فيديو: امتحان الإحصاء الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثالث عشر

امتحان الإحصاء الدور الثاني للعام السابق • ٢٠١٨/٢٠١٧ • السؤال الثالث عشر

٠٧:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

افترض أن س متغيّر عشوائي متصل له دالة كثافة الاحتمال الآتية: د س تساوي س ناقص واحد الكل على تمنية. حيث س أكبر من أو تساوي واحد، وأقل من أو تساوي خمسة. وَ د س تساوي صفر فيما عدا ذلك. أوجد أ: ل، س أقل من تلاتة. ب: ل؛ س أكبر من اتنين، وأقل من تلاتة.

وفي البداية معطى عندنا إن س هو متغيّر عشوائي متصل. والمتغيّر العشوائي المتصل هو المتغيّر العشوائي اللي بيكون مداه فترة مفتوحة أو فترة مغلقة. ومعطى عندنا أيضًا إن المتغيّر العشوائي س له دالة كثافة احتمال. وهي الدالة الحقيقية د اللي بيكون مداها غير سالب، وبنقدر من خلالها نوجد احتمالات الأحداث المعبّرة عنها. وفي الأول خلّينا نعرف إن دالة الكثافة ممكن تكون دالة ثابتة، أو دالة خطية.

بعد كده لمّا نيجي نشوف الدالة اللي عندنا؛ فهيبقى عندنا د س بتساوي س ناقص واحد الكل على تمنية. حيث س أكبر من أو تساوي واحد، وأقل من أو تساوي خمسة.

فهنبدأ نمثّل الدالة دي بيانيًّا. فهنحتاج على الأقل نقطتين عشان نقدر نرسم الدالة. ممكن ناخد نقطة عند بداية الفترة، ونقطة عند نهاية الفترة. وده لأن الدالة اللي عندنا هنا هي دالة خطية.

وهنبدأ في الأول نوجد قيمة د س عند س بتساوي واحد، يعني عايزين نوجد د واحد. فهنعوّض عن س بواحد في قاعدة الدالة هنا، فهيبقى عندنا واحد ناقص واحد الكل على تمنية؛ واللي هتساوي صفر. فبالتالي هتبقى د واحد بتساوي صفر.

بعد كده هنبدأ نوجد قيمة د س عند س بتساوي خمسة، يعني هنوجد د خمسة. فبالتالي هنعوّض عن س بخمسة في قاعدة الدالة هنا، فهيبقى عندنا خمسة ناقص واحد الكل على تمنية؛ واللي هتساوي أربعة على تمنية. فهيبقى د خمسة بتساوي أربعة على تمنية.

وبكده يبقى إحنا قدِرنا نوجد نقطتين؛ اللي هم: واحد، وصفر. والنقطة التانية، هي: خمسة، وأربعة على تمنية. فلمّا نيجي نمثّل النقطتين دول بيانيًّا، فهنيجي عند أول نقطة وهنلاحظ إن عند س بتساوي واحد هتبقى د س بتساوي صفر. فبالتالي هنيجي عند المحور الأفقي عند واحد، وهتبقى النقطة بتقع هنا.

وأمّا بالنسبة لتاني نقطة؛ فعند س بتساوي خمسة هتبقى د س بتساوي أربعة على تمنية. فبالتالي هنيجي عند س بتساوي خمسة، وهنطلع لحدّ أربعة على تمنية. فبالتالي هتبقى هي دي تاني نقطة عندنا.

بعد كده هنوصّل النقطتين ببعض، فهيبقى هو ده شكل الدالة اللي عندنا في الفترة المغلقة من واحد إلى خمسة. واللي هنلاحظ إن هي دالة خطية، وبالتالي بتُمثّل بقطعة مستقيمة.

بعد كده معطى عندنا إن د س بتساوي صفر فيما عدا ذلك. فمعنى كده إن هتبقى د س بتساوي صفر عند أيّ نقطة ما عدا النقط اللي بتقع في الفترة دي. فبالتالي يبقى إحنا كده مثّلنا دالة كثافة الاحتمال بيانيًّا، وبعد كده هنبدأ نشوف المطاليب اللي عندنا في السؤال. وأول مطلوب عندنا هو إننا نوجد ل، س أقل من تلاتة.

لكن في الأول خلّينا نعرف إن الدالة علشان تسمّى دالة كثافة احتمالية، لازم تحقّق شرطين. وأول شرط هو إن منحنى الدالة يقع فوق محور السينات. يعني لازم تكون د س أكبر من أو تساوي الصفر لجميع قيم س اللي بتنتمي لمجال الدالة.

وأمّا الشرط التاني وهو إن مساحة المنطقة أسفل منحنى الدالة وفوق محور السينات لازم تكون بتساوي واحد. فمعنى كده إننا نقدر باستخدام الدالة نوجد الاحتمالات اللي عندنا في السؤال. فبتكون قيمة الاحتمال بتساوي مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى وفوق محور السينات في الفترة المعطاة عندنا في السؤال.

ولمّا نيجي نشوف المطلوب أ: أوجد ل، س أقل من تلاتة.

ففي الأول هنحتاج إننا نوجد قيمة د س عند س بتساوي تلاتة، يعني عايزين نوجد د تلاتة. وبما إن تلاتة بتقع في الفترة دي. فمعنى كده إننا عشان نوجد د تلاتة، يبقى هنعوّض عن س بتلاتة في قاعدة الدالة اللي عندنا هنا. فلمّا نحسب تلاتة ناقص واحد الكل على تمنية، هتبقى بتساوي اتنين على تمنية.

فبالتالي عند س بتساوي تلاتة … فبالتالي هتبقى عند س بتساوي تلاتة قيمة د س هي اتنين على تمنية، واللي هي النقطة دي. فبالتالي عشان نقدر نوجد ل، س أقل من تلاتة؛ يبقى عايزين نوجد مساحة المنطقة دي. وده لأن د س بتساوي صفر في أيّ فترة ما عدا الفترة دي.

فمعنى كده إن هتبقى ل، س أقل من تلاتة؛ بتساوي ل، س أكبر من واحد، وأقل من تلاتة. وبالتالي عشان نوجد قيمة الاحتمال ده، يبقى محتاجين نوجد مساحة المنطقة المظلّلة دي. وهنلاحظ إن المنطقة المظلّلة على شكل مثلث. فبالتالي عشان نوجد مساحة المنطقة المظلّلة، يبقى عايزين نوجد مساحة المثلث ده.

وخلّينا نفتكر إن مساحة المثلث بتساوي نُصّ في طول القاعدة في الارتفاع. فهنلاحظ إن قاعدة المثلث بتبدأ من واحد إلى تلاتة، يعني طول القاعدة هو اتنين. وأمّا ارتفاع المثلث فهنلاحظ إن أعلى نقطة في المثلث هي هنا، اللي هي اتنين على تمنية. فبالتالي هيبقى ارتفاع المثلث هو اتنين على تمنية.

فبالتالي هتبقى مساحة المنطقة المظلّلة بتساوي نُصّ في طول القاعدة، واللي هي اتنين. في الارتفاع، اللي هو اتنين على تمنية. فلمّا نحسب نُصّ في اتنين، في اتنين على تمنية؛ هتبقى بتساوي اتنين على تمنية. ولمّا نبسّط الكسر هيبقى بيساوي واحد على أربعة. وبالتالي هتبقى ل، س أقل من تلاتة؛ بتساوي واحد على أربعة. وهتبقى هي دي إجابة المطلوب أ في السؤال.

بعد كده هنبدأ نشوف المطلوب ب في السؤال. والمطلوب إننا نوجد ل؛ س أكبر من اتنين، وأقل من تلاتة.

وبنفس الطريقة هتبقى قيمة الاحتمال ده بتساوي مساحة المنطقة الواقعة تحت المنحنى وفوق محور السينات في الفترة المفتوحة من اتنين إلى تلاتة. ولمّا نيجي نشوف منحنى الدالة، هنلاحظ إن المنطقة اللي بتقع في الفترة دي هي المنطقة المظلّلة دي.

وهنلاحظ إن المنطقة دي هي عبارة عن شكل شبه منحرف. فبالتالي عشان نوجد قيمة الاحتمال ده، يبقى عايزين نوجد مساحة المنطقة المظلّلة. يعني عايزين نوجد مساحة شبه المنحرف ده.

ومساحة شبه المنحرف بتساوي نُصّ في مجموع طولَي القاعدتين المتوازيتين في الارتفاع. فهنلاحظ عندنا إن هم دول القاعدتين المتوازيتين. وهنلاحظ إن طول القاعدة دي هو اتنين على تمنية. وأمّا القاعدة الموازية ليها فهنلاحظ إن طولها واحد على تمنية. وأمّا ارتفاع شبه المنحرف فهنلاحظ إن ارتفاعه واحد.

فبالتالي هتبقى مساحة المنطقة المظلّلة بتساوي مساحة شبه المنحرف اللي عندنا، واللي هي نُصّ في؛ اتنين على تمنية، زائد واحد على تمنية. اللي هو مجموع طولَي القاعدتين المتوازيتين في الارتفاع، واللي هو عندنا بواحد.

بعد كده لمّا نحسب قيمة المقدار ده، هيبقى بيساوي تلاتة على ستاشر. وبالتالي هتبقى ل؛ س أكبر من اتنين، وأقل من تلاتة؛ بتساوي تلاتة على ستاشر. وهتبقى هي دي إجابة المطلوب ب في السؤال. وبكده يبقى إحنا جاوبنا على جميع مطاليب السؤال.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.