فيديو: إيجاد كتلة جسم يُمثِّل جزءًا من نظام مُكوَّن من قوًى مُتزِنة وعزوم دوران

أرجوحة منتظمة متزنة على نقطة ارتكاز تقع على بعد 3.0m من الطرف الأيسر كما هو موضَّح. الولد الصغير على اليمين كتلته 40.0kg، والولد الكبير على اليسار كتلته 80kg. ما كتلة اللوح؟

٠٦:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

أرجوحة منتظمة متزنة على نقطة ارتكاز تقع على بعد تلاتة متر من الطرف الأيسر كما هو موضَّح. الولد الصغير على اليمين كتلته أربعين كيلوجرام. والولد الكبير على اليسار كتلته تمانين كيلوجرام. ما كتلة اللوح؟

فالطفلين اللي بيلعبوا بالأرجوحة، واحد منهم اللي على اليمين كتلته أربعين كيلوجرام. والتاني اللي على اليسار كتلته تمانين كيلوجرام. كل واحد منهم بيأثّر على طرف الأرجوحة بوزنه. والوزن اللي هو قوة الجاذبية اللي بتأثّر بيها الأرض على كل طفل منهم، بيساوي كتلة الطفل مضروبة في عجلة الجاذبية. ووزن كل طفل من دول عايز يخلي اللوح ده يدور حوالين نقطة الارتكاز دي.

فده معناه إن كل قوة من دول بتحاول تعمل عزم دوران حوالين نقطة الارتكاز. وعزم الدوران ده بيساوي القوة العمودية مضروبة في ذراع العزم. اللي هو المسافة ما بين القوة وما بين نقطة الارتكاز. ومعنى إن الأرجوحة متّزنة حوالين نقطة الارتكاز، إن مجموع العزوم حوالين النقطة دي بيساوي صفر. وناخد بالنا برضو إن الأرجوحة منتظمة. فده معناه إن وزن الأرجوحة نفسه متوزّع بالتساوي على طولها. والمطلوب منّنا إن إحنا نعرف وزن الأرجوحة دي. فعلشان نعرف وزن الأرجوحة هنجيب العزوم اللي بتأثر على الأرجوحة، ونجمعهم على بعض، ونساويهم بصفر.

ففي الأول هنختار اتّجاه دوران ونعرف إنه هو الموجب. وفي حالتنا دي هنختار إن اتجاه دوران عقارب الساعة هو الاتجاه الموجب. فهنبص لأول عزم عندنا واللي هو جاي من الطفل اللي على اليمين. فهنلاقيه عايز يخلي اللوح يدور في نفس اتجاه عقارب الساعة. فده معناه إنه هيبقى بالموجب. وهنلاقي مقدار العزم ده بيساوي وزنه اللي هو عبارة عن كتلته في عجلة الجاذبية، مضروب في ذراع العزم اللي هو خمسة متر.

وبعدين هنبُص لتاني عزم وهو عزم الطفل اللي على اليمين. فهنلاقيه عايز يخلّي اللوح يدور في عكس اتجاه عقارب الساعة. يعني إشارته هتبقى بالسالب. وبرضو وزنه هيبقى بيساوي كتلة الطفل في عجلة الجاذبية، مضروبين في ذراع العزم اللي هو تلاتة متر. وكده يبقى فاضل عزم واحد بيأثّر عندنا وهو عزم اللوح نفسه. وزي ما قلنا مجموع العزوم دي كلها هيكون بيساوي صفر. فعلشان نعرف نجيب العزم اللي هيعمله اللوح في طرف لوحده، هنطرحه من طرفين المعادلة. فهنلاقي إن المعادلة بقت بالشكل ده. فلو ضربنا طرفين المعادلة في سالب واحد، هنلاقي إن السالب اللي جنب 𝜏 𝛣 اتشال، وبقى فيه سالب موجود في الطرف اليمين. وبكده نبقى عرفنا نجيب العزم اللي بيعمله اللوح.

ولكن إحنا عايزين نجيب وزن اللوح نفسه. فزي ما قلنا في الأول، وزن اللوح متوزع على اللوح كله. مش متركز في نقطة واحدة زي ما عملنا مع الطفلين. والقانون بتاع العزم اللي إحنا قلناه في الأول ده بيشتغل لمّا بتكون القوة بتأثّر في نقطة واحدة. فعلشان كده هنقسّم اللوح ده لقطع صغيرة جدًّا. طول كل قطعة من دول هنسميه 𝑑 𝑥. وزي ما قلنا كل قطعة من دول طولها صغير قوي، كأنها نقطة. فده معناه إن 𝑑 𝑥 بتئول للصفر. وكل قطعة صغيرة من دول بتأثّر بوزنها، اللي هو عبارة عن عجلة الجاذبية مضروب في وزن القطعة الصغيرة دي اللي هنسميه 𝑑 𝑚. وذراع العزم اللي هيبقى ما بين القطعة الصغيرة دي ونقطة الارتكاز، هنسميه 𝑥. فكده ممكن نجيب العزم بتاع القطعة الصغيرة دي، واللي هنسمّيه 𝑑 𝜏 𝐵، وهنلاقيه بيساوي 𝑥 اللي هو ذراع العزم في 𝑔 في 𝑑 𝑚.

وعلشان بقى نجيب العزم بتاع اللوح كله، هنقسّم اللوح كله لقطع صغيرة. وبما إن القطعة دي صغيرة جدًّا؛ فده معناه إن عملية الجمع دي عبارة عن تكامل. وناخد بالنا إن ذراع العزم اللي سميناه 𝑥 ده، بيتغير من كل نقطة للتانية. فده معناه إن هو ده المتغيّر اللي إحنا هنكامل عليه. فعلشان كده محتاجين نجيب علاقة بين الـ 𝑑 𝑚 والـ 𝑑 𝑥.

فبما إن اللوح ده منتظم، فنقدر نقول إن كثافة كتلته الخطية عبارة عن ثابت. والكثافة الخطية دي هي عبارة عن كتلة اللوح مقسومة على طول اللوح. ومعنى إن الكثافة الخطية دي ثابتة، إن أنا لو جيت بصيت على القطع الصغيرة دي، هلاقي إن كثافتها الخطية هي هي الكثافة الخطية بتاعة اللوح كله. والكثافة الخطية للقطعة الصغيرة دي هي عبارة عن كتلتها اللي هي 𝑑 𝑚، مقسومة على طولها اللي هو 𝑑 𝑥.

فلو عوضنا بقيمة الكثافة الخطية اللي موجودة في المعادلة اللي فوق في المعادلة اللي تحت. هنلاقي إن كتلة اللوح على طوله بتساوي 𝑑 𝑚 على 𝑑 𝑥. نقدر دلوقتي نجيب الـ 𝑑 𝑚 بدلالة الـ 𝑑 𝑥 بإننا نضرب طرفين المعادلة في 𝑑 𝑥. فهنطلّع إن 𝑑 𝑚 بتساوي 𝑚 𝐵 على 𝐿 𝐵 في 𝑑 𝑥. فنقدر دلوقتي نشيل الـ 𝑑 𝑚، ونحطها بدلالة الـ 𝑑 𝑥؛ عشان نعرف نعمل تكامل على 𝑥. فلو بصّينا على الطرف الشمال من المعادلة دي، هنلاقي إن هو عبارة عن جمع للعزوم بتاعة القطع الصغيرة. وده معناه إنه هيدينا في الآخر العزم بتاع اللوح كله. أما الطرف اليمين فهيبقى عبارة عن تكامل 𝑥 في عجلة الجاذبية في كتلة اللوح على طول اللوح 𝑑 𝑥.

فاضل لنا بس نحط حدود التكامل بتاعة الـ 𝑥. فلو بصّينا على الصورة هنلاقي إن الـ 𝑥 بتتغير من أقصى الطرف الشمال لحدّ أقصى الطرف اليمين. ولكن في الطرف الشمال هي عايزة تعمل عزم بالسالب؛ وده لأن الطرف الشمال من اللوح عايز يخلّي اللوح يلف عكس عقارب الساعة. وعلشان كده هنحط الحدّ الأول عبارة عن أقصى قيمة للـ 𝑥 اللي هي تلاتة متر، ولكن بالسالب. أما بالنسبة للطرف اليمين فهو عايز يخلّي اللوح يدور مع عقارب الساعة. يعني هيبقى بالموجب وبيساوي خمسة متر. ويبقى كده حدود التكامل من سالب تلاتة متر لخمسة متر. وبما إن عجلة الجاذبية والكتلة والطول همّ ثابتين. فهنقدر نطلعهم برّه التكامل، وهنلاقي إن إحنا بس بنكامل 𝑥 𝑑 𝑥. وتكامل 𝑥 𝑑 𝑥 ده هيدّينا 𝑥 تربيع على اتنين. ولمّا نعوّض بحدود التكامل، هنلاقي إن العزم اللي بيأثر بيه اللوح بيساوي عجلة الجاذبية في كتلة اللوح، مقسومة على طوله في خمسة متر تربيع على اتنين ناقص سالب تلاتة متر تربيع على اتنين.

ودلوقتي بقى معانا العزم بتاع اللوح بدلالة كتلة اللوح. ونقدر دلوقتي نعوّض بيها في المعادلة بتاعة العزوم اللي جبناها من الأول خالص. فهنلاقي إن المعادلة بقت بالشكل ده. ونقدر نقسم طرفين المعادلة على 𝑔، ونختصر الـ 𝑔 من المعادلة خالص. وعلشان نجيب كتلة اللوح هنضرب طرفين المعادلة في 𝐿 𝐵 على خمسة متر تربيع على اتنين ناقص سالب تلاتة متر تربيع على اتنين. فده هيطلّع لنا إن كتلة اللوح بتساوي سالب طول اللوح مضروبة في 𝑚 𝑅 في خمسة متر ناقص 𝑚 𝐿 في تلاتة متر. مقسومين على خمسة متر تربيع على اتنين ناقص سالب تلاتة متر تربيع على اتنين. ولمّا نعوّض بالقيم هنلاقي إن كتلة اللوح بتساوي سالب تمنية متر مضروبة في أربعين كيلوجرام في خمسة متر ناقص تمانين كيلوجرام في تلاتة متر، مقسومين على خمسة متر تربيع على اتنين ناقص سالب تلاتة متر تربيع على اتنين. ولمّا نحسبها هنلاقي إن كتلة اللوح بتساوي أربعين كيلوجرام.

وبكده نبقى عرفنا نجيب كتلة اللوح، عن طريق إن إحنا نجزأ اللوح ده لقطع صغيرة جدًّا، ونجيب عزم كل واحدة منهم، ونجمعهم عن طريق التكامل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.