيه بيساوي واحد على الكتلة الكلية للنظام بتاعنا، مضروب في جمع حاصل ضرب كل كتلة في مركز الكتلة بتاعها. والكتلة الكلية للنظام بتاعنا هنا، هي مجموع كتلة الأرض، وكتلة القمر، زائد الكتلة الكلية للسكان. اللي هي عبارة عن عدد السكان مضروبة في كتلة الإنسان الواحد. فإحنا في المسألة، هنجيب مركز الكتلة قبل نقل السكان للقمر. وهنجيب مركز الكتلة بعد نقل السكان للقمر. ونطرحهم من بعض. وهنعرّف المركز الهندسي للكرة الأرضية، كنقطة مرجعية لينا. بحيث إن إحنا نقيس كل الأطوال، من المركز ده.

ففي الأول هنجيب مركز كتلة النظام، قبل ما ننقل السكان. فهنلاقيه بيساوي واحد على الكتلة الكلية مضروبة في … كتلة الأرض في مركز كتلة الأرض، زائد كتلة القمر في مركز كتلة القمر، زائد الكتلة الكلية للسكان مضروبة في مركز كتلة الأرض. وده علشان في الحالة الأولانية، السكان كلهم كانوا على سطح الأرض. ولو افترضنا إن الكرة الأرضية هي كرة كتلتها متوزّعة بالتساوي عليها، فده معناه إن مركز كتلتها هو المركز الهندسي بتاعها.

وبما إننا اعتبرنا المركز الهندسي للكرة الأرضية هو المرجع بتاعنا، فده معناه إن 𝑟𝑒 بتساوي صفر. وده لأن مركزها بيقع عند النقطة اللي إحنا اعتبرناها مرجع، اللي هي النقطة صفر. وده هيدّينا إن مركز الكتلة قبل نقل السكان، كان بيساوي كتلة القمر في مركز كتلة القمر، مقسومين على الكتلة الكلية للنظام بتاعنا. وناخد بالنا إن مركز كتلة القمر، هو المركز الهندسي للقمر. اللي المسافة بينه وما بين مركز الأرض، اللي هي المرجع اللي اخترناه، بتساوي نصف قطر مسار القمر حوالين الأرض.

أمّا مركز الكتلة في الحالة التانية، اللي هو 𝑟 اتنين، هنلاقيه بيساوي واحد على الكتلة الكلية للنظام، مضروب في … كتلة الأرض في مركز كتلة الأرض، زائد كتلة القمر في مركز كتلة القمر، زائد الجزء الخاص بالسكان، ولكن متقسّم لنصين. نص موجود عند الكرة الأرضية، اللي هيدّينا 𝑛 في 𝑚𝑝، على اتنين؛ في 𝑟𝑒. ونص تاني موجود على القمر، اللي هيدينا 𝑛 في 𝑚𝑝، على اتنين؛ في 𝑟𝑚.

وزيّ ما قلنا في الحالة الأولانية، 𝑟𝑒 في الحالتين هنا هتبقى بصفر. فده هيدّينا إن 𝑟 اتنين بتساوي واحد على الكتلة الكلية للنظام مضروبة في … كتلة القمر في مركز كتلة القمر، زائد نص كتلة السكان في مركز كتلة القمر. ولو دخلنا واحد على 𝑚 دي جوّه الأقواس، هنلاقي إن 𝑟 اتنين بقت بالشكل ده. وعلشان نجيب الفرق ما بين مركز الكتلة في الحالتين، هنلاقيه بيساوي 𝑟 اتنين ناقص 𝑟 واحد. فهنلاقي إن المعادلة اختُصرت، وهنقدر نختصر الجزء ده، مع الجزء ده. وده هيدّينا إن الفرق ما بين مركز الكتلة في الحالتين، بيساوي عدد السكان، في كتلة الإنسان الواحد، في مركز كتلة القمر. مقسومين على اتنين، في الكتلة الكلية للنظام.

فلمّا نعوّض بالقيم، هنلاقي إن الـ Δ𝑟 بتساوي سبعة في عشرة أُس تسعة، اللي هو عدد سكان الأرض. في متوسط كتلة الإنسان الواحد، اللي هي ستين كيلوجرام. في مركز كتلة القمر، اللي هي تلاتة وأربعة وتمانين من المية في عشرة أُس خمسة متر. مقسومين على اتنين في خمسة وسبعة وتسعين من المية في عشرة أُس أربعة وعشرين كيلوجرام، اللي هي كتلة الأرض. زائد كتلة القمر، اللي بتساوي سبعة وأربعة وتلاتين من المية في عشرة أُس اتنين وعشرين كيلوجرام. زائد الكتلة الكلية للسكان، اللي هي سبعة في عشرة أُس تسعة في ستين كيلوجرام. وبعد ما نحسبهم، هنلاقي إن الـ Δ𝑟 بتساوي تلتاشر وتلاتة من العشرة نانومتر.

وبكده نبقى عرفنا نجيب الفرق ما بين مركز الكتلة لمّا كان السكان كلهم موجودين على الأرض، ولمّا نقلنا نُصهم على القمر.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.