فيديو: التقعر ونقاط الانقلاب

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد تقعر الدالة ونقاط انقلابها باستخدام مشتقتها الثانية.

١٩:٠٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحدد تقعر الدالة ونقاط انقلابها باستخدام مشتقتها الثانية. قبل أن نتابع، يجب أن تكون متأكدًا من قدرتك على إيجاد المشتقتين الأولى والثانية لأي دالة باستخدام القواعد القياسية للاشتقاق. ويجب أن تتمكن أيضًا من تطبيق اختبار المشتقة الأولى لتحديد طبيعة النقطة الحرجة.

لفهم ما نعنيه بتقعر الدالة، سنتناول ثلاث دوال شائعة للغاية. انظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع. هذا مثال على دالة مقعرة لأعلى على مجالها بالكامل. فهي تنحني لأعلى، وتتزايد قيمة ميلها على مجالها بالكامل. قبل النقطة الحرجة أو نقطة تحول الدالة، نجد أن الميل سالب. عند النقطة الحرجة، الميل يساوي صفرًا. وبعد النقطة الحرجة، يكون الميل موجبًا. هناك طريقة بديلة للتفكير في ذلك، وهي أنه إذا كان منحنى دالة ما يقع فوق جميع مماساته خلال فترة ما، فإن الدالة تكون مقعرة لأعلى على تلك الفترة.

والآن، افترض أن الدالة ﺭﺱ تساوي سالب ﺱ تربيع. هذا مثال على دالة مقعرة لأسفل على مجالها بالكامل. تنحني الدالة لأسفل وتتناقص قيمة الميل على فترة ما. قبل النقطة الحرجة، نجد أن الميل موجب. عند النقطة الحرجة، الميل يساوي صفرًا. وبعد النقطة الحرجة، تكون قيمة الميل سالبة. بالنظر إلى مماسات المنحنى مرة أخرى، نلاحظ أنه إذا كان منحنى دالة يقع أسفل جميع مماساته خلال فترة ما، فإنه يجب أن يكون مقعرًا لأسفل على هذه الفترة.

وبالنظر مرة أخرى إلى كلتا الدالتين ﺩ وﺭ، يمكننا أن نلاحظ أيضًا أن النقطة الحرجة على المنحنى ﺩﺱ يساوي ﺱ تربيع هي قيمة صغرى مطلقة. إنها أدنى نقطة للمنحنى على مجال الدالة بالكامل. النقطة الحرجة على المنحنى ﺭﺱ هي نقطة قيمة عظمى مطلقة. إنها أعلى نقطة للمنحنى على مجال الدالة بالكامل. والآن، دعونا ننظر إلى منحنى الدالة ﻕﺱ تساوي ﺱ تكعيب. لدينا شيء مختلف قليلًا هنا. النقطة الحرجة عند نقطة الأصل صفر، صفر تسمى نقطة الانقلاب. تحدث نقطة الانقلاب عند تغير تقعر الدالة. فالتقعر يتغير هنا من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى. لكن العكس صحيح أيضًا.

لاحظ أيضًا أن نقطة الانقلاب لا يجب أن تحدث بالضرورة عند نقطة حرجة. على سبيل المثال، يتكون هذا المنحنى من أجزاء مقعرة لأسفل، وأجزاء مقعرة لأعلى. ستكون هناك نقطة على هذا المنحنى يتغير عندها التقعر، ومن ثم يصبح لدينا نقطة انقلاب. لكنها ليست نقطة حرجة. الميل عند هذه النقطة لا يساوي صفرًا، وبالطبع يمكننا ملاحظة أنه موجود.

بذلك نكون قد عرفنا المقصود بالتقعر ونقاط الانقلاب. هيا نتناول كيفية تحديد طبيعة النقطة الحرجة، ومن ثم، تقعر المنحنى. سنبدأ بالرجوع إلى الدالة ﺩﺱ. علينا إيجاد دالة ميلها، والتي نوجدها من خلال مشتقتها الأولى. المشتقة الأولى لـ ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ هي اثنان ﺱ. يمكننا إيجاد موضع أي نقطة حرجة بجعل ﺩ شرطة ﺱ يساوي صفرًا، إذن صفر يساوي اثنين ﺱ، وهو ما يعني أن ﺱ يساوي صفرًا. إذن لدينا نقطة حرجة عند صفر. ويوضح اختبار المشتقة الأولى أنه يمكن استنتاج طبيعة النقطة الحرجة بإيجاد ميل مماس المنحنى على جانبي هذه النقطة.

نحن نعرف أن الميل عند صفر يساوي صفرًا. عند ﺱ يساوي سالب واحد، فإن ﺩ شرطة ﺱ يساوي اثنين في سالب واحد، وهو ما يساوي سالب اثنين. وعند ﺱ يساوي واحدًا، فإن دالة الميل تساوي اثنين في واحد، وهو ما يساوي اثنين. يتغير الميل من سالب إلى موجب حول النقطة الحرجة، وهو ما يعطينا ذلك الشكل المقعر لأعلى. ما يعنيه هذا هو أنه خلال هذه الفترة، يتزايد الميل ﺩ شرطة ﺱ. بعبارة أخرى، يجب أن يكون معدل تغير ﺩ شرطة ﺱ موجبًا. ولكن بالطبع، معدل تغير ﺩ شرطة ﺱ هو مشتقته؛ أي ﺩ شرطتان ﺱ. وﺩ شرطتان ﺱ يجب أن يكون أكبر من صفر.

هذا يعطينا التعريف الأول. إذا كان ﺩ شرطتان ﺱ أكبر من صفر لجميع قيم ﺱ في فترة ما ﻑ، فلا بد أن يكون المنحنى مقعرًا لأعلى على تلك الفترة. ويعرف هذا باسم «اختبار المشتقة الثانية»؛ فإيجاد المشتقة الثانية يعطينا معلومات عن طبيعة نقطة القيمة القصوى، ومن ثم تقعر المنحنى. العكس صحيح لمنحنى مقعر لأسفل. سنجد أن قيمة ميله تتناقص. وتتغير الإشارة من موجب إلى سالب. هذا يعني أن معدل تغير الميل يجب أن يكون سالبًا. إذن ﺩ شرطتان ﺱ أصغر من صفر. ويمكننا إذن القول إنه إذا كان ﺩ شرطتان ﺱ أصغر من صفر لجميع قيم ﺱ في فترة ما ﻑ، فإن الدالة ﺩﺱ مقعرة لأسفل على تلك الفترة.

إذن ماذا يحدث إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا؟ حسنًا، في الواقع، عندما تكون المشتقة الثانية تساوي صفرًا أو غير موجودة، قد يكون لدينا نقطة انقلاب. لكن لا يمكننا أن نفترض أن أي نقطة تكون عندها المشتقة الثانية تساوي صفرًا أو غير موجودة هي بالضرورة نقطة انقلاب. بدلًا من ذلك، فإننا نوجد المشتقة الثانية على جانبي النقطة الحرجة، ونتحقق من أن التقعر يتغير من تقعر لأعلى إلى تقعر لأسفل أو العكس. والآن بعد أن توصلنا إلى التعريفات التي نحتاج إليها، سنتناول مثالًا حول كيفية حساب الفترات التي تكون خلالها دالة كثيرة الحدود مقعرة لأعلى أو لأسفل.

أوجد الفترات التي تكون فيها الدالة ﺩﺱ تساوي سالب أربعة ﺱ أس خمسة زائد ﺱ تكعيب مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل.

لدينا هنا دالة كثيرة الحدود من الدرجة الخامسة، ومطلوب منا تحديد تقعر الدالة. تحديدًا، علينا البحث عن الفترات التي تكون فيها الدالة مقعرة لأعلى أو مقعرة لأسفل. نتذكر هنا أنه لأي دالة ﺩﺱ، إذا كانت إشارة مشتقتها الثانية موجبة، فإنها تكون أكبر من صفر لجميع قيم ﺱ التي تقع في فترة ما ﻑ، وتكون ﺩﺱ مقعرة لأعلى على تلك الفترة. وبالمثل، إذا كانت المشتقة الثانية أقل من صفر، فإن ﺩﺱ تكون مقعرة لأسفل على تلك الفترة. وإذا كانت تساوي صفرًا، فقد يكون لدينا نقطة انقلاب. لكن سيكون علينا إجراء اختبارات أخرى للتأكد من ذلك. في الواقع، ما يعنينا فقط هو التقعر، إذن هذان التعريفان كافيان.

سيكون علينا إيجاد المشتقة الثانية للدالة، لذا سنشتقها مرتين. وبالطبع، لاشتقاق حد ذي قوة، فإننا نضرب الحد بالكامل في الأس ثم نطرح واحدًا من ذلك الأس. وعليه، فإن المشتقة الأولى لسالب أربعة ﺱ أس خمسة تساوي خمسة في سالب أربعة ﺱ أس أربعة. وعند اشتقاق ﺱ تكعيب، نحصل على ثلاثة ﺱ تربيع. إذن المشتقة الأولى هي سالب ٢٠ﺱ أس أربعة زائد ثلاثة ﺱ تربيع. لإيجاد المشتقة الثانية، سنكرر هذه العملية مرة أخرى. سنشتق ﺩ شرطة ﺱ لنحصل على أربعة في سالب ٢٠ﺱ تكعيب زائد اثنين في ثلاثة ﺱ، لنجد أن المشتقة الثانية تساوي سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ.

لإيجاد الفترة التي تكون فيها الدالة مقعرة لأعلى، علينا حل المتباينة سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ أكبر من صفر. تذكر أننا نوجد المواضع التي تكون فيها المشتقة الثانية موجبة. لإجراء ذلك، سنبدأ بحل سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ يساوي صفرًا. بعد ذلك، سنرسم منحنى الدالة لتحديد الفترات التي تكون فيها موجبة وسالبة. سنأخذ اثنين ﺱ عاملًا مشتركًا من الطرف الأيمن للمعادلة، ويصبح لدينا اثنان ﺱ مضروبًا في سالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ثلاثة. ولكي يساوي هذا التعبير صفرًا، يمكننا قول إن اثنين ﺱ يساوي صفرًا أو سالب ٤٠ﺱ تربيع زائد ثلاثة يساوي صفرًا. إذن، حل المعادلة الأولى هو ﺱ يساوي صفرًا. وسنحل المعادلة الثانية بإضافة ٤٠ﺱ تربيع إلى كلا الطرفين.

بعد ذلك، سنقسم الطرفين على ٤٠، إذن ﺱ تربيع يساوي ثلاثة على ٤٠. ثم نوجد موجب وسالب الجذر التربيعي لثلاثة على ٤٠، إذن هاتان القيمتان هما المجموعة الثانية من حلول ﺱ. في الواقع، إذا وزعنا الجذر التربيعي على الكسر وقمنا بإنطاق المقام، فسنحصل على موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ٣٠ على ٢٠. بعد ذلك، سنرسم منحنى الدالة سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ. إنها دالة تكعيبية بمعامل رئيسي سالب، ومن ثم ستبدو بهذا الشكل تقريبًا. بحل سالب ٨٠ﺱ تكعيب زائد ستة ﺱ يساوي صفرًا، توصلنا إلى جذري هذه المعادلة، وهما موضعا تقاطع منحنى الدالة مع المحور ﺱ، وبالطبع نريد إيجاد المواضع التي تكون فيها الدالة موجبة. وإذا نظرنا إلى منحنى الدالة، فسنجد أنها موجبة هنا وموجبة هنا أيضًا.

بعبارة أخرى، تكون الدالة موجبة عندما يكون ﺱ أصغر من سالب جذر ٣٠ على ٢٠، وعندما يكون ﺱ أكبر من صفر وأصغر من جذر ٣٠ على ٢٠. إذن باستخدام ترميز المتباينة، هاتان هما الفترتان اللتان تكون عندهما ﺩﺱ مقعرة لأعلى. عندما تكون مقعرة لأسفل، تكون المشتقة الثانية أصغر من صفر. وإذا نظرنا إلى المنحنى، فسنجد أن ذلك موجود هنا وهنا. أي موجود عندما يكون ﺱ أكبر من سالب جذر ٣٠ على ٢٠ وأصغر من صفر، وعندما يكون ﺱ أكبر من جذر ٣٠ على ٢٠. باستخدام ترميز الفترة، تكون الدالة ﺩﺱ مقعرة لأعلى في الفترتين المفتوحتين من سالب ∞ إلى سالب جذر ٣٠ على ٢٠، ومن صفر إلى جذر ٣٠ على ٢٠، ومقعرة لأسفل في الفترتين المفتوحتين من سالب جذر ٣٠ على ٢٠ إلى صفر، ومن جذر ٣٠ على ٢٠ إلى ∞.

والآن بعد أن توصلنا إلى كيفية تحديد تقعر الدالة، سنتناول كيفية تحديد إذا ما كان للمنحنى نقطة انقلاب.

أوجد نقطة الانقلاب على منحنى الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ تكعيب ناقص تسعة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ.

إننا نعلم أن نقطة الانقلاب على منحنى هي النقطة التي يتغير عندها تقعر الدالة. قد لا تظهر نقطة الانقلاب عند نقطة حرجة، ومن ثم نعلم أنه يمكن تحديد نقطة الانقلاب باستخدام المشتقة الثانية. إذا كانت المشتقة الثانية تساوي صفرًا أو كانت غير موجودة، فمن الممكن أن تكون لدينا نقطة انقلاب. للتأكد من ذلك، فإننا نتحقق من أن التقعر على جانبي هذه النقطة يتغير من التقعر لأعلى إلى التقعر لأسفل أو العكس. حسنًا، سنبدأ بإيجاد المشتقة الأولى للدالة. باشتقاق الحدود حدًّا تلو الآخر وتذكر أنه عند اشتقاق حد ذي قوة نضرب في الأس ثم نطرح من هذا الأس واحدًا، نجد أن ﺩ شرطة ﺱ يساوي ثلاثة ﺱ تربيع ناقص ١٨ﺱ زائد ستة.

سنكرر هذه العملية مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية؛ وهي ستة ﺱ ناقص ١٨. مشتقة العدد الثابت تساوي صفرًا بالطبع. لاحظ أننا قلنا إن نقطة الانقلاب قد تحدث عندما تكون المشتقة الثانية تساوي صفرًا أو غير موجودة. لكن ﺩﺱ بالطبع كانت كثيرة حدود، وعليه فإنها متصلة وقابلة للاشتقاق على مجالها بالكامل. وبالمثل، ﺩ شرطة ﺱ هي كثيرة حدود أيضًا، لذا فهي أيضًا قابلة للاشتقاق ومتصلة على مجالها بالكامل. هذا يخبرنا أن المشتقة الثانية موجودة بالفعل لجميع قيم ﺱ في مجال الدالة. لذا، سنحل فقط ستة ﺱ ناقص ١٨ يساوي صفرًا. سنضيف ١٨ إلى كلا الطرفين، ثم نقسم على ستة. وسنجد أن المشتقة الثانية تساوي صفرًا عند النقطة ﺱ يساوي ثلاثة.

والآن بعد أن توصلنا إلى أن نقطة انقلاب قد تحدث عند النقطة ﺱ يساوي ثلاثة، سنتحقق من التقعر على كلا الجانبين عن طريق إيجاد قيمة المشتقة الثانية عند ﺱ يساوي اثنين وﺱ يساوي أربعة. ونختار نقاطًا محلية تكون عندها المشتقة الثانية تساوي صفرًا. في هذه الحالة، ونظرًا لوجود نقطة واحدة فقط يتحقق عندها ذلك ولأن المشتقة الثانية عبارة عن دالة خطية، فلن يكون من الصعب فعل ذلك. أما إذا كانت دالة المشتقة الثانية كثيرة حدود ذات رتبة عليا وكانت توجد عدة نقاط عندها المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فسنحتاج إلى الانتباه إلى اختيار نقاط لا تقع خارج النقاط المتجاورة حيث تكون المشتقة الثانية تساوي صفرًا.

عند ﺱ يساوي اثنين، فإن المشتقة الثانية تساوي ستة في اثنين ناقص ١٨، وهو ما يساوي سالب ستة. عند ﺱ يساوي أربعة، يكون تعبير المشتقة الثانية ستة في أربعة ناقص ١٨، وهذه المرة تساوي موجب ستة. ومن ثم، عند النقطة ﺱ يساوي ثلاثة، تتغير إشارة المشتقة الثانية من سالب إلى موجب. هذا يعني أنها تتغير من التقعر لأسفل إلى التقعر لأعلى، وهو ما يؤكد لنا بالفعل أن النقطة ﺱ يساوي ثلاثة هي نقطة انقلاب. بعد ذلك لإيجاد إحداثيات نقطة الانقلاب تلك، سنعوض بـ ﺱ يساوي ثلاثة في الدالة الأصلية. هذا يساوي ثلاثة تكعيب ناقص تسعة في ثلاثة تربيع زائد ستة في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب ٣٦. إذن، نقطة الانقلاب على منحنى الدالة تقع عند ثلاثة، سالب ٣٦.

خلال هذا الفيديو، أشرنا أولًا إلى حقيقة أن نقطة الانقلاب قد تحدث عند نقطة حرجة، لكنها قد لا تحدث عندها أيضًا. كما أوضحنا أن كون المشتقة الثانية تساوي صفرًا لا يضمن وجود نقطة انقلاب. ثمة مثال رئيسي هنا هو الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة. المشتقة الأولى ﺩ شرطة ﺱ لهذه الدالة تساوي أربعة ﺱ تكعيب. والمشتقة الثانية تساوي ١٢ﺱ تربيع. إذا جعلنا المشتقة الثانية تساوي صفرًا، فسنحصل على المعادلة ١٢ﺱ تربيع يساوي صفرًا، وحل المعادلة يوضح أن ﺱ يساوي صفرًا. لذا، فإن المشتقة الثانية تساوي صفرًا عند النقطة التي عندها ﺱ يساوي صفرًا.

لكن ماذا يحدث على منحنى الدالة عند النقطة ﺱ يساوي صفرًا؟ في الواقع، يبدو أن لدينا نقطة تحول لها وصف ما. لكن تقعر الدالة لا يتغير. فهي مقعرة لأعلى قبل النقطة ﺱ يساوي صفرًا، ومقعرة لأعلى بعد النقطة ﺱ يساوي صفرًا. ولهذا السبب، من المهم جدًّا التحقق من قيمة المشتقة الثانية عندما تظن أن لديك نقطة انقلاب. تذكر أنه إذا كانت المشتقة الثانية أقل من صفر، فسيكون المنحنى مقعرًا لأسفل في تلك المنطقة. وإذا كانت أكبر من صفر، فسيكون مقعرًا لأعلى. وإذا كانت تساوي صفرًا، فقد تكون نقطة انقلاب. لكن علينا التحقق من قيمة المشتقة الثانية عند النقطة الموجودة على اليسار مباشرة والنقطة الموجودة على اليمين مباشرة لنرى إذا ما كان المنحنى مقعرًا لأعلى أو لأسفل أو لدينا نقطة انقلاب.

سنراجع الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أنه لدالة ما ﺩﺱ، إذا كان ﺩ شرطتان ﺱ أكبر من صفر لجميع قيم ﺱ في فترة ما، فإن ﺩﺱ تكون مقعرة لأعلى على تلك الفترة. وبالمثل، إذا كان ﺩ شرطتان ﺱ أقل من صفر لجميع قيم ﺱ في فترة ما، فإن ﺩﺱ تكون مقعرة لأسفل على تلك الفترة. وأخيرًا، عرفنا أن نقطة الانقلاب هي نقطة يتغير فيها تقعر الدالة. يمكننا إيجاد المواضع المحتملة لنقاط الانقلاب بإيجاد النقاط التي تكون عندها المشتقة الثانية تساوي صفرًا أو ربما تكون غير موجودة. لكن علينا التأكد من أن تقعر الدالة سيتغير على جانبي هذه النقطة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.