فيديو الدرس: حساب الاحتمال باستخدام شكل فن الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم أشكال فن لترتيب المعلومات وحساب الاحتمالات. تتكون أشكال فن من دائرتين أو أكثر، وتتداخل هذه الدوائر أحيانًا. ويشيع استخدام أشكال فن عند التعامل مع المجموعات والاحتمال. سنبدأ بالتعرف على شكل فن وكذلك بعض الرموز المستخدمة معه.

كما ذكرنا، تتكون أشكال فن عادة من دائرتين أو أكثر كما هو موضح. وفي أغلب الحالات، تتداخل هذه الدوائر. تمثل الدائرتان حدثين، وسنسميهما ﺃ وﺏ. ويحتوي كل جزء من شكل فن على عدد. قد يكون هذا العدد كسرًا أو عددًا عشريًّا. وفي مثال كهذا حيث يوجد لدينا أعداد صحيحة، يكون إجمالي عدد عناصر العينة هو مجموع هذه الأعداد الصحيحة. إذن لحساب الإجمالي، علينا جمع ثلاثة وواحد وتسعة وسبعة. وهذا يساوي ٢٠، إذن ستكون أغلب أمثلة الاحتمال التي سنستعرضها الآن من إجمالي ٢٠.

هيا نتعرف على بعض الرموز المستخدمة في الأسئلة المختلفة. ‏ﻝﺃ، حيث يكتب ﺃ بين قوسين، يعني احتمال وقوع الحدث ﺃ. هذا يعني أننا نريد جميع القيم الموجودة داخل الدائرة ﺃ. وبما أن ثلاثة زائد واحد يساوي أربعة، فإن احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي أربعة من ٢٠. ويمكن تبسيط ذلك إلى خمس أو العدد العشري ٠٫٢. في الوقت الحالي، سنترك الإجابة كما هي؛ أربعة من ٢٠.

أما ﻝﺏ فيعني احتمال وقوع الحدث ﺏ. وهذا يساوي مجموع كل القيم الموجودة في الدائرة ﺏ. واحد زائد تسعة يساوي ١٠. وعليه، فإن احتمال وقوع الحدث ﺏ هو ١٠ من ٢٠. مرة أخرى، يمكن تبسيط ذلك إلى نصف أو ٠٫٥.

احتمال ﺃ شرطة، الذي يكتب أحيانًا على صورة ﺃ بار، هو احتمال عدم وقوع الحدث ﺃ. ولحساب هذا الاحتمال، علينا أولًا إيجاد مجموع كل الأعداد الموجودة خارج الدائرة ﺃ. وهما العددان تسعة وسبعة. تسعة زائد سبعة يساوي ١٦. وبالتالي، فإن احتمال ﺃ شرطة أو عدم وقوع الحدث ﺃ يساوي ١٦ من ٢٠.

نلاحظ هنا أن مجموع احتمال وقوع الحدث ﺃ واحتمال عدم وقوعه يساوي واحدًا. فأربعة من ٢٠ زائد ١٦ من ٢٠ يساوي ٢٠ على ٢٠، أو واحدًا. نستنتج من ذلك الصيغة التي تنص على أن احتمال ﺃ شرطة، أي عدم وقوع الحدث ﺃ، يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع ﺃ. وستوفر معرفة هذه الصيغة بعض الوقت أثناء حل المسائل.

لدينا بعد ذلك رمز التقاطع. ويشار إليه بحرف 𝑛 صغير. وبالنسبة إلى شكل فن، فإنه يمثل احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ. أي إن علينا تحديد الجزء المشترك بين الدائرتين ﺃ وﺏ. وكما توضح كلمة «تقاطع»، فإن هذا هو الجزء الذي تتداخل فيه الدائرتان. وبما أن العدد المكتوب بهذا الجزء هو واحد، فإن احتمال وقوع الحدثين ﺃ وﺏ يساوي واحدًا من ٢٠.

بعد ذلك، سنتعرف على رمز الاتحاد. ويكتب على صورة حرف 𝑢 صغير. وبالنسبة إلى شكل فن، فإن الاتحاد هو احتمال وقوع ﺃ أو ﺏ. وبالتالي، فإننا سنتعامل مع جميع الأعداد الموجودة في الدائرتين ﺃ وﺏ. علينا هنا إيجاد مجموع ثلاثة وواحد وتسعة. وهو ما يساوي ١٣. وعليه، فإن احتمال ﺃ أو ﺏ، أو احتمال ﺃ اتحاد ﺏ، يساوي ١٣ من ٢٠.

أحيانًا يقع خطأ شائع هنا؛ وهو جمع احتمال وقوع ﺃ مع احتمال وقوع ﺏ، أي جمع أربعة من ٢٠ و١٠ من ٢٠. هذا يعطينا ١٤ من ٢٠، لكن هذه ليست الإجابة الصحيحة. السبب في هذا هو أننا جمعنا العدد واحدًا الموجود في التقاطع مرتين. هذا يقودنا إلى صيغة أساسية أخرى. تنص هذه الصيغة على أن احتمال ﺃ اتحاد ﺏ يساوي احتمال ﺃ زائد احتمال ﺏ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. بالنسبة لهذا السؤال، ١٣ من ٢٠ يساوي أربعة من ٢٠ زائد ١٠ من ٢٠ ناقص واحد من ٢٠.

تستخدم الرموز الثلاثة الأخيرة بشكل أقل شيوعًا، ولكنها تظل مهمة عند التعامل مع أشكال فن. هيا نفكر أولًا في احتمال وقوع ﺃ تقاطع عدم وقوع ﺏ. هذا يعني أننا نريد وقوع الحدث ﺃ وعدم وقوع الحدث ﺏ. مجموع القيم داخل الدائرة ﺃ يساوي أربعة. لكن العدد واحدًا يقع داخل الدائرة ﺏ أيضًا. هذا يعني أن ثلاثة هي القيمة الوحيدة الموجودة داخل الدائرة ﺃ وغير موجودة داخل الدائرة ﺏ. وعليه، فإن احتمال وقوع ﺃ وعدم وقوع ﺏ يساوي ثلاثة من ٢٠. يمكننا أيضًا حساب ذلك باستخدام صيغة احتمال ﺃ ناقص احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. أربعة من ٢٠ ناقص واحد من ٢٠ يساوي ثلاثة من ٢٠.

بعد ذلك، لدينا احتمال عدم وقوع ﺃ وعدم وقوع ﺏ. وهو ما يعني كل القيم غير الموجودة في الدائرتين ﺃ وﺏ معًا. يوجد عدد واحد فقط ينطبق عليه ذلك، وهو العدد سبعة، حيث يقع خارج الدائرتين. احتمال عدم وقوع ﺃ وعدم وقوع ﺏ، أو عدم وقوع ﺃ تقاطع عدم وقوع ﺏ، هو سبعة من ٢٠. نلاحظ هنا أن هذا يساوي واحدًا ناقص الاتحاد؛ أي كل شيء سوى اتحاد ﺃ وﺏ. فواحد ناقص ١٣ على ٢٠ يساوي سبعة على ٢٠.

آخر رمز لدينا هو رمز الشرطة الرأسية، ويقرأ «احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ». توجد صيغة تعبر عن ذلك، لكننا سنبدأ بالنظر إلى شكل فن والدائرة ﺏ. إجمالي القيم الموجودة داخل الدائرة ﺏ يساوي ١٠. وتخبرنا الصيغة أن هذا الحدث وقع بالفعل. والمطلوب هو حساب احتمال وقوع ﺃ بشرط أن نظل في هذه الدائرة. الجزء الوحيد المشترك بين الدائرتين ﺃ وﺏ هو التقاطع، وموضح عليه القيمة واحد. إذن، احتمال وقوع ﺃ بشرط وقوع ﺏ يساوي واحدًا من ١٠. فمن بين العناصر العشرة الموجودة في الدائرة ﺏ، يقع واحد منها فقط في الدائرة ﺃ.

ويمكن حساب ذلك أيضًا باستخدام صيغة احتمال ﺃ تقاطع ﺏ مقسومًا على احتمال ﺏ. في هذه الحالة، علينا قسمة واحد من ٢٠ على ١٠ من ٢٠. وهذا يساوي الإجابة الصحيحة؛ واحدًا من ١٠ أو عشرًا. من مميزات عدم حذف الكسور الأصلية أنه يمكننا حذف العدد ٢٠ مع مثيله في هذه الحالة.

سنتدرب الآن على استخدام بعض هذه الصيغ مع أشكال فن لحل بعض المسائل التي تتضمن الاحتمالات.

توضح الصورة شكل فن مع بعض الاحتمالات بمعلومية الحدثين ﺃ وﺏ. أوجد احتمال ﺃ. أوجد احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. أوجد احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ.

لعلنا نتذكر أن مجموع الاحتمالات في أي شكل فن لا بد أن يساوي واحدًا. ٠٫٣ زائد ٠٫٢ زائد ٠٫٤ زائد ٠٫١ يساوي واحدًا. يطلب منا الجزء الأول من السؤال حساب احتمال وقوع ﺃ. وهو ما يساوي مجموع كل الاحتمالات الموجودة داخل الدائرة ﺃ. سنجمع إذن ٠٫٣ و٠٫٢. وهذا يساوي ٠٫٥. إذن، احتمال وقوع الحدث ﺃ يساوي ٠٫٥.

في الجزء الثاني من السؤال، مطلوب منا حساب احتمال وقوع ﺃ وﺏ. يعرف ذلك بالتقاطع. إنه الجزء من شكل فن الذي يمثل وقوع الحدثين ﺃ وﺏ. الاحتمال المكتوب في الجزء المتداخل من الدائرتين هو ٠٫٢. هذا يعني أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ يساوي ٠٫٢.

مطلوب منا في الجزء الأخير من السؤال حساب احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ. وهذا الرمز الموجود في السؤال يعني «بشرط». إننا نعلم أن احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي احتمال ﺏ تقاطع ﺃ مقسومًا على احتمال ﺃ. وقد أوجدنا بالفعل هذين الاحتمالين. ومن المهم هنا ملاحظة أن احتمال ﺏ تقاطع ﺃ يساوي احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. وعليه، فإن احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ يساوي ٠٫٢ مقسومًا على ٠٫٥. وهذا يساوي خمسين أو ٠٫٤. احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ هو ٠٫٤.

كان بإمكاننا إيجاد هذه النتيجة أيضًا باستخدام شكل فن. وبما أننا نريد إيجاد احتمال وقوع ﺏ بشرط وقوع ﺃ، نبدأ بالإجمالي ٠٫٥ للقيم الموجودة داخل الدائرة ﺃ. أي من هذين الاحتمالين يقع في الدائرة ﺏ أيضًا؟ إنه ٠٫٢. إذن مرة أخرى لدينا ٠٫٢ من ٠٫٥ أو ٠٫٢ مقسومًا على ٠٫٥. وعليه، فإن الإجابات الثلاثة لهذا السؤال هي ٠٫٥ و٠٫٢ و٠٫٤. الاحتمال ٠٫١ الواقع خارج كلتا الدائرتين يمثل احتمال عدم وقوع ﺃ أو ﺏ.

سننتقل الآن إلى سؤال آخر يتضمن استخدام أشكال فن بمثال أكثر تحديدًا.

رسمت رانيا شكل فن لتسجيل نتائج اختيار عدد عشوائيًّا يقع بين واحد و١٢. ما احتمال اختيار عدد يكون أحد عوامل العدد ٢٠ ؟ ما احتمال اختيار عدد يكون أحد عوامل العدد ٢٠ وأحد مضاعفات العدد ثلاثة؟ ما احتمال اختيار عدد ليس من مضاعفات العدد ثلاثة؟

نلاحظ أن شكل فن لدينا يتكون من دائرتين؛ أولًا دائرة عوامل العدد ٢٠. وسنسميها الحدث ﺃ. ثانيًا، لدينا الدائرة التي تحتوي على جميع مضاعفات العدد ثلاثة. وسنسميها الحدث ﺏ. أما الأعداد سبعة وثمانية و١١ الموجودة خارج الدائرتين وتقع بين العددين واحد و١٢، فهي ليست من عوامل العدد ٢٠ ولا مضاعفات العدد ثلاثة.

في الجزء الأول من السؤال مطلوب منا حساب احتمال اختيار عدد يكون أحد عوامل العدد ٢٠. هذا هو احتمال وقوع ﺃ. نلاحظ أن الأعداد واحدًا واثنين وأربعة وخمسة و١٠ جميعها عوامل للعدد ٢٠. هذا يعني أن من بين ١٢ عددًا يقع بين العددين واحد و١٢، هناك خمسة أعداد من عوامل العدد ٢٠. إذن، احتمال اختيار عدد يكون أحد عوامل العدد ٢٠ يساوي خمسة على ١٢ أو خمسة من ١٢. وبما أنه لا يوجد أي عامل مشترك بين العددين خمسة و١٢، باستثناء العدد واحد، فهذا يعني أن هذا الكسر في أبسط صورة.

الجزء الثاني من السؤال يطلب منا حساب احتمال اختيار عدد يكون أحد عوامل العدد ٢٠ وأحد مضاعفات العدد ثلاثة. وهذا هو احتمال وقوع ﺃ وﺏ، ويكتب على الصورة احتمال ﺃ تقاطع ﺏ. لا توجد أي أعداد في تقاطع الدائرتين. وهذا يعني أن احتمال ﺃ تقاطع ﺏ أو وقوع ﺃ وﺏ يساوي صفرًا على ١٢ أو صفرًا. إذن، احتمال اختيار عدد يكون أحد عوامل العدد ٢٠ وأحد مضاعفات العدد ثلاثة هو صفر. والسبب في ذلك أنه لا يوجد أي أعداد تقع بين واحد و١٢ وتحقق كلا المعيارين.

نستنتج من ذلك حقيقة مهمة عند التعامل مع الاحتمالات. إذا كان تقاطع حدثين يساوي صفرًا، فسيكون الحدثان متنافيين. وفي هذه الحالة، يمكننا رسم هاتين الدائرتين بحيث تكونان منفصلتين؛ فليس هناك أي تقاطع بينهما. ذلك لأنه لا توجد أي قيمة تحقق المعيارين؛ أن تكون أحد عوامل العدد ٢٠ وأحد مضاعفات العدد ثلاثة معًا.

يطلب منا الجزء الأخير من السؤال حساب احتمال اختيار عدد ليس من مضاعفات العدد ثلاثة. يمكن كتابة ذلك على الصورة احتمال ﺏ شرطة أو احتمال ﺏ بار. احتمال عدم وقوع أي حدث ما يساوي واحدًا ناقص احتمال وقوع هذا الحدث. نحن نعلم أن هناك أربعة أعداد من مضاعفات العدد ثلاثة، وهي ثلاثة وستة وتسعة و١٢. هذا يعني أن هناك ثمانية أعداد بين العددين واحد و١٢ لن تكون من مضاعفات العدد ثلاثة. هذه الأعداد هي واحد واثنان وأربعة وخمسة و١٠ – وهي من عوامل العدد ٢٠ – وكذلك سبعة وثمانية و١١، وهي ليست من عوامل العدد ٢٠ ولا مضاعفات العدد ثلاثة.

إذن، احتمال اختيار عدد ليس من مضاعفات العدد ثلاثة يساوي ثمانية من ١٢ أو ثمانية على ١٢. هناك عامل مشترك بين هذين العددين؛ وهو أربعة، لذا يمكننا قسمة البسط والمقام على أربعة. وعليه، يبسط الكسر ثمانية على ١٢ إلى ثلثين. هذا يعني أن احتمال اختيار عدد ليس من مضاعفات العدد ثلاثة يساوي ثلثين، وذلك في أبسط صورة.

سنلخص الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن أشكال فن تتكون من دائرتين أو أكثر من الدوائر التي قد تتداخل أحيانًا. إذا كانت لدينا دائرتان غير متداخلتين، فسيكون الحدثان متنافيين. ويحدث هذا عندما يكون تقاطع أو احتمال ﺃ وﺏ يساوي صفرًا. عرفنا أيضًا بعض الصيغ الأساسية التي تساعدنا في حل المسائل التي تتضمن أشكال فن. ومن هذه الصيغ الاتحاد والتقاطع ورمز الشرطة الرأسية. ويمكن إثبات هذه الصيغ باستخدام القيم أو الاحتمالات الموضحة على شكل فن.