فيديو السؤال: إيجاد حاصل ضرب عدد مركب في مرافقه الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مرافق العدد المركب واحد زائد ﺕ، ثم أوجد حاصل ضرب هذا العدد في مرافقه.

حسنًا، يتكون هذا السؤال من جزأين. أولًا: مطلوب منا إيجاد مرافق العدد المركب واحد زائد ﺕ. لعلنا نتذكر أن مرافق العدد المركب هو العدد المركب الذي نحصل عليه عندما نغير إشارة الجزء التخيلي من ذلك العدد. إذن، بشكل عام، مرافق العدد المركب ﻉ الذي يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ هو العدد المركب ﻉ بار الذي يساوي ﺃ ناقص ﺏﺕ. لقد غيرنا إشارة الجزء المركب. فهو لم يعد موجب ﺏ. قد أصبح الآن سالب ﺏ.

من ثم، إذا افترضنا أن ﻉ يساوي العدد المركب الذي لدينا، واحد زائد ﺕ، فكل ما علينا فعله هو تغيير إشارة الجزء التخيلي حتى نتمكن من إيجاد مرافق العدد المركب ﻉ بار. وهذا يعني أنه كان لدينا في السابق موجب ﺕ؛ أي موجب واحد ﺕ. وسنغيره إلى سالب ﺕ أو سالب واحد ﺕ. إذن مرافق العدد المركب واحد زائد ﺕ هو واحد ناقص ﺕ. الجزء الثاني من السؤال يطلب منا إيجاد حاصل ضرب هذين العددين. وهما العدد المركب الأصلي ومرافقه. ومن ثم، نحن نحاول إيجاد حاصل ضرب ﻉ وﻉ بار. وبما أن مرافق العدد المركب يساوي واحدًا ناقص ﺕ، كما أوضحنا للتو، فإننا نريد إيجاد حاصل ضرب واحد زائد ﺕ في واحد ناقص ﺕ.

يمكننا المتابعة وفك الأقواس بالتوزيع. واحد مضروبًا في واحد يعطينا واحدًا. ثم واحد مضروبًا في سالب ﺕ يعطينا سالب ﺕ. ‏ﺕ مضروبًا في واحد يعطينا موجب ﺕ. وﺕ مضروبًا في سالب ﺕ يعطينا سالب ﺕ تربيع. إذن أصبح لدينا واحد ناقص ﺕ زائد ﺕ ناقص ﺕ تربيع. وبالطبع الحدان سالب ﺕ وموجب ﺕ، الموجودان في منتصف هذا التعبير، يبسطان إلى صفر. وعليه يحذف هذان الحدان معًا. ويتبقى لدينا واحد ناقص ﺕ تربيع. علينا أن نتذكر هنا أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد. وهكذا يصبح لدينا واحد ناقص سالب واحد أو واحد زائد واحد، وهو ما يساوي اثنين. وبذلك نكون قد وجدنا أن حاصل ضرب العدد المركب في مرافقه يساوي اثنين.

في الواقع، ثمة نتيجة عامة كان بإمكاننا استخدامها هنا، وتنص على أنه بالنسبة إلى العدد المركب ﻉ الذي يساوي ﺃ زائد ﺏﺕ، فإن حاصل ضرب ﻉ في مرافقه الذي يساوي ﺃ ناقص ﺏﺕ، يساوي دائمًا ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. يمكننا أن نلاحظ أن هذا ينطبق بالتأكيد على العدد المركب الذي لدينا واحد زائد ﺕ. فكلا الجزأين الحقيقي والتخيلي من العدد يساوي واحدًا. وواحد تربيع زائد واحد تربيع يساوي واحدًا زائد واحد، وهو ما يساوي اثنين.

لكي نعرف سبب حصولنا على ذلك، علينا فقط فك الأقواس بالتوزيع في حاصل الضرب ﺃ زائد ﺏﺕ في ﺃ ناقص ﺏﺕ. ونلاحظ أنه، بوجه عام، كما هو الحال في هذا المثال، يحذف الجزآن التخيليان من هذا المفكوك، ويتبقى لدينا ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع ﺕ تربيع. وهو ما يساوي ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع مضروبًا في سالب واحد، والذي يساوي ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع. وبهذا، نكون قد انتهينا من حل المسألة.

مرافق العدد المركب واحد زائد ﺕ يساوي واحدًا ناقص ﺕ. وحاصل ضرب واحد زائد ﺕ في مرافقه هو اثنان.