نسخة الفيديو النصية
أي من الآتي هو التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ تساوي ﺱ مضروبًا في القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد؟ أ، أم ب، أم ج، أم د، أم هـ.
في هذا السؤال، لدينا الدالة ﺩ ﺱ، التي تتضمن القيمة المطلقة. علينا تحديد أي من التمثيلات البيانية الخمسة المعطاة هي التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ. يوجد العديد من الطرق المختلفة لفعل ذلك. وأسهل طريقة هي استبعاد الخيارات. هيا نوجد إحداثيات بعض النقاط التي تقع على منحنى ﺹ يساوي ﺩ ﺱ. لنوجد القيمة المخرجة لـ ﺩ عند ﺱ يساوي سالب اثنين.
نعوض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين في الدالة ﺩ ﺱ لنحصل على سالب اثنين مضروبًا في القيمة المطلقة لسالب اثنين زائد واحد. بعد ذلك، نبسط هذا المقدار. سالب اثنين زائد واحد يساوي سالب واحد. إذن، نحصل على سالب اثنين مضروبًا في القيمة المطلقة لسالب واحد. نتذكر الآن أن أخذ القيمة المطلقة لعدد ما يحذف إشارته. إذن، القيمة المطلقة لسالب واحد تساوي واحدًا. بذلك نجد أن قيمة ﺩ عند سالب اثنين تساوي سالب اثنين. من ثم، عند ﺱ يساوي سالب اثنين، يجب أن تكون القيمة المخرجة للدالة سالبة. هذا يعني أنها يجب أن تقع أسفل المحور ﺱ عند ﺱ يساوي سالب اثنين.
لكننا نلاحظ في الخيارات أ، ب، د أنه عند ﺱ يساوي سالب اثنين، يقع المنحنى أعلى المحور ﺱ. إذن، نقول إن مخرجات هذه الدوال موجبة. وهذا لا يتفق مع حسابنا لـقيمة ﺩ عند سالب اثنين. لذا، لا يمكن أن تكون هذه الخيارات هي الخيارات الصحيحة. دعونا الآن نفرغ بعض المساحة وننظر عن قرب إلى الخيارين الآخرين.
بعد أن أصبح لدينا الآن مساحة أكبر للنظر إلى هذين الخيارين، نلاحظ أن قيمة ﺩ عند سالب اثنين في كلا التمثيلين البيانيين مختلفة. في الخيار ج، إذا نظرنا إلى النقطة التي إحداثي ﺱ لها سالب اثنين، فسنلاحظ أن القيمة المخرجة للدالة عندها؛ أي الإحداثي ﺹ لهذه النقطة، تساوي سالب اثنين أيضًا. لكن هذا بخلاف الخيار هـ. إذا نظرنا إلى النقطة التي إحداثي ﺱ لها سالب اثنين، فسنلاحظ أن القيمة المخرجة للدالة عندها؛ أي الإحداثي ﺹ لهذه النقطة، تساوي سالب خمسة. إذن، القيمة المخرجة للدالة الممثلة بيانيًّا في الخيار هـ تساوي سالب خمسة عند ﺱ يساوي سالب اثنين. هذا لا يمكن أن يكون التمثيل البياني لـ ﺩ ﺱ تساوي ﺱ في القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد. وهذا يكفي لاستنتاج أن الإجابة الصحيحة لا بد أن تكون الخيار ج؛ لأن جميع التمثيلات البيانية الأخرى لا تمر بالنقطة التي إحداثياتها سالب اثنين، سالب اثنين.
على الرغم من أن هذه الطريقة صحيحة تمامًا للإجابة عن هذا السؤال، فإنها تنطوي على بعض المشاكل، وأهمها أننا نحتاج إلى أن تكون لدينا الخيارات الخمسة المعطاة لاستخدام هذه الطريقة للإجابة عن السؤال. من المفيد أن نكون قادرين على رسم التمثيلات البيانية للدوال. لذا، دعونا نجب عن هذا السؤال أيضًا برسم التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺩ ﺱ. يوجد العديد من الطرق المختلفة لفعل ذلك. لنبدأ بإفراغ بعض المساحة.
بعد ذلك، نتذكر أن بإمكاننا تمثيل دالة القيمة المطلقة باستخدام ترميز الدالة المتعددة التعريف. القيمة المطلقة لـ ﺱ تساوي ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي صفرًا. والقيمة المطلقة لـ ﺱ تساوي سالب ﺱ عندما يكون ﺱ أصغر من الصفر. يخبرنا هذا بأننا سنحصل على ﺱ عندما يكون ﺱ قيمة غير سالبة. أما إذا كانت قيمة ﺱ سالبة، فإننا نبدل إشارة ﺱ. يمكننا استخدام ذلك لإيجاد دالة متعددة التعريف للدالة ﺩ ﺱ التي لدينا. لنبدأ إذن بإيجاد دالة متعددة التعريف للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد.
لفعل ذلك، دعونا ننظر إلى الدالة المتعددة التعريف للقيمة المطلقة لـ ﺱ. نريد أن نأخذ القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد. توجد طريقتان لفعل ذلك. الطريقة الأولى استخدام تعريف دالة القيمة المطلقة. وذلك عن طريق ملاحظة أنه عند إدخال قيمة غير سالبة، فإننا نريد الحصول على القيمة نفسها. لكن عندما ندخل قيمة سالبة، فعلينا تبديل الإشارة. مع ذلك، هذه ليست الطريقة الوحيدة. يمكننا أيضًا التعويض بـ ﺱ زائد واحد في هذه الدالة المتعددة التعريف. نجد بذلك أن القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد تساوي ﺱ زائد واحد عندما يكون ﺱ زائد واحد أكبر من أو يساوي صفرًا. والقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد تساوي سالب واحد في ﺱ زائد واحد عندما يكون ﺱ زائد واحد أصغر من الصفر.
يمكننا تبسيط هذه الدالة المتعددة التعريف قليلًا عن طريق إعادة ترتيب المجالين الجزئيين للدالتين الجزئيتين. نطرح واحدًا من طرفي المتباينتين. بفعل ذلك، نجد أن المجال الجزئي الأول هو ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد، والمجال الجزئي الثاني هو ﺱ أصغر من سالب واحد. يمكننا الآن استخدام ذلك لإيجاد تعريف متعدد لـ ﺩ ﺱ؛ حيث ﺩ ﺱ تساوي ﺱ مضروبًا في هذه الدالة المتعددة التعريف. لضرب دالة متعددة التعريف في ﺱ، نضرب كل دوالها الجزئية في ﺱ. بذلك، نجد أن ﺩ ﺱ تساوي ﺱ في ﺱ زائد واحد عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد، وﺩ ﺱ تساوي سالب ﺱ في ﺱ زائد واحد عندما يكون ﺱ أصغر من سالب واحد.
الآن، أصبح رسم الدالة بهذه الصورة أسهل؛ لأن كلتا الدالتين الجزئيتين هنا تمثل معادلة تربيعية في صورتها التحليلية. علينا الآن رسم كل دالة جزئية على حدة على مجالها الجزئي. لنبدأ بالدالة الجزئية الأولى ﺱ مضروبًا في ﺱ زائد واحد لقيم ﺱ الأكبر من أو التي تساوي سالب واحد. نحن نعلم أن التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺱ في ﺱ زائد واحد له جزآن مقطوعان من المحور ﺱ: أحدهما عند ﺱ يساوي صفرًا، والآخر عند ﺱ يساوي سالب واحد. بما أن قيمتي ﺱ هاتين متضمنتان في المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية، يمكننا إضافة هذين الجزأين المقطوعين من المحور ﺱ إلى التمثيل البياني.
سيكون للتمثيل البياني جزآن مقطوعان من المحور ﺱ عند سالب واحد وصفر. يمكننا الآن رسم هذا الجزء من التمثيل البياني؛ وهو يمثل دالة تربيعية ذات معامل رئيسي موجب، لها جزآن مقطوعان من المحور ﺱ عند سالب واحد وصفر. لكن تذكر أننا لا نكمل المنحنى لما قبل الإحداثي ﺱ يساوي سالب واحد؛ لأن هذا الجزء من المنحنى سيكون خارج المجال الجزئي الأول. هذا يعطينا رسمًا يبدو على هذا النحو.
نستخدم الآن الطريقة نفسها لرسم الدالة الجزئية الثانية. هذه المرة، لدينا دالة تربيعية ذات معامل رئيسي سالب، لها جزآن مقطوعان من المحور ﺱ عند صفر وسالب واحد. هذه المرة، لا يقع صفر ولا سالب واحد ضمن المجال الجزئي؛ لأن هاتين القيمتين ليستا أصغر من سالب واحد. لكن تجدر الإشارة هنا إلى أنه بما أن سالب واحد جذر للدالة الأصلية، فإننا نعلم أن المنحنى الكلي لا بد أن يمر بالنقطة التي إحداثياتها سالب واحد، صفر. علينا رسم قطع مكافئ بمعامل رئيسي سالب. هذا يعني أنه سيكون مفتوحًا لأسفل، بدءًا من النقطة التي إحداثياتها سالب واحد، صفر، التي لا تمر بالمحور ﺱ، كما يشير المجال الجزئي الثاني. بهذا، نحصل على رسم يبدو إلى حد ما هكذا. نلاحظ الآن أن هذا التمثيل البياني يطابق الخيار ج بالضبط.
من ثم، استطعنا توضيح أنه من بين الخيارات الخمسة المعطاة، الخيار ج هو الذي يوضح التمثيل البياني للدالة ﺩ ﺱ تساوي ﺱ مضروبًا في القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد واحد.
